九年级数学寒假专题—二次函数的图象华东师大版知识精讲

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九年级数学寒假专题—二次函数的图象华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：本周教学内容：
寒假专题——二次函数的图象寒假专题——二次函数的图象
二. 重点、难点：重点、难点：
复习二次函数有关图像的性质复习二次函数有关图像的性质
三. 过程：过程：
（一）知识点回顾：（一）知识点回顾：
1. 二次函数解析式的几种形式：二次函数解析式的几种形式：
①一般式：y ax bx c =++2
（a 、b 、c 为常数，a ≠0）
②顶点式：y a x h k =-+()2
（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12
，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一
元二次方程ax bx c 20++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

，（也叫两根式）。

2. 二次函数y ax bx c =++2
的图象的图象 ①二次函数y ax bx c =++2
的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，
只是位置不同。

只是位置不同。

②任意抛物线y a x h k =-+()2可以由抛物线y ax =2经过适当的平移得到，移动规
律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

，具体平移方法如下表所示。

③在画y ax bx c =++2的图象时，可以先配方成y a x h k =-+()2
的形式，然后将y ax =2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将
y ax bx c =++2配成y a x h k =-+()2的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点
坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

个点。

3. 二次函数的性质二次函数的性质
函数函数 二次函数y ax bx c =++2 a 、b 、c 为常数，a ≠0 y a x h k =-+()2
（a 、h 、k 为常
数，a ≠0） a ＞0
a ＜0
a ＞0
a ＜0
图 象
(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸向下无限延伸
(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸延伸 (1)抛物线开口向
下，并向下无限延伸延伸 性
(2)对称轴是x ＝-b a 2，顶点是
（--b a ac b a 2442，） (2)对称轴是x ＝-b
a 2，
顶点是
（--b a ac b a 244
2
，） (2)对称轴是x ＝h ，顶点是（h ，k ） (2)对称轴是x ＝h ，顶点是（h ，k ）
质 (3)当x b a <-2时，y 随x 的增大而减小；当x b a >-2时，y 随x 的增大而增大增大而增大 (3)当x b a
<-2时，y 随x 的增大而增大；当x b a >-2时，y 随x 的增大而减小增大而减小 (3)当x h <时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大。

增大。

(3)当x ＜h 时，y
随x 的增大而增大；当x ＞h 时，
y 随x 的增大而减小减小
(4)抛物线有最低点，当x b a =-2时，y 有最小值，y ac b a 最小值=-442 (4)抛物线有最高点，当x b
a
=-2时，y 有最大值，y ac b a
最大值=-442
(4)抛物线有最低点，当x ＝h 时，y 有最小值y k 最小值= (4)抛物线有最高
点，当x ＝h 时，
y 有最大值y k 最大值=
4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法
①配方法：将解析式y ax bx c =++2化为y a x h k =-+()2
的形式，顶点坐标为（h ，
k ），对称轴为直线x h =，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，y
k 最小值
=；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，y k 最大值
=。

②公式法：直接利用顶点坐标公式（--b a ac b a 2442
，），求其顶点；对称轴是直线x b a
=-2，若a y x b a y ac b a >=-=-02442，有最小值，当时，；最小值若a <0，y 有最大值，当x b a y ac b a
=-=-2442
时，最大值 5. 抛物线与x 轴交点情况：轴交点情况：
对于抛物线y ax bx c a =++2
0()≠
①当D =->b ac 2
40时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。

轴有两个交点，反之也成立。

②当D =-=b ac 2
40时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。

③当D =-<b ac 240时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。

轴无交点，反之也成立。

【典型例题】
例1. （1）抛物线y x =-+2132
()是由抛物线y x =22
怎样平移得到的？（2）若抛物线y x =-2
向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式。

个单位，求所得抛物线的解析式。

分析：由抛物线平移时，形状和开口方向不变。

（1）抛物线y x =22
的顶点是（0，0），
抛物线y x =-+2132
()的顶点是（1，3），∴抛物线y x =-+2132
()是由y x =22
向右
平移一个单位，再向上平移3个单位得到的。

（2）抛物线y x =-2
的顶点是（0，0），把它向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，顶点是（－2，－4），∴平移后的抛物线解析式为y x =-+-()242。

例2. 二次函数y ax bx c =++2
的图象如图所示，对称轴为x ＝1，则下列结论中正确的是（是（
）
A. ac >0
B. b <0
C. b ac 2
40-< D. 20a b += 分析：由图可知：a c b ac <>->00402
，， ∴A 、C 项错，又知-=<b
a
a 210， ∴
b >0，∴B 项错项错 由-=-=b a
b a 212，∴
∴20a b +=，故选D
例3. 已知抛物线y ax bx c =++2
如图所示，直线x =-1是其对称轴是其对称轴
（1）确定a ，b ，c ，D =-b ac 2
4的符号；的符号；
（2）求证：a b c -+>0 （3）当x 取何值时，y >0，当x 取何值时，y <0。

分析：（1）由抛物线的开口向下，得a <0
由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，得c >0
由-<<<b a
a b 2000，，得
由抛物线与x 轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点
∴D =->b ac 2
40 （2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x =-1 ∴当x y a b c =-=-+>10时， （3）由图象可知，当-<<31x 时，y >0 由x x y <-><310或时，
例4. 已知二次函数y m x mx m =-+++()2212
，其中m 为常数，且满足-<<12m ，试判断此抛物线的开口方向，与x 轴有无交点，与y 轴的交点在x 轴上方还是在x 轴下方。

分析：∵-<<12m ∴m -<20，∴抛物线开口向下，∴抛物线开口向下 又m +>10，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方轴上方 D =--+44212m m m ()()
=---=+=++>442484140
22m m m m m ()()
∴抛物线与x 轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点
例5. 求抛物线y x x =-
-+
12
32
2的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标，当x 取何
值时，y 随x 的增大而增大，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？的增大而减小？
解：y x x x x =--+=-++-+1232122113
2
22() =-++1
2
122
()x
∴抛物线的顶点坐标是（－1，2），对称轴是直线x ＝－1
令x y ==
032，，∴抛物线与y 轴交点（0，3
2） 令y x x =--+=01232
02，的解为x x 1231=-=， ∴抛物线与x 轴交于点（－3，0），（1，0）
当x £-1时，y 随x 的增大而增大，当x >-1时，y 随x 的增大而减小。

的增大而减小。

例6. 下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ax a c x c =+++2
()与一次函数y ax c =+的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是（的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是（
）
分析：由y ax a c x c y ax c =+++=+2
()与常数项均为c ，所以两个图象与y 轴交点
应是一个点（0，c ），）， ∴A 、B 不对不对
当y ax a c x c x x c a
=+++==-=-001212时，的解为，() ∴抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（-c
a ，0）
当y =0时，ax c x c
a
+==-0的解为
∴直线与x 轴的交点为（-c
a
，0）
∴抛物线与直线另一交点在x 轴上，∴应选C 。

例7. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m 。

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式。

）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式。

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d 表示h 的函数关系式；的函数关系式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？ 分析：（1）拱桥是一个轴对称图形，对称轴为图中y 轴，因此可知抛物线上一些特殊
点坐标，用待定系数法可求解析式。

点坐标，用待定系数法可求解析式。

（2）当水位上升时，抛物线与水面交点在变化，设为（d h 2
4，-）代入抛物线解析
式可得d 与h 关系式；关系式； （3）根据逆向思维可求水面宽度为18m ，即d ＝18时，水位上升多少米？时，水位上升多少米？
解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2
，且过点（10，－4）
∴-==-410125
2
a a ×， 故y x =-125
2
（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（
d h 2
4，-）
则h d -=-
41254
2
× ∴d h =-104 （3）当d ＝18时，18104076=-=h h ，.
0762276..+= ∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。

时会影响过往船只在桥下顺利航行。

例8. 如图，半圆的直径AC ＝2，点B 在半圆上，CB 不与C 、A 重合，F 在AC 上，且AE ＝BC ，EF ⊥AC 于F ，设BC ＝x ，EF ＝y ，求y 与x 的函数关系式和自变量的取值范围，并在直角坐标系中画出它的图象。

并在直角坐标系中画出它的图象。

分析：求几何图形中的函数关系式，通常就是寻求自变量与函数之间的一个等量关系式，可用几何的方法证△AEF ∽△ACB 得到比例式求出y 与x 的函数关系式。

的函数关系式。

解：∵AC 是直径，∴∠B ＝90° 又EF ⊥AC ，∴∠B ＝∠AFE ，∠A ＝∠A ∴△AEF ∽△ACB
∴
AE AC EF BC x y
x
==，即2
∴y x =12
2
当B 为ABC Ç
的中点时，E 与B 重合，此时BC =2，
∴自变量x 的取值范围是02<£x ，
它的图象如图所示它的图象如图所示
例9. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

元。

（1）求y 与x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围。

的取值范围。

（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y a x b a ac b a
=++
-()24422
的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最
多，是多少？多，是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？哪一种获总利较多，多多少？
分析：首先明确获利的含义，即每千克获利＝销售单价－购进单价，其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只能是原函数图象的一部分。

在（3）中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答：售方式的总获利，通过比较大小作答： 解：（1）若销售单价为x 元，则每千克降低了（70－x ）元，日均多售出2（70－x ）千克，日均销售量为[60＋2（70－x ）]千克，每千克获利（x －30）元。

）元。

依题意得：y x x =-+--()[()]3060270500 =-+-££2260650030702
x x x ()
（2）由（1）有y x x =-+-226065002 =--+26519502()x ∴顶点坐标为（65，1950），其图象如图所示，），其图象如图所示，
经观察可知，当单价为65元时，日均获利最多是1950元。

元。

（3）当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为元，日均销售量为
602706570+-=()kg 那么获总利为19507000
70
195000×
=元，当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg ，将这批化工原料全部售完需7000
60117≈天，那么获总利为()70307000-×
-=117500221500×元，而221500195000>
时且22150019500026500-=元。

元。

∴销售单价最高时获总利最多，且多获利26500元。

元。

【模拟试题】
1. 抛物线y x x =-+212252
的开口方向，顶点坐标、对称轴各是什么，最值为多少？指出x 值取何值时，函数y 随x 的增大而减小？的增大而减小？
2. 把抛物线y x bx c =++2
的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y x x =-+2
35，则b ＝__________，c ＝__________。

3. 已知函数y x =--43162
() （1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。

）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。

（2）求出图象与x 轴的交点坐标；轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；x 取何值时，y 随x 的增大而减小；的增大而减小； （4）当x 取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最大（小）值；取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最大（小）值；
（5）函数图象可由y x =42
的图象经过怎样的平移得到？的图象经过怎样的平移得到？
4. 二次函数y ax bx c =++2
的图象如图所示，下列结论：①a b c ++<0；②a b c -+>0；③abc >0；④b a =2；⑤b ac 240-<。

其中正确结论的个数是（。

其中正确结论的个数是（
）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 5
5. 下列命题中，错误的是（下列命题中，错误的是（
）
A. 抛物线y x =--2
1不与x 轴相交轴相交
B. 函数y x x =-+2
3的图象关于直线x =38
对称对称
C. 抛物线y x y x =-=-1211
2122
与()形状相同，位置不同形状相同，位置不同
D. 抛物线y x x =+232
经过原点经过原点 6. 已知函数y ax b =+的图象经过第一、的图象经过第一、二、二、三象限，三象限，那么那么y ax bx =++2
1的图象大致
为（为（
）
7. 某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则至少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
8. 某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，若行车道总宽度AB 为6m ，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m ）。

【试题答案】
1. 开口向上，顶点坐标（3，7），对称轴x ＝3，有最小值y ＝7，当x ≤3时，y 随x 的增大而减小。

增大而减小。

2. b ＝3，c ＝7
3. （1）开口向上，对称轴是直线x ＝3，顶点坐标是（3，－16） （2）与x 轴交于（1，0），（5，0） （3）当x ≥3时，y 随x 的增大而增大；当x ＜3时，y 随x 的增大而减小。

的增大而减小。

（4）当x ＝3时，y 有最小值，y 最小值=-16
（5）函数图象可由y x =42的图象先向右平移3个单位，再向下平移16个单位得到
的
4. D
5. B
6. A
7. 设提高x 个单位价格时，总获利为y 元，则元，则
y x x =+--()()2700100250040050 ()08££x 整理，得y x =--+500031250002()
当x ＝3时，即定价为3000元时，可获最大利润125000元。

元。

8. 以矩形的下底所在直线为x 轴，矩形下底中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线解析式为y x x =-+-££146462
()，令x =3，得y m =-=69
4
375
.。

3750532532....-=≈m ，因此，货车限高为3.2m 。