高等代数第四章矩阵练习题参考答案

高等代数第四章矩阵练习题参考答案
第四章矩阵习题参考答案
一、判断题
1.对于任意阶矩阵,,有、
错、
2.如果则、
错、如、
3.如果,则为可逆矩阵、
正确、,因此可逆,且、
4.设都就是阶非零矩阵,且,则得秩一个等于,一个小于、
错、由可得、若一个秩等于,则该矩阵可逆,另一个秩为零,与两个都就是非零矩阵矛盾、只可能两个秩都小于、
5.为阶方阵,若则
错、如,有但、
6.为矩阵,若则存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵,使
正确、右边为矩阵得等价标准形,矩阵等价于其标准形、
7.阶矩阵可逆,则也可逆、
正确、由可逆可得,又、因此也可逆,且、
8.设为阶可逆矩阵,则
正确、又
====、
AB B A A BB A A B EA B AA A B E
()(**)(*)*||*||*||||
因此、由为阶可逆矩阵可得可逆,两边同时左乘式得逆可得
二、选择题
1.设就是阶对称矩阵,就是阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵得就是(B )、
(A) (B) (C) (D)
(A)(D)为对称矩阵,(B)为反对称矩阵,(C)当可交换时为对称矩阵、
2、设就是任意一个阶矩阵,那么( A)就是对称矩阵、
(A) (B) (C) (D)
3.以下结论不正确得就是( C )、
(A)如果就是上三角矩阵,则也就是上三角矩阵;
(B)如果就是对称矩阵,则也就是对称矩阵;
(C)如果就是反对称矩阵,则也就是反对称矩阵;
(D)如果就是对角阵,则也就是对角阵、
4.就是矩阵, 就是矩阵, 若得第列元素全为零,则下列结论正确得就是(B )
(A ) 得第行元素全等于零; (B )得第列元素全等于零; (C ) 得第行元素全等于零; (D ) 得第列元素全等于零; 5.设为阶方阵,为阶单位阵,则以下命题中正确得就是(D ) (A) (B) (C) (D)
6.下列命题正确得就是(B )、 (A) 若,则 (B) 若,且,则 (C) 若,且,则 (D) 若,且,则
7、就是矩阵,就是矩阵,则( B)、 (A) 当时,必有行列式; (B) 当时,必有行列式 (C) 当时,必有行列式; (D) 当时,必有行列式、为阶方阵,当时,因此,所以、 8.以下结论正确得就是( C ) (A) 如果矩阵得行列式,则; (B) 如果矩阵满足,则;
(C) 阶数量阵与任何一个阶矩阵都就是可交换得; (D) 对任意方阵,有9.设就是非零得四维列向量,为得伴随矩阵,已知得基础解系为,则方程组得基础解系为( C )、
(A)、 (B)、
(C)、 (D)、由得基础解系为可得、
因此(A),(B)中向量组均为线性相关得,而(D)显然为线性相关得,因此答案为(C)、由
12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===
可得均为得解、
10、设就是阶矩阵,适合下列条件( C )时,必就是可逆矩阵
(A) (B) 就是可逆矩阵 (C) (B) 主对角线上得元素全为零
11.阶矩阵就是可逆矩阵得充分必要条件就是( D )
(A) (B) (C) (D)
12.均就是阶矩阵,下列命题正确得就是( A )
(A)若就是可逆矩阵,则从可推出
(B)若就是可逆矩阵,则必有
(C)若,则从可推出
(D)若,则必有
13.均就是阶矩阵,为阶单位矩阵,若,则有(C )
(A)(B) (C) (D)
14.就是阶方阵,就是其伴随矩阵,则下列结论错误得就是( D )
(A)若就是可逆矩阵,则也就是可逆矩阵;
(B)若就是不可逆矩阵,则也就是不可逆矩阵;
(C)若,则就是可逆矩阵; (Ｄ)
15.设就是5阶方阵,且,则( Ｄ )
(A)(B) (C) (D)
16.设就是得伴随阵,则中位于得元素为(Ｂ )
(A) (B) (C) (D)
应为得第列元素得代数余子式与得第列元素对应乘积与、
17、设, ,其中就是得代数余子式,则(C )
(A)就是得伴随 (B)就是得伴随 (C)就是得伴随
(D)以上结论都不对
18.设为方阵,分块对角阵,则 ( Ｃ )
(A)(B)
(C) (D)
利用验证、
19.已知,下列运算可行得就是( C )
(A)(B) (C) (D)
20.设就是两个矩阵,就是阶矩阵,那么( D )
(A)
(B)
(C)
(D)
21.对任意一个阶矩阵,若阶矩阵能满足,那么就是一个( Ｃ )
(A)对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)得逆矩阵
与任意一个阶矩阵均可交换得矩阵为数量矩阵、
22.设就是一个上三角阵,且,那么得主对角线上得元素( Ｃ )
(A)全为零 (B)只有一个为零
（C）至少有一个为零 (D)可能有零,也可能没有零
23.设,则( D )
(A)(B) (C) (D)
24. 设,若,则( B )
(A)(B) (C) (D)
25.设阶矩阵,若矩阵得秩为1,则必为(A )
(A)1 (B)-1 (C)(D)
矩阵得任意两行成比例、
26、设为两个阶矩阵,现有四个命题:
①若为等价矩阵,则得行向量组等价;
②若得行列式相等,即则为等价矩阵;
③若与均只有零解,则为等价矩阵;
④若为相似矩阵,则与解空间得维数相同、
以上命题中正确得就是( D )
(A) ①, ③、(B) ②, ④、(C) ②,③、(D)③,④、
当时,为相似矩阵。

相似矩阵得秩相等。

齐次线性方程组基础解系所含解得个数即为其解空间得维数。

三、填空题
1.设为三阶方阵,为得伴随矩阵,有,则
,,因此
、
2.设为4阶方阵,且,则 1/27 , 9 。

3.设就是一个矩阵,就是一个矩阵,那么就是一个阶矩阵,它得第行第列元素为、
4、阶矩阵A可逆非退化
A与单位矩阵等价A可以表示为一系列初等矩阵得乘积、
4、三阶对角矩阵,则得伴随矩阵=、
5.设,则、
6.设,矩阵得逆矩阵为、
7.设都就是可逆矩阵,矩阵得逆矩阵为、 8.设,则( ).
9.既就是对称矩阵,又就是反对称矩阵,则为零矩阵、10.设方阵,,且则行列式 4 、
111111111
111112222
222222222
2333333333
33
33
3
111111
222222333333
22||22422444(2)43 4.
b x
c b y c b x y c b x y c A B b x c b y c b x y c b x y c b x c b y c b x y c b x y c b x c b y c b x c b y c b x c b y c +++=+=+=+++????=+=?-+?=
11.设为阶方阵,为阶方阵,已知,则行列式、
将A 得各列依次与B 得各列交换,共需要交换mn 次,化为
12.设为阶方阵,且,则在等价关系下得标准形为阶单位矩阵、 13、设(为某常数),B 为得非零矩阵,且,则矩阵得秩为 1 、
由可得得各列为齐次线性方程组得解,A 得前两列线性无关,因此得基础解系至少有两个解,因此、又为非零矩阵,因此、即四、解答下列各题 1.求解矩阵方程 (1) ; (2) ; (3) ; (4) 解:(1) (2)
11
14312024311011(3)120111110112621212111301/4012X ---==
----
== ? ?????
1
1
0101431
00(4)1
002010
010011200
1001014310
010020100
100112001
0201100210143001134120010102X ---
=- ? ??? ? ???-??????-?????? ????
=- ????? ?????-??????
--
=-=- ??? ? ??? ?--??????
2.设, ,求解:、、 ,因此可逆、
3.、设,其中, ,求、解:
1313
11111111111141014124211
11021112
4233A P P ------=Λ== ??? ? ?------ 4.设3级方阵满足,证明:可逆,并求其逆、
证明:两边同左乘以得到、因此有、由可逆可得,且
5.设就是一个级方阵,且,证明:存在一个级可逆矩阵使得后行全为零、
证明:,因此矩阵可以经过一系列行初等变换化为后行全为零、也即存在初等矩阵,使得后行全为零、 ,则得后行全为零、由矩阵乘法运算可
得得后行全为零、
6.设矩阵,且,证明:得行向量组线性无关、
证明:由可得,因此、因此得行向量组线性无关、
7.如果称为幂等矩阵、设为阶幂等矩阵,证明:就是幂等矩阵得充要条件就是证明:当时幂等阵时,
因此
反之,当时有
就是幂等矩阵、。