hermite插值多项式的例题

h e r m i t e插值多项式的例题(总1
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2 例 若()f x 在[a,b]上有三阶连续导数，且已知()f x 在[,]a b 上两个互异的 点01,x x 上的函数值01(),()f x f x 和一阶导数值'0()f x ，试求满足条件 ''001100()(),()(),()()H x f x H x f x H x f x ===
的插值多项式，并估计误差。

解 由给定的3 个插值条件，显然可确定一个次数不超过2次的埃尔米特插值多项式()H x ，
又有()H x 应满足插值条件()()i i H x f x =，(0,1)i =，而节点01,x x 上的线性插值函数1()N x 也满足插值条件1()(),(0,1)i i N x f x i ==，故可设
101()()()()H x N x A x x x x -=--，其中A 为待定常数，上式又可记为 101000101()()()()
()()[,]()()H x N x A x x x x f x x x f x x A x x x x =+--=+-+--
为了确定常数A ，对上式求导，得
'0110()[,][()()]H x f x x A x x x x =+-+-，
令0x x =代入，且注意插值条件''001010()[,]()()H x f x x A x x f x =+-=, 于是有'01010
[,]()f x x f x A x x -=-，即得所求的插值多项式()H x 为 '010********
[,]()()()()[,]()()f x x f x H x f x x x f x x x x x x x x -=+-+--- ，
当然也可先采用拉格朗日多项式构造，同样得到满足相同条件的插值多项式()H x 余项为(3)201()()()()6
f R x x x x x ξ=--。