2023年河南省名校青桐鸣高考数学联考试卷(理科)(3月份)+答案解析(附后)

2023年河南省名校青桐鸣高考数学联考试卷（理科）（3月份）
1. 已知复数z满足，则( )
A. 1
B.
C. 2
D.
2. 已知集合，，则( )
A.
A B.
B C. D.
3. 某研究所收集、整理数据后得到如下列表：
x23456
y3791011
由两组数据可以得到线性回归方程为，则( )
A. B. C. D.
4.
已知，，，则这三个数的大小关系为( )
A. B. C. D.
5. 已知数列满足，其前n项和为，若，则( )
A. B. 0 C. 2 D. 4
6. 已知函数若，则实数( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7. 已知第二象限角满足，则( )
A. B. C. D.
8. 下列选项正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为
D. 的最小值为
9.
已知点O为所在平面内一点，在中，满足，
，则点O为该三角形的( )
A. 内心
B. 外心
C. 垂心
D. 重心
10.
已知正四棱柱中，，点M为的中点，若P 为动点，且，则P点运动轨迹与该几何体表面相交的曲线长度为( )
A. B. C. D.
11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，若外接圆的面积为，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
12.
已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为( )
A. B. C. D.
13. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______ .
14. 已知，函数都满足，又，则
______ .
15. 已知函数的图象关于点中心对称，其最小正周期为T，且，则的值为______ .
16. 已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数a 的取值范围为______ .
17. 已知数列满足，，
求数列的通项公式；
若数列，为数列的前n项和，求
18. 我国某医药研究所在针对某种世界疾病难题的解决方案中提到了中医疗法，为证实此方法的效用，该研究所购进若干副某种中草药，现按照每副该中草药的重量大小单位：克分为4组：并绘制频率分布直方图如图所示：
估计每副该中草药的平均重量同一组中的数据用该区间的中点值作代表；
现从每副重量在内的中草药中按照分层抽样的方式一共抽取6副该中草药，再从这6副中草药中随机取出2副进行分析，求取出的2副中仅有1副重量在
中的概率.
19. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，
，平面ABCD，H为DC的中点.
求证：平面平面POC；
已知二面角的平面角为，求
20. 已知抛物线C：的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心，为半径的圆的最小面积为
求抛物线C的标准方程；
过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线，，两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
21. 已知函数
求曲线在处的切线在x轴上的截距；
当时，证明：函数在上有两个不同的零点，，且当
时，
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的参数方程是为参数求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
已知曲线C与直线l相交于A，B两点，则的值.
23. 已知函数
求函数的最小值；
设，，若的最小值为m，且，求的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，设，a，，所以，所以所以或，
所以复数或，
所以
故选：
根据复数的四则运算可求得z，即可求得
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由，即，所以，
所以
由，得，所以，解得，
所以，
所以
故选：
首先解对数不等式及一元二次不等式，求出集合A、B，再根据交集的定义计算，即可判断．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，，，由于样本中心点在回归直线上，
所以，
所以
故选：
先求出样本点，代入回归方程求解．
本题考查线性回归直线的性质，方程思想，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为，，，
所以
故选
由已知结合指数函数及对数函数，正弦函数的单调性分别确定a，b，c的范围，进而可比较a，b，c的大小．
本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：，
数列为等差数列，则，即，
，解得
故选：
先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，当时，，不符合题意；
当时，，解得；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意．
故选：
根据a的范围，即可确定单调范围，进而代入即可分情况求解．
本题主要考查分段函数及其应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，第二象限角满足，
又，
所以，
故，
所以，，
故选：
由三角函数基本关系可求出，，由倍角公式可求出，，代入和差的正弦
公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式，和差角公式的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：当与为负数时，显然不成立，选项A不正确；
因为x不一定为正数，当x为负数时，显然不成立，选项B不正确；
令所以的最小值为3，当且仅当时，取到最小值，选项C不正确；
，因为，所以，当且仅当时，取到最小值，选项D正确．
故选：
结合选项，利用特殊值或函数的单调性进行求解．
本题主要考查了基本不等式及应用条件的检验，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，，即，所以，则向量在向量上的投影为的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：
由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断．
本题主要考查三角形五心，考查向量数量积的运算，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：由题意分析点P的轨迹为以M为圆心，以为半径的球，
此球面与正四棱柱上下底面交线为半径1的两个圆，
与面和面的交线为半径为1的半圆，长度为
故选：
由题意分析点P的轨迹为以M为球心，以为半径的球，所以在正四棱柱
的表面上找到M的距离为的点的集合．
本题主要考查轨迹方程的求法，棱柱的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】B
【解析】解：由已知及正弦定理得，
所以，
所以，
又，
所以
由的外接圆面积为，得外接圆的半径为
由正弦定理得，
所以，
所以，解得，
所以的面积，当且仅当时等号成立．
故选：
利用边角转化结合余弦定理可得，根据面积公式和基本不等式可求答案．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：因为，所以，
设，，在中，
由余弦定理得，
即，所以，
根据椭圆定义有：，所以，
所以，
因为，
因为P在第一象限，所以，代入椭圆中，得，
因为，所以，
所以直线，
联立，可得，
显然，则，因为，所以，
所以
故选：
设，，在中，由余弦定理结合椭圆定义可得mn，根据面
积相等，即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据点坐标即可得直线PQ方程，与椭圆联立可得Q点纵坐标，进而求得三角形面积．
本题主要考查了直线与椭圆的综合问题，属于中档题，关于焦点三角形问题的思路有：设出两个焦半径为m，n，求得；先由余弦定理建立m，n等式；再由椭圆定义建立，两式联立可得，mn；再根据等面积法
，即可求得P点坐标．
13.【答案】
【解析】解：双曲线的离心率为，
，又，，
由，得，
双曲线方程为，
该双曲线的渐近线为
故答案为：
根据离心率得，进而可得，即可求解渐近线．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，，显然，
所以，
所以，
所以函数的周期为6，
所以
故答案为：
根据得到，再利用函数周期性求值即可．
本题主要考查了函数的周期在函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
因为图象关于点中心对称，所以，所以
，
所以，
又因为最小正周期为T，且，所以可得，则，
所以当时，的值为
故答案为：
先化简，然后由关于点中心对称可得到，结合即可求解．
本题主要考查三角函数解析式的确定，考查余弦函数的性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：易知的定义域为，由有且仅有1个整数解，
所以不等式有且仅有1个整数解．
设，则，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
又，则当时，；当时，
设，则直线恒过点，在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示，
由图象可知，，
要使不等式有且仅有1个整数解，
则，解得，实数a的取值范围为
故答案为：
在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，根据恒过
点和有且仅有一个整数解得不等式，从而解得a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意，，，
，则，，，…，，，
利用累乘法可得，，
根据题意，
【解析】将递推式变形为，利用累乘法求解通项公式；
利用结论化简得，利用裂项相消法求和计算即可．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：根据题意可得
克，
所以每副该中草药的平均重量约为32克；
因为重量在的频率为，
重量在的频率为，
所以按照分层抽样的方式，取出的6副该中草药中重量在中的有4副，
重量在中的有2副，
所以从这6副中草药中随机取出2副有种方法，
满足取出的2副中仅有1副重量在中记为事件有种方法，
所以，
故取出的2副中仅有1副重量在中的概率为
【解析】根据频率分布直方图中平均数的估算公式即可求解；
由这两组的频率关系结合分层抽样可以求得中草药中重量在中的有4副，重量在中的有2副，进而根据古典概型的计算公式即可求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
19.【答案】证明：，H为DC中点，
，
平面ABCD，平面ABCD，
，
，平面POC，平面POC，
平面POC，
又平面DPO，
平面平面
解：以O为原点，OB，OP所在直线分别为y轴、z轴，作x轴平面APB，如图所示．
设，则，，，
，，
由知，为平面POC的一个法向量，
设为平面PBC的法向量，
则，即，
取，可得，
则
解得，
又，，
【解析】根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理进行证明即可；
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可．
本题主要考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．
20.【答案】解：设点，，则，
因为以E为圆心，以为半径的圆的最小面积为，
所以，
所以负值舍去，解得，
所以抛物线C的标准方程为；
设，，
易得，由题意知直线MN的斜率一定存在，
则设直线MN的方程为，
联立得，，所以，，
由，得，则切线的斜率为，
则切线的方程为，即①．
同理可得切线的方程为②．
①-②得，
代入①得，，
所以点P的轨迹方程为
【解析】当圆心在原点时，此时半径为，圆的面积最小是解题的关键；
设出直线MN的方程，利用导数与切线方程的关系求出切线，联立两条切线方程求出交点即可求解．
本题主要考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，利用设而不求的方法，设出直线方程与圆锥曲线联立消元得出韦达定理，通过转化化简用韦达定理表示出问题，是处理直线与圆锥曲线位置关系必须要掌握的方法，属于中档题．
21.【答案】解：，
又，所以，
则曲线在处的切线方程为，
令得，，
故切线在x 轴上的截距为
证明：要证函数在上有两个不同的零点
，
，
只需证方程在
上有两个不同的实数解，
即证方程在上有两个不同的实数解，
设，则，
当时，
；当
时，，
所以在上单调递减，在
上单调递增，
因为，，所以存在，使得；
又，
，所以存在，使得
，故函数在上有两个不同的零点，
由上易知，，，两式相加得，两式相减得，，
则，
令，则
，
所以，
设，
则，
所以在
上单调递减，
则，故当时，
【解析】
分别求得
，
，写出切线方程；
将证函数
在
上有两个不同的零点
，
，转化为方程
在上
有两个不同的实数解，令
，利用导数法证明；由
，
，两式相加和相减联立得到
，令
，则，则
，设
，利用导数法证明
即可．
本题考查导数的综合应用，构造函数证明不等式，利用导数求曲线的切线，属难题．
22.【答案】解：曲线C的参数方程是为参数，
消去参数可得，，即，
故曲线C的普通方程为，
曲线l过点，倾斜角为，
则直线l的参数方程为
联立直线l的参数方程与曲线C的普通方程可得，，
化简得，
直线l相交于A，B两点，设点A对应的参数为，点B对应的参数为，
故，
则
【解析】根据曲线C的参数方程，消去参数，即可求解，再结合参数方程的定义，即可求出直线l的参数方程；
根据已知条件，结合直线参数方程的几何意义，即可求解．
本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
23.【答案】解：依题意得
当时，可得函数取最小值
由可得，
，
根据柯西不等式可得，
，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为
【解析】得到求解；
由，得到，再利用柯西不等式求解．
本题主要考查函数最值的求法，柯西不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．。