抗震作业第三章

第三章 结构地震反应分析与抗震极限状态计算 思考题
3．1 什么是地震动反应谱和抗震设计反应谱？反应谱的影响因素和特点是什么？
答：根据给定的地面运动加速度记录和体系的阻尼比，计算出质点的最大绝对加速度S a ，与体系
的自振周期T ，绘制成一条曲线－地震加速度反应谱，不同的阻尼比可以绘制出不同曲线。

规范根据同一类场地在各级烈度地震作用下地面运动的
，分别计算出的反应谱曲线，再进行统计分析，求出最有代表性的平均反应谱曲线作为设计依据；通常称之为抗震设计反应谱。

反应谱影响因素：受地震动特性即峰值、频谱、持续时间的影响。

特点是随机性。

3．2 什么是地震影响系数？其谱曲线的形状参数有何特点？
答：单自由度体系绝对加速度反应)(T Sa 与重力加速度g 之比。

3．3 什么是地震作用？怎样确定单自由度弹性体系的地震作用？
答：地震作用：地面振动过程中作用在结构上的惯性力就是地震荷载，可理解为能反映地震影响
的等效荷载，实际上，地震荷载是由于地面运动引起的动态作用，属于间接作用，应称为“地震作用”，而不应称为“地震荷载”。

确定单自由度弹性体系的地震作用： 水平方向：E Ek G T F )(α= 竖直方向：E v Evk G F max ,α=
3．4 抗震设计中的重力荷载代表值是什么？其中可变组合值系数的物理含义如何？
答：重力荷载代表值是指地震作用下计算有关效应标准值时，永久性结构构配件、非结构构件和
固定设备等自重标准值加上可变动荷载组合值。

变组合值系数的物理含义：是根据可变重力荷载与地震的遇合概率确定的。

3．5 多自由度集中质量体系地震下的运动方程如何？说明方程中各参数的含义。

答：)(}]{[)}(]{[)}(]{[)}(]{[t x R M t x K t x C t x M g ∙
∙∙
∙
∙-=++
3．6 写出振型质量、振型参与质量、振型参与系数的表达式。

答：振型质量：{}[]{}j T
j j x M x M =
振型参与质量：{}[]{}j R
pj x M R M =
振型参与系数：j
pj j M M V =
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=n m m m m 0
...
0][2
1⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n c c c c c c c c c c .....................][2
1
22221
11211⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n k k k k k k k k k k .....................][21222
2111211)(t x 0
3．7 简述多自由度体系地震反应的振型分解法与振型分解反应谱法的原理和步骤。

答：振型分解法：运用广义位移、刚度和振型的正交性，将求解多自由度体系的总地震反应分解
为求解N 个独立的单自由度弹性体系的最大地震反应，以及每一个振型下的作用效应(弯矩、剪力、轴向力和变形)，再按一定的规则将每个振型的作用效应组合成总的地震作用效应进行截面抗震验算。

步骤：1. 将未知向量{x(t)}按振型向量分解为n 个新变量)(t q i 的线性组合式； 2. 将振型分解式代入运动方程解耦，得到关于振型坐标)(t q i 的独立方程； 3. 求振型系数)(t q i 满足初值条件的解，并得出地震反应的振型分解式。

反应谱法：基于振型分解法和反应谱理论，将各振型地震作用效应按一定的组合规则，计算
地震作用效应的方法。

步骤：1. 计算多自由度体系j 振型各质点i 的水平地震作用的标准值ij F ；
2. 计算j 振型地震作用标准值ij F 下的效应j S 。

可按静力法计算地震作用的效应j S ，
包括轴力j N 、弯矩j M 、剪力j M 和变形j u 等；
3. 按振型组合规则计算体系水平地震作用标准值的效应Ek S 。

3．9简述底部剪力法的基本原理和计算步骤。

底部剪力法的试用范围如何？考虑突出结构顶部的附加地震作用时，写出各质点水平地震作用的计算公式。

答：基本原理：将多自由度体系质点质量均等效到杆系顶点，变成单自由度体系。

适用条件：高度不超过40m ，以剪切变形为主，质量和刚度沿高度分布均匀，以及近似于单
自由度的体系。

3．10 哪些结构应计算竖向地震作用效应？计算方法如何？
答：建筑抗震规范规定：8度、9度时的大跨度或长臂结构、9度时的高层建筑，应计算竖向地
震作用。

计算方法：一是竖向地震下对于以轴变形为主的竖向结构，按多质点体系的反应谱方法计算；
二是对于以弯剪变形为主的水平结构构件，采用等效静力法取结构重力荷载的一定百分比作为竖向地震作用。

3．11 多遇地震下计算结构的弹性变形有哪些方法？ 答：直接法和振型分解反应谱法。

3．12 罕遇地震下弹性变形分析有哪些方法？简述框架结构弹性位移简化计算步骤。

答：分析方法：一般情况下，结构可采用弹性动力时程分析法或弹塑性静力方法。

对于钢筋混凝
土框架结构当不超过1层且刚度沿高度无突变时，以及单层钢筋混凝土排架柱厂房，可采用简化计算方法。

框架结构弹性位移简化计算步骤：首先确定钢筋混凝土框架结构各层的yi ξ或计算单层厂房
横向排架上柱的y ξ。

其次确定薄弱层的位置。

最后计算薄弱层的弹塑性层间位移。

3．13 结构抗震极限状态计算包括哪些方面？简述各类极限状态抗震计算方法和表达式。

答：多遇地震下截面抗震承载力极限状态计算；
多遇地震下结构弹性变形极限状态抗震演算；
罕遇地震下结构弹性变形的承载能力极限状态抗震演算。

习题
3.1 某二层钢筋混凝土框架结构平面和y 向框架里面如下图所示，各框架柱截面尺寸均为350×350mm ，框架梁视为刚性梁，混凝土强度等级C20，其弹性模量23/1025.2mm N E c ⨯= 。

集中于第一、第二楼面标高处的重力荷载代表值分别为 kN G kN G 2048,257521==。

所在地区抗震设防烈度为8度，设计地震分组为第一组，建造于Ⅱ类场地上。

试求：（1）结构在y 轴方向振动的自振周期和相应振型；（2）用振型分解反应谱法确定y 向水平地震下该框架结构的层间剪力。

假定各层框架柱反弯点在层高中部，求图中y 向某平面框架各振型的内力图及振型组和后的内力图。

（3）用底部剪力法计算结构y 向水平地震下的地震作用和层间剪力，并于振型分解反应谱法振型组合后的结果比较。

解：（1）求结构y 向侧移刚度K 及自振周期及相应振型 将结构质量分别集中于第一层楼盖和屋盖标高处，质点自由度取y 方向，在y 方向有四榀相同的两层平面框架，由于无扭转且屋盖为刚性，故总侧移刚度
14321][4][][][][][K K K K K K =+++=
第一层侧移刚度
m N h EI
h i k k c p /1026.15
.435.035.0121
105.25123123123373
3
93
1
2111⨯=⨯⨯⨯
⨯⨯⨯=⨯=⨯=
= 第二层侧移刚度
m N h EI h i k k c p /1046.26
.335.035.0121
105.251231231233733
9
32222
2⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯==
m N k k k k k k k k k K /1084.984.984.988.144][7
2222
122211211
⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡= 由特征方程[][]()
{}02=-x M w K 得自振频率方程为
0002
2222112
2
11121
222211211
=--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡w m k k k w m k m m w k k k k
2
62
2
3737373721211222112
22211122211181.9/102048257584.984.988.1481.9/1020481084.981.9/1025751088.144181.9/1020481084.981.9/1025751088.14214121⨯⨯-⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯=--⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= m m k k k k m k m k m k m k w s w T s
w T w w 205.02641.02{695.30801.9{2
2
1121=======ππ
第一振型
000.1796.021*********=--=w m k k x x 第二振型000
.1000
.12
2111122111-=--=w m k k x x 022********≈+x x m x x m
(2)振型参与系数{}[][]
{}[]{}j
T
j T j j
x M x R M x v = 则 114.11=v 114.02=v 设防烈度8度，基本地震加速度0.2g 时，查表有多遇地震下16.0max =α Ⅱ类场地设计地震分组一组时，查表有s T g 35.0=
0928.0max 9
.011=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ααT
T g
， 16.0max 22==αηα 相应与第一振型的水平地震作用标准值为：
KN v x G F 90.2111111111==α ， KN v x G F 72.2111212121==α
相应与第二振型的水平地震作用标准值为：
KN v x G F 92.462121212==α ， KN v x G F 36.372222222-==α
第一、 二层层间剪力标准值为：
KN V 729.4231= ， KN V 991.2142=
+35.30
+35.30+17.64
+17.64
+35.30
+17.64
52.98
52.93
+0.8
+0.8-3.11
-3.11+0.8-3.11
11.74
9.34
A ．第一振型地震剪力
B ．第二振型地震剪力
79.43
79.4379.43
79.43
79.43
31.75
31.75
31.75
31.75
31.75
79.43
31.75
52.98
52.93
1.8
1.81.8 1.8
1.81.8 5.65.65.6 5.6
5.65.611.74
9.34
C ．第一振型地震弯矩
D ．第二振型地震弯矩
+35.31
+35.31+35.31+17.92
+17.92+17.92
79.45
79.4579.4579.45
79.45
32.26
32.26
32.26
32.26
32.26
79.45
32.26
E ．振型组合后的地震剪力
F ．型地组合后的地震弯矩 （3）底部剪力法
1212.007.008.0,49.04.164.0,0928.0,16.0,35.0211max =+==>====T T T s T g g δαα KN G F eq EK 48.3641==α
KN F 78.1311= ， KN F 66.1882=
KN F F V KN F F V KN F F EK 83.232,44.320,17.4422221122=∆+==+===∆δ
3.2 设某高低两跨错层的钢筋混凝土厂房，采用6榀横向平面排架等距离布置，每榀排架立面如图所示。

已知高跨、低跨屋盖标高处的重力荷载代表值分别为KN G KN G 3025,2130
21==，各榀排架的柔度
系数矩阵为[]()kN m /108.38.18.15.14
22211211-⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=δδδδδ，试计算该结构平动振动时的第一、第二周期及相应的振型，并验算振型的正交性，给出振型位移图。

解：将结构质量集中于各错层标高处，
[]()kN m /108.228.108.10964
22211211-⨯⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=δδδδδ ()()()211222112122221112221112,14
121
δδδδδδδδλ--+±+=
m m m m m m ()21827.0s =λ ， ()220721
.0s =λ ()
11
110.11
-==
s λω ， ()
12
273.31
-==
s λω
s T 712.521
1==
ωπ
， s T 685.122
2==
ωπ
第一振型：
()()897.11
/121211112111=
--=m m x x δλδ 第二振型：
()()371
.01
/121221112212-=
--=m m x x δλδ 022********≈+x x m x x m 所以正交
3.4 某三层的现浇钢筋混凝土框架结构，集中于第一、二、三楼层的重力和在代表值分别为5783kN 、5590kN 、4632kN ，第一～第三层框架柱侧移刚度分别为
m N m N m N /101.20,/102.27,/102.33777⨯⨯⨯。

试分别用能量法、顶点位移法、等效单质点发及向
量迭代法求结构水平方向的基本自振周期。

解：（1）能量法
kN
G kN G kN G 4632,5590,5783321===，
m N K m N K m N K /101.20,/102.27,/102.33737271⨯=⨯=⨯=
m
u u u u m u u u m u u m K G G G u m K G G G u m K G G G u 108.0085.0048.0023.0/)(037.0/)(048.0/)(321121211332132321213211=∆+∆+∆==∆+∆==∆==++=∆=++=∆=++=∆
s T 586.0108
.04632085.05590048.05783108.04632085.05590048.0578322221=⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=
（2）顶点位移法
s u T 559.07.131==
（3）等效单质点法
取等效点在结构屋盖标高处
kg M eq
532
3231041.918.9104632108.0085.08.9105590108.0048.08.9105783⨯=⨯⨯+
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯= 83
2110164.1111-⨯=++=
K K K tm δ s M T tm eq 657.021=⋅=δπ
3.6 某二层框架房屋，处于Ⅱ类建筑场地，设计地震为第一组，设防烈度为7度。

集中于底层和二层
楼盖标高的重力荷载代表值分别是2120kN 、1832kN 。

层高均为4m 。

柔度矩阵为
[]()kN m /1041.544.344.326.352221
1211-⨯⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=δδδδδ。

（1）试用能量法求基本自振周期；（2）用底部剪力法计算各层地震作用；（3）验算多遇地震下各层层间弹性位移是否满足要求。

解：（1）各质点重力荷载代表值：kN G kN G 1823,212021==，将其作为水平力分别用在个质点处，所产生各质点水平位移k u 可按{}[]{}G u δ=计算。

⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧212221
121121G G u u δδδδ m G G u 1318.02121111=+=δδ ， m G G u 1716.02221212=+=δδ
s u
G u
G T n
k k
k
n
k k
k
782.02
1
12
1==∑∑==
（2）Ⅱ类建筑场地，设防烈度为7度。

9.0.0.1,35.0,08.02max ====γηαs T g
039.0max 21
1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=αηαγ
T
T g
kN G F eq EK 71.1301==α
49.047.1728.01=>=g T 周期较大 1326.007.008.012=+=T δ
kN
F F V kN F F V kN F F kN
F kN
F EK 98.9971.13033.1771.1301326.065.8217.1308
1832418328
183206.4071.1308
1823421204
21202222112221=∆+==+==⨯==∆=⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯=
δ （3）多遇地震的层间位移
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧212221121121V V u u e e δδδδ m
u m u m V V u m V V u e e e e 0022.00077.00099.0,0077.02122212122121111=∆=∆=+==+=δδδδ。