高中数学必修五数列知识点+练习含答案解析(非常详细)

第一部分必修五数列知识点整理
第二章 数列
1、数列的定义及数列的通项公式：
①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值
②
i.归纳法
若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段
iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +
iv. 若()n
n S f a =，先求1a 11()
()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递
推关系式
例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：1121
21
n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）
1122n n n a a a ++=-
2.等差数列：
① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；
d ＞0时，n
a 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 1(1)
2
n n na d -=+
，
0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：
ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2
a b
A +=。

3.等比数列： ① 定义：
1
n n
a q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项
时为常数列)。

③.前n 项和
需特别注意
,公比为字母时要讨
论.
④.性质：
ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。

iv.G 为a,b 的等比中项,ab G ±=
4.数列求和的常用方法:
①.公式法:如13,32+=+=n n n a n a
②.分组求和法:如52231-++=+n a n n n ，可分别求出{
}3n ，{}12n +和{}25n -的和，然后把三部分加起来即可。

③如()n
n n a ⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯+=2123，
()231
11111579(31)3222222n n
n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
12n S =2
3
4
111579222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…＋()()1
11313222n
n n n +⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
两式相减得：()2
3
1
111111522232222222n
n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，以下略。

④如()n n n
n a n n n n a n n -+=++=
+-=+=
111;1
1
111，
()()1
111212122121n a n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
等。

⑤.倒序相加法.例：在1与2之间插入n 个数12,3,,,n a a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等差数列，
求：12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，（答案：3
2
n S n =
）
第二部分 必修五练习题含答案解析
第二章 数列
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2
2
＝1，则数列{a n }的公差是( )
A.1
2
B ．1
C ．2
D ．3 [答案] C[解析] 设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)
2
d ，
∴{S n n }是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S 33－S 22＝1，∴d
2
＝1，∴d ＝2.
2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )
A.a 5a 3
B.S 5
S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n
[答案] D[解析] 等比数列{a n }满足8a 2＋a 5＝0，即a 2(8＋q 3)＝0，∴q ＝－2，∴a 5
a 3
＝q 2＝4，
a n ＋1a n ＝q ＝－2，S 5
S 3＝a 1(1－q 5
)
1－q a 1(1－q 3)1－q
＝1－q 51－q 3＝113，都是确定的数值，但S n ＋1S n ＝1－q n ＋
11－q n
的值随n 的变化而变化，故选D.
3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2
[答案] C[解析] ∵a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，∴a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2，a 5＝0，…，即a 2k －1＝0，a 2k ＝2，∴a 2011＝0.
4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1
3
(a 5＋a 7＋a 9)的值是
( )
A ．－5
B ．－15
C ．5 D.1
5
[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *
)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n 的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．
[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，
∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35，∴log 1
3
(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.
5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n
b n
为正偶数
时，n 的值可以是( )
A ．1
B ．2
C ．5
D ．3或11
[答案] D[解析] ∵{a n }与{b n }为等差数列，∴a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋38
2n ＋2
＝
7n ＋19
n ＋1
，将选项代入检验知选D. 6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，1
2a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5
的值为( )
A.1－52
B.5＋12
C.5－12
D.5＋12或5－12
[答案] C[解析] ∵a 2，1
2
a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，
∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋1
2
.
∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q
＝5－12，故选C.
7．已知数列{a n }为等差数列，若a 11
a 10
<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大
值n 为( )
A ．11
B ．19
C ．20
D ．21
[答案] B[解析] ∵S n 有最大值，∴a 1>0，d <0，∵a 11
a 10
<－1，
∴a 11<0，a 10>0，∴a 10＋a 11<0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)
2
＝10(a 10＋a 11)<0，
又S 19＝19(a 1＋a 19)
2
＝19a 10>0，故选B.
8．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1
2
，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，
则Πn 中最大的是( )
A ．Π11
B ．Π10
C ．Π9
D ．Π8
解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋…＋n －1＝29n ⎝⎛⎭⎫－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2＋19n 2
，∴当
n ＝9时，Πn 最大．故选C
9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( ) A ．1004 B ．1005 C ．1006 D ．1007 [答案] C[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝13a 1＋3×2
2d ＝a 1＋4d
，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝1d ＝2， ∵a m ＝a 1＋(m －1)d ＝1＋2(m －1)＝2m －1＝2011，∴m ＝1006，故选C.
10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前
100项中与数列{b n }中相同的项有( )
A ．50项
B ．34项
C ．6项
D ．5项
[答案] D[解析] a 1＝2＝b 1，a 2＝8＝b 3，a 3＝14，a 4＝20，a 5＝26，a 6＝32＝b 5，又b 10＝210＝1024>a 100，b 9＝512，令6n －4＝512，则n ＝86，∴a 86＝b 9，b 8＝256，令6n －4＝256，∵n ∈Z ，∴无解，b 7＝128，令6n －4＝128，则n ＝22，∴a 22＝b 7，b 6＝64＝6n －4无解，综上知，数列{a n }的前100项中与{b n }相同的项有5项．
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1
a n ，a 1
＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________.
[答案] 2
[解析] a 1＝2，a 2＝1－12＝1
2，a 3
＝1－2＝－1，a 4＝1－(－1)＝2，∴{a n }的周期为3，且a 1a 2a 3
＝－1，∴P 2011＝(a 1a 2a 3)670·a 2011＝(－1)670·a 1＝2.
12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，
已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人． [答案] 255
[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n
＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．
故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×14
2
×2)＝255人．
13．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，1
2a 3,2a 2成等差数列，则a 3＋a 10a 1＋a 8
＝________.
[答案] 3－2 2
[解析] ∵a 1，1
2
a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，设数列{a n }公比为q ，则a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，
∵a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝－1±2，∵a n >0，∴q ＝2－1，
∴a 3＋a 10a 1＋a 8
＝q 2＝3－2 2. 14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，
[答案] 22
[解析] 由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q
＝2，∴b ＝2×2＝4由横行等差知c 下边为4＋6
2
＝5，故c ＝5×2＝10，由纵列公比为2知a ＝1×23
＝8，∴a ＋b ＋c ＝22.
15．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1
b n
＝0的两个根，则数列{b n }的前
n 项和S n ＝________．
[答案] n
n ＋1
[解析]由题意得a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，又∵a n －n ＝－[a n ＋1－(n ＋1)]，a 1＝1
∴a n ＝n ，又a n ·a n ＋1＝1b n ，∴b n ＝1n (n ＋1).∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－1
n ＋1
＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，
q ∈R )，n ∈N *. (1)求q 的值；
(2)若a 3＝8，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和． [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2＋q ，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn 2－2n ＋q －p (n －1)2＋2(n －1)－q ＝2pn －p －2 ∵{a n }是等差数列，∴p －2＋q ＝2p －q －2，∴q ＝0. (2)∵a 3＝8，a 3＝6p －p －2，∴6p －p －2＝8，∴p ＝2， ∴a n ＝4n －4，
又a n ＝4log 2b n ，得b n ＝2n －
1，故{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列．
所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1－2n )1－2
＝2n
－1.
17．(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，
b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ；
(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1
S n
的值．
解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －
1，
依题意有⎩
⎪⎨⎪⎧
S 2b 2＝(6＋d )q ＝64
S 3b 3＝(9＋3d )q 2
＝960， 解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
d ＝2q ＝8 或
⎩⎨⎧
d ＝－
65
q ＝403
(舍去)，
故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －
1.
(2)由(1)知S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋
1
3×5
＋…＋1
n (n ＋2)
＝1
2⎝⎛⎭
⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝3
4－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).
18．(本小题满分12分)已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝1
3
S n .
(1)求b 2，b 3，b 4的值； (2)求{b n }的通项公式；
(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．
[解析] (1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝16
27.
(2)⎩
⎨⎧
b n ＋1＝1
3
S n ①
b n ＝1
3
S n －1 ②
①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝4
3
b n ，
∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝⎛⎭
⎫43n －2
(n ≥2)
∴b n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1 (n ＝1)13·⎝⎛⎭
⎫43n －2(n ≥2).
(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为1
3
，公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－(43
)2n ]1－⎝⎛⎭
⎫432
＝37[(4
3
)2n －1]． 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1)．设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n
∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列． (1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)若b n ＝a n f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；
(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由题意f (a n )＝m 2·m n －1，即ma n ＝m n ＋
1. ∴a n ＝n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝1，
∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋
1，
当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋
1，
∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋
1①
①式两端同乘以2得，
2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋
2② ②－①并整理得，
S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋
2
＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋
2
＝－22－22(1－2n
)1－2
＋(n ＋1)·2n ＋2
＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋
2·n .
(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1
＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ，
要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *
成立，
即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋
2·lg m ，对一切n ∈N *成立，
①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；
②当0<m <1时，lg m <0，所以n ＋1
n ＋2
>m 对一切n ∈N *成立，
因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2
的最小值为23，所以0<m <23.
综上，当0<m <2
3
或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．
20．(本小题满分13分)将函数f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 1
2
(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值
点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．
[解析] (1)化简f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 1
2
(x ＋3π)
＝sin x 4cos x 4·⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－14
sin x 其极值点为x ＝k π＋π
2
(k ∈Z )，
它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以π
2
为首项，π为公差的等差数列，
a n ＝π
2＋(n －1)·π＝2n －12
π(n ∈N *)．
(2)b n ＝2n a n ＝π
2(2n －1)·2n
∴T n ＝π2[1·2＋3·22＋…＋(2n －3)·2n －
1＋(2n －1)·2n ]
2T n ＝π2
[1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋
1]
相减得，－T n ＝π2
[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋
1]
∴T n ＝π[(2n －3)·2n ＋3]．
21．(本小题满分14分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n
3n ＋1
，求数列{b n }的通项公式；
(3)令c n ＝a n b n
4
(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .
[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式 ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .
(2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n
3n ＋1
(n ≥1)①
∴a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n
3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1
②
②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋
1＋1)，
故b n ＝2(3n
＋1)(n ∈N *)．
(3)c n ＝a n b n
4
＝n (3n ＋1)＝n ·3n ＋n ，
∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n )＋(1＋2＋…＋n ) 令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，①
则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋
1②
①－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3(1－3n
)1－3
－n ×3n ＋1
∴H n ＝(2n －1)×3n ＋1
＋3
4
，
∴数列{c n }的前n 项和
T n ＝(2n －1)×3n ＋
1＋34＋n (n ＋1)2.。