蜀山区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

蜀山区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 复数z=
（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2． 已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域
上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）
A ．5
B ．3
C ．2
D ．
3． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜a ＜2
B ．﹣3＜a ＜6
C ．a ＜﹣3或a ＞6
D ．a ＜﹣1或a ＞2
4． 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,//m m n α
γ=，则//αβ
C ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥
D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥
5． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=，则下列结论
中错误的是（ ）
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值
D ．异面直线A
E ，B
F 所成的角为定值
6． 函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ） A ． C ． D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（ ）
A ．a+3
B ．6
C ．2
D ．3﹣a
7． 设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P ∩（∁U Q ）=（ ） A ．{1，2，3，4，6} B ．{1，2，3，4，5} C ．{1，2，5} D ．{1，2}
8． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）
A ．
B 2=A
C B ．A+C=2B
C ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）
D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）
9． 若cos （﹣α）=，则cos （
+α）的值是（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
10．如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A
B B A B =≠≠，A =,就称有序集对
(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么
“好集对” 一共有（ ）个
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个 11．设i 是虚数单位，若z=cos θ+isin θ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
12．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A ．
B ．ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）
C ．x 3＞y 3
D ．sinx ＞siny
二、填空题
13．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④
sin sin sin a b c
A B C
+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 14．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．
15．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．
16．已知f （x+1）=f （x ﹣1），f （x ）=f （2﹣x ），方程f （x ）=0在[0，1]内只有一个根x=，则f （x ）=0在区间[0，2016]内根的个数 ．
17．在（2x+
）6
的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
18．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）
三、解答题
19．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A 南偏西45方向10海里的B 处有一艘海 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向 一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C 处相遇，如图，在ABC ∆中，求角B 的正弦值.
20．（本小题满分14分）
设函数2
()1cos f x ax bx x =++-，0,2
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（其中a ，b R ∈）.
（1）若0a =，1
2
b =-
，求()f x 的单调区间； （2）若0b =，讨论函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上零点的个数.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.
21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆C 过点P ⎛ ⎝⎭，直线1PF 交y 轴于Q ，且22,PF QO O =为坐标原点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M 是椭圆C 上的顶点，过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设这两条直线的斜率 分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点．
22．已知全集U 为R ，集合A={x|0＜x ≤2}，B={x|x ＜﹣3，或x ＞1}
求：（I ）A ∩B ；
（II ）（C U A ）∩（C U B ）；
（III ）C U （A ∪B ）．
23．设函数f （x ）=lg （a x ﹣b x ），且f （1）=lg2，f （2）=lg12
（1）求a ，b 的值．
（2）当x ∈[1，2]时，求f （x ）的最大值．
（3）m 为何值时，函数g （x ）=a x 的图象与h （x ）=b x
﹣m 的图象恒有两个交点．
24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD 的中点，求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
蜀山区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：z====+i，
当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；
当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；
当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；
当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；
故选：C．
【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．
2．【答案】D
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，
即|AM|min=．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．3．【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，
有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a2﹣12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．
4．【答案】C
【解析】
试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C．
考点：空间直线、平面间的位置关系．
5．【答案】D
【解析】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；
∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱
锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；
∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面
直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；
故选D．
6．【答案】A
【解析】A． C． D．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，
求得10≤ω＜12，
故选：A．
7．【答案】D
【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}， ∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}， ∴P ∩（C U Q ）={1，2} 故选D ．
8． 【答案】C 【解析】解：若公比q=1，则B ，C 成立；
故排除A ，D ； 若公比q ≠1，
则A=S n =，B=S 2n =
，C=S 3n =
，
B （B ﹣A ）=（﹣）=
（1﹣q n
）（1﹣q n
）（1+q n
）
A （C ﹣A ）=
（
﹣）=
（1﹣q n ）（1﹣q n ）（1+q n
）；
故B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）；
故选：C ．
【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．
9． 【答案】B
【解析】解：∵cos （﹣α）=
，
∴cos （+α）=﹣cos=﹣cos （
﹣α）=﹣
．
故选：B ．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：因为{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A
B B A B =≠≠，A =，所以当{1,2}A =时，{1,2,4}B =；当
{1,3}A =时，{1,2,4}B =；当{1,4}A =时，{1,2,3}B =；当{1,2,3}A =时，{1,4}B =；当{1,2,4}A =时，{1,3}B =；当{1,3,4}A =时，{1,2}B =；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.
考点：元素与集合的关系的判断.
【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]
11．【答案】B
【解析】解：∵z=cos θ+isin θ对应的点坐标为（cos θ，sin θ）， 且点（cos θ，sin θ）位于复平面的第二象限，
∴，∴θ为第二象限角，
故选：B ．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．【答案】C
【解析】解：∵实数x 、y 满足a x ＜a y
（1＞a ＞0），∴y ＜x ．
对于A ．取x=1，y=0，
不成立，因此不正确；
对于B ．取y=﹣2，x=﹣1，ln （x 2+1）＞ln （y 2
+1）不成立； 对于C ．利用y=x 3在R 上单调递增，可得x 3＞y 3
，正确；
对于D ．取y=﹣π，x=，但是sinx=，siny=，sinx ＞siny 不成立，不正确．
故选：C ．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】②④ 【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知sin sin a A b B =，推出A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，sin sin a B b A =，即sin sin sin sin A B B A =恒成立，所以是正
确的；对于③中，cos cos a B b A =，可得sin()0B A -=，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知
sin sin sin a b c
A B C
+=+是正确，故选选②④．1 考点：正弦定理；三角恒等变换． 14．【答案】 2n ﹣1 ．
【解析】解：∵a 1=1，a n+1=a n +2n
， ∴a 2﹣a 1=2， a 3﹣a 2=22， …
a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，
相加得：a n ﹣a 1=2+22+23+2…+2n ﹣1
，
a n =2n ﹣1，
故答案为：2n
﹣1，
15．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n ∈N *
）， ∴y ′=（n+1）x n
，∴f ′（1）=n+1，
∴曲线y=x
n+1
（n ∈N *
）在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=（n+1）（x ﹣1），
该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =，
∵a n =lgx n ，
∴a n =lgn ﹣lg （n+1）， ∴a 1+a 2+…+a 99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2．
故答案为：﹣2．
16．【答案】 2016 ．
【解析】解：∵f （x ）=f （2﹣x ），
∴f （x ）的图象关于直线x=1对称，即f （1﹣x ）=f （1+x ）． ∵f （x+1）=f （x ﹣1），∴f （x+2）=f （x ）， 即函数f （x ）是周期为2的周期函数，
∵方程f （x ）=0在[0，1]内只有一个根x=，
∴由对称性得，f （）=f （）=0，
∴函数f （x ）在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数f （x ）在每两个整数之间都有一个零点， ∴f （x ）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016， 故答案为：2016．
17．【答案】 240
【解析】解：由（2x+
）6
，得
=
．
由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于
．
故答案为：240．
18．【答案】 真命题
【解析】解：若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0成立，即原命题为真命题，
则命题的逆否命题也为真命题，
故答案为：真命题．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）23小时；（2 【解析】
试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C 处相遇. 在ABC ∆中，4575120BAC ∠=+=，10AB =，9AC t =，21BC t =. 由余弦定理得：2
2
2
2cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠，
所以222
1(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-，
化简得2
369100t t --=，解得23t =
或512t =-（舍去）. 所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为2
3
小时.
（2）由2963AC =⨯=，2
21143
BC =⨯=.
在ABC ∆
中，由正弦定理得6sin 6sin120
2sin 14
14AC BAC B BC ⨯
∠===
=. 所以角B 的正弦值为
14
. 考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示,AC BC ，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 20．【答案】
【解析】（1）∵0a =，1
2
b =-， ∴1()1cos 2f x x x =-
+-，1()sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （2分） 令()0f x '=，得6
x π
=.
当06x π<<时，()0f x '<，当62
x ππ
<<时，()0f x '>，
所以()f x 的单调增区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间是0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （5分）
若
112a -
<<-π，则()102f a π'=π+<，又()(0)0f f θ''>=，由零点存在定理，00,2θπ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使0()0f θ'=，所以()f x 在0(0,)θ上单调增，在0,2θπ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调减.
又(0)0f =，2
()124
f a ππ=
+. 故当2142a -<≤-π时，2()1024f a ππ=
+≤，此时()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有两个零点； 当241a -<<-ππ时，2()1024f a ππ=
+>，此时()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上只有一个零点.
21．【答案】（1）2
212
x
y +=；（2）证明见解析. 【解析】
试
题解析：
（1）22PF QO =，∴212PF F F ⊥，∴
1c =， 2222
221
121,1a b c b a b +==+=+， ∴22
1,2b a ==，
即2
212
x y +=； （2）设AB 方程为y kx b =+代入椭圆方程
222
12102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，22
221
,112
2
A B A B kb b x x x x k k --+==++，
11,A B MA MB A B y y k k x x --==，∴()
11
2A B A B A B A B MA MB A B
A B
y x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=
=，
∴1k b =+代入y kx b =+得：1y kx k =+-所以， 直线必过()1,1--．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．
【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 22．【答案】
【解析】解：如图：
（I ）A ∩B={x|1＜x ≤2}；
（II ）C U A={x|x ≤0或x ＞2}，C U B={x|﹣3≤x ≤1}
（C U A ）∩（C U B ）={x|﹣3≤x ≤0}；
（III ）A ∪B={x|x ＜﹣3或x ＞0}，C U （A ∪B ）={x|﹣3≤x ≤0}．
【点评】本题考查集合的运算问题，考查数形集合思想解题．属基本运算的考查．
23．【答案】 【解析】解：（1）∵f （x ）=lg （a x
﹣b x
），且f （1）=lg2，f （2）=lg12，
∴a ﹣b=2，a 2﹣b 2
=12，
解得：a=4，b=2；
（2）由（1）得：函数f （x ）=lg （4x ﹣2x
），
当x ∈[1，2]时，4x
﹣2x
∈[2，12]， 故当x=2时，函数f （x ）取最大值lg12，
（3）若函数g （x ）=a x 的图象与h （x ）=b x
﹣m 的图象恒有两个交点．
则4x ﹣2x =m 有两个解，令t=2x
，则t ＞0，
则t 2
﹣t=m 有两个正解；
则，
解得：m ∈（﹣，0）
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
24．【答案】
【解析】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．
又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD
所以直线EF∥平面PCD．
（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．
所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．
又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．。