四川省资阳中学2016-2017学年高二下学期期中考数学(文)试题

资阳中学2016-2017学年高二第二学期半期考试
数学文试题
一、选择题（每题5分，共60分） 1、若43i z =+，则
||
z
z =（ ） A 1
B 1-
C 43
+i 55
D
43i 55
- 2、使“lgm＜1”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．m ∈（0，+∞）B ．m ∈{1，2} C ．0＜m ＜10 D ．m ＜1
3、阅读下面的“三段论”推理：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点；因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点．以上推理中（ ）
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确 4、已知曲线313y x =
在点82,3P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则过P 点的切线方程为（ ） A ．312160x y --= B ．123160x y --= C ．312160x y -+= D ．123160x y -+=
5、已知点F 是抛物线x y 42=的焦点，N M 、是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（ ）
A ．
23
B ．2
C ．2
5 D ．3 6、在极坐标系中,直线1
cos 2
ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点,则AOB ∠的
大小为（ ）. A.
32π B.65π C.2π D.3
π
7、秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，f （x ）=a n x n +a n ﹣1x n ﹣1+…+a 1x+a 0改写成如下形式f （x ）=（…（（a n x+a n ﹣1）x+a n ﹣2）x+…a 1）x+a 0．至今仍是比较先进的算法，特别是在计算机程序应用上，比英国数学家取得的成就早800多年．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为5，2，则输出v 的值为（ ）
A ．130
B ．120
C ．110
D ．100
8、已知椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为)0,3(F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两
点，若AB 中点为)1,1(-，则椭圆E 的方程为（ ）
A 、
1364522=+y x B 、1273622=+y x C 、1182722=+y x D 、19
182
2=+y x 9、如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()
f x y x
=
在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数()21322
f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增函数区间”I 为（ ）
A ．[)1,+∞
B ．⎡⎣
C ．[]0,1
D ．⎡⎣
10、已知点P 是椭圆22
1169
x y +=上任意一点，则点P 到直线70x y +-=的距离最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6
11、若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的左支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）
A ．33⎛- ⎝⎭
B ．13⎛ ⎝⎭，
C ．()11-，
D ．13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
12、设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，
则不等式2
(2016)(2016)9(3)0x f x f ++--<的解集为（ ）
A ．(2019,2016)--
B ．(2019,2016)-
C ．(2019,)-+∞
D ．(,2019)-∞-
二、填空题（每题5分，共20分）
13、已知复数z 满足i z z 42-=-，则=z _______． 14、极坐标系下，直线2)4
cos(=-
π
θρ与圆2=ρ的公共点个数是________；
15、在双曲线()22221,0x y a b a b
-=>中，若过双曲线左顶点A 斜率为1的直线交右支于点B ,点B
在x 轴上的射影恰为双曲线的右焦点F ，则该双曲线的离心率为 ．
16、若函数f(x)＝ln x －
12
ax 2
－2x(a≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（共70分）
17（10分）、已知抛物线)0(22>=p px y 上一点Q （4，m ）到焦点F 的距离为5． （1）求p 及m 的值；
（2）过焦点F 的直线L 交抛物线于A ，B 两点，若8=AB ，求直线L 的方程. 18（10分）、已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,
3sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2
t π
=
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
⎩⎨
⎧+-=+=t
y t
x C 223:3，（t 为参数）距离的最小值.
19（12分）、设()3221f x x ax bx =+++的导数为()'f x ,若函数()'y f x =的图象关于直线
1
2
x =-对称,且()'10f =.
（1）实数,a b 的值； （2）求函数()f x 的极值.
20（12
分）、已知直线1:x t
l y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t
为参数），圆221:((2)1C x y +-=，以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系． （1）求圆1C 的极坐标方程，直线1l 的极坐标方程； （2）设1l 与1C 的交点为,M N ，求1C MN ∆的面积
21（12分）、已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=＞＞
，以原点O 为圆心，椭圆C 的长
半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定
点E ，使得2
EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 22(14分)、已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）当e a =-时，证明：()20f x +≤； （Ⅲ）当e a =-时，试判断方程
参考答案 一、选择题
1、D
2、B
3、A
4、B
5、B
6、A
7、A
8、D
9、D 10、A 11、B 12、A 二、填空题
13、34i - 14、1 15、2 16、 (－1,0)∪(0，＋∞) 三、解答题
17、解（1）由题意知52
4=+
=p
FQ ，∴p=2．…………………2分 4222⨯⨯=m ，∴4±=m ……………………………………… 4分
（2）由题意知直线L 的斜率存在，设为k ，直线L ：y=k(x-1)代入x y 42= 得0)42(2222=++-k x k x k ，……………………………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，
∴2
2214
2k
k x x +=+，121=x x 又∵821=++=p x x AB ，……………………………………8分 ∴12=k ，∴1±=k ．
∴所求直线方程为x-y-1=0或x+y-1=0．…………………………………………10分 18、（每小问5分）
19、（1）因()3
2
21f x x ax bx =+++,故()2
'62f x x ax b =++,从而()2
2'666a a f x x b ⎛
⎫=++- ⎪⎝
⎭,
即()'y f x =关于直线6
a
x =-对称, 从而由条件可知1
62
a -
=-,解得3a =, 又由于()'0f x =,即620a b ++=解得12b =-………………6分
（2）由（1）知()()()()32223121,'6612612f x x x x f x x x x x =+-+=+-=-+. 令()'0f x =,得1x =或2x =-,
当(),2x ∈-∞-时,()()'0,f x f x >在(),2-∞-上是增函数,当()2,1x ∈-时,()()'0,f x f x <在()2,1-上是减函数,当()1,x ∈+∞时,()()'0,f x f x >在()1,,+∞上是增函数,从而()f x 在
2x =-处取到极大值()221f -=,在1x =处取到极小值
()16f =-………………………………………………………12分
20、解析：（1）因为cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
，将其代入1C 展开整理得：223cos 4sin 60ρρθρθ--+=，
∴圆1C 的极坐标方程为：223cos 4sin 60ρρθρθ--+=．…………3分
1l 消参得tan 33
π
θθ==
（R ρ∈）
∴直线1l 的极坐标方程为3
π
θ=
（R ρ∈）．………………………………6分
（2
）23cos 4sin 60πθρθρθ⎧=⎪
⎨
⎪--+=⎩
⇒360ρ-+=
⇒12ρρ-=9分
∴111224
C MN S ∆=
=．………………………………………12分 21、（1
）由e =
得c a =
，即c a =
① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为222x y a +=
且与直线260x +=相切， 所以
a =
=2c =，
所以2222b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程为
22
1
62x y +=………………5分
（2）由()22
162
2x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
得()222213121260k x k x k +-+-= 设()11,A x y 、()22,B x y ，所以21212132k x x k +=+，2122126
13k x x k -=+……………7分
根据题意，假设x 轴上存在定点(),0E m ，
使得()
2
EA EA AB EA AB EA EA EB +⋅=+⋅=⋅为定值． 则()()()()11221212,,EA EB x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+
()()()()
()()
2
222
2
2
2
12122
31210612413m
m k m k x x k m x x k m
k -++-=+-++++=+
要使上式为定值，即与k 无关，(
)
223121036m m m -+=-， 得7
3
m =
．…………………………………………………………………11分 此时，2
2569EA EA AB m +⋅=-=-
，所以在x 轴上存在定点7,03E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得2EA EA AB +⋅为
定值，且定值为59
-．…………………………………12分
22、解析：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ，
（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立，
在[1,2]x ∈上恒成立，
4分
（Ⅱ）当e a =-时，() e ln f x x x =-+, 令0)(='x f ，得
令()0f x '>,，所以函数)(x f 在
令()0f x '<,，所以函数)(x f 在
所以()20f x +≤成立．…………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，max ()2f x =-，所以2|)(|≥x f ．………………9分
令0)(='x g ，得e x =．
令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增，
令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减；……………11分 ，即2)(<x g ．…………………13分 所以)(|)(|x g x f >，即
分。