湖北省武汉市华中师大一附中高二数学下学期期中试卷

2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试
卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且f（x）=，则这个正态总体的期望与标准差分别是（）
A．10与4 B．10与2 C．4与10 D．2与10
3．函数f（x）=lnx﹣x2的大致图象是（）
A．B．C．
D．
4．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（）
A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3…
5．设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）
A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．
6．若复数z=+，则|z|的值为（）
A．B．C．D．2
7．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）
A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）
8．若z=+i，且（x﹣z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a2等于（）
A．﹣+i B．﹣3+3i C．6+3i D．﹣3﹣3i 9．已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m A．B．C．D．
10．设f （x）为可导函数，且满足=﹣1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（）
A．2 B．﹣1 C．D．﹣2
11．甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（）
A．0.6k﹣1×0.4 B．0.24k﹣1×0.76 C．0.4k﹣1×0.6 D．0.6k﹣1×0.24
12．已知f（x）=，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（2）＞0；④f（0）f（2）＜0．其中正确结论的序号为（）
A．①③B．①④C．②④D．②③
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．|x+2|dx= ．
14．已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1z2是实数，则|z1+z2|= ．
15．已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是．
16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题10分共70分．）
17．复数z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．
18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．
19．已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；
（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．
20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
21．已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设
=x，，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设g（x）=x3+3a2x+2a，x∈[0，1]．若对任意x1∈[，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
22．函数f（x）=alnx+1（a＞0）．
（Ⅰ）当x＞0时，求证：；
（Ⅱ）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．
（Ⅲ）当时，求证：）（n∈N*）．
2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）在复平面内对应的点所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先对复数进行整理，再由角的正弦和余弦的符号，判断出此复数对应的点所在的象限．
【解答】解：复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）=﹣2sin2016°+2icos2016°，
2016°=360°×5+180°+36°，
∵sin2016°=﹣sin36°＜0，cos2016°=﹣cos36°＜0，
∴复数z在复平面内对应的点为（﹣2sin2016°，2cos2016°）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了复数与复平面内对应点之间的关系，需要利用三角函数的符号进行判断实部和虚部的符号，是基础题．
2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且f（x）=，则这个正态总体的期望与标准差分别是（）
A．10与4 B．10与2 C．4与10 D．2与10
【分析】根据正态分布函数的式子得出：μ，σ，即可选择答案．
【解答】解：∵f（x）=，且该正态曲线是函数f（x）的图象，
∴根据正态分布函数的式子f（x）=，
∴得出：μ=10，σ=2，
故选：B．
【点评】本题考察了正态分布曲线的函数解析式，运用公式求解即可，属于基础题．
3．函数f（x）=lnx﹣x2的大致图象是（）
A．B．C．
D．
【分析】由f（x）=lnx﹣x2可知，f′（x）=﹣x=，从而可求得函数f （x）=lnx﹣x2的单调区间与极值，问题即可解决．
【解答】解：∵f（x）=lnx﹣x2，其定义域为（0，+∞）
∴f′（x）=﹣x=，
由f′（x）＞0得，0＜x＜1；f′（x）＜0得，x＞1；
∴f（x）=lnx﹣x2，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
∴x=1时，f（x）取到极大值．又f（1）=﹣＜0，
∴函数f（x）=lnx﹣x2的图象在x轴下方，可排除A，C，D．
故选B．
【点评】本题考查函数的图象，是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用，注重考查学生分析转化解决问题的能力，属于基础题．
4．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（）
A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3…
【分析】利用无放回抽样的性质求解．
【解答】解：∵袋中有大小相同的红球6个，白球5个，
从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，
所需要的取球的次数为随机变量ξ，
∴ξ的可能值为1，2， (7)
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的可能取值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意无放回抽样的性质的合理运用．
5．设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）
A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．
【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|
的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为
的最小值，
设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．
【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，
函数上的点到直线y=x的距离为，
设g（x）=（x＞0），则，
由≥0可得x≥ln2，
由＜0可得0＜x＜ln2，
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，
∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，
，
由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．
故选B．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好
6．若复数z=+，则|z|的值为（）
A．B．C．D．2
【分析】先利用复数的除法法则化简，再求模即可．
【解答】解：z=+=，∴|z|=，
故选B
【点评】本题考查复数除法运算，考查复数的模的几何意义，属于基础题．
7．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）
A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．
【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，
又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②
①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．
【点评】本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感．
8．若z=+i，且（x﹣z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a2等于（）
A．﹣+i B．﹣3+3i C．6+3i D．﹣3﹣3i
【分析】根据二项式定理写出展开式的通项，要求的量是二项式的第三项的系数，根据x 的次数求出r，代入式子求出结果，题目包含复数的运算，是一个综合题．
【解答】解：∵T r+1=Cx4﹣r（﹣z）r，
由4﹣r=2得r=2，
∴a2=6×（﹣﹣i）2
=﹣3+3i．
故选B
【点评】本题考查二项式定理和复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．
9．已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
A．B．C．D．
【分析】由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案．
【解答】解：∵由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，
∴根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，
∴S==1﹣，
∵S+m=1，
∴m=，
故选C．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质，在一个试验中所有的变量的概率之和是1，本题又考查等比数列的和，是一个综合题．
10．设f （x）为可导函数，且满足=﹣1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（）
A．2 B．﹣1 C．D．﹣2
【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限式进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即得到函数在这一个点的切线的斜率．
【解答】解：∵，
∴
∴
∴f′（1）=﹣2
即曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是﹣2，
故选D．
【点评】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式．
11．甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（）
A．0.6k﹣1×0.4 B．0.24k﹣1×0.76 C．0.4k﹣1×0.6 D．0.6k﹣1×0.24 【分析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为ξ，甲先投，则ξ=k表示甲第k次甲投中篮球，而乙前k﹣1次没有投中，甲k﹣1也没有投中或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球，根据公式写出结果．
【解答】解：∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，
∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，
甲投篮的次数为ξ，甲先投，则ξ=k表示甲第k次投中篮球，而甲与乙前k﹣1次没有投中，或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球．
根据相互独立事件同时发生的概率得到0.4k﹣1×0.6k﹣1×0.4=0.24k﹣1×0.4；
k次甲不中的情况应是0.4k﹣1×0.6k×0.6，
故总的情况是0.24k﹣1×0.4+0.24k﹣1×0.6×0.6=0.24k﹣1×0.76．
故选B．
【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解ξ=k的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．
12．已知f（x）=，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（2）＞0；④f（0）f（2）＜0．其中正确结论的序号为（）
A．①③B．①④C．②④D．②③
【分析】先求出f′（x），再进行因式分解，求出f′（x）＜0和f′（x）＞0对应x的范围，即求出函数的单调区间和极值，再由条件判断出a、b、c的具体范围和f（1）＞0且f （2）＜0，进行求解得到abc的符号，进行判断出f（0）的符号．
【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），
∴当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞），减区间是（1，2），
∴函数的极大值是f（1）=，函数的极小值是f（2）=2﹣abc，
∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，
∴a＜1＜b＜2＜c，f（1）＞0且f（2）＜0，解得2＜，
∴f（0）=﹣abc＜0，
则f（0）f（1）＜0、f（0）f（2）＞0，
故选D．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根关系，利用导数求出函数的单调区间和极值等，考查了分析、解决问题的能力．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．|x+2|dx= ．
【分析】题目给出的是含有绝对值的定积分，计算时根据被积函数的零点分段，所以需要把积分区间分成两段，然后把被积函数去绝对值后再求积分．
【解答】解： =
==
=
=．
故答案为．
【点评】本题考查了定积分，解答此题时首先要熟练掌握微积分基本定理，同时注意含有绝对值的定积分要分段求解．
14．已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1z2是实数，则|z1+z2|= ．
【分析】利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出．
【解答】解：z1z2=（2+i）（a+3i）=2a﹣3+（6+a）i是实数，∴6+a=0，解得a=﹣6．
∴z2=﹣6+3i．
∴z1+z2=（2+i）+（﹣6+3i）=﹣4+4i．
∴|z1+z2|=|﹣4+4i|==．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则和复数模的计算公式，属于基础题．
15．已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，
则实数a的取值范围是a．
【分析】∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．
【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，
f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x，
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；
当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，
所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．
故答案为：a≥．
【点评】本题考查二次函数的性质及利用导数求函数的最值，考查“能成立”问题的处理方法，解决该题的关键是把问题转化为求函数的最值问题解决．
16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16 ．
【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间
（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，
∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，
即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a（﹣5）+b]=0，
解之得，
因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，
求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，
令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，
当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0
∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．
又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，
∴f（x）的最大值为16．
故答案为：16．
【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题10分共70分．）
17．复数z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．
【分析】可求得+z2=+（a2+2a﹣15）i，利用其虚部为0即可求得实数a 的值．
【解答】解：∵z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，
∴+z2是=[+（a2﹣10）i]+[ +（2a﹣5）i]
=（+）+（a2﹣10+2a﹣5）i
=+（a2+2a﹣15）i，
∵+z2是实数，
∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3．
又分母a+5≠0，
∴a≠﹣5，
故a=3．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查转化思想与方程思想，属于中档题．
18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．
【分析】（Ⅰ）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列．
（Ⅱ）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列．
（Ⅲ）五名志愿者中参加A岗位服务的人数ξ可能的取值是1、2，ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果．写出分布列．
【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A，
总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．
满足条件的事件数是A33，
那么，
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，
满足条件的事件数是A44，
那么，
∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，
则．
∴，ξ的分布列是
ξ 1 2
P
【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点．总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C52混淆为A52，
19．已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；
（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．
【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．
【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k1=2a，
g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，
即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．
（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1
则h′（x）=3x2+6x﹣9，
令h'（x）=0，
解得：x1=﹣3，x2=1；
∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28
﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28
所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．
20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；
（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．
【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；
当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：
（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，
P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）
=1﹣0.1﹣0.2=0.7，
X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76
DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44
（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4
∵76.4＞76，∴应购进17枝
【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．
21．已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设
=x，，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设g（x）=x3+3a2x+2a，x∈[0，1]．若对任意x1∈[，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）表示出向量AM，根据P、M、Q三点共线，得到关于x，y的等式，解出y即f （x）的解析式；
（2）分别根据f（x），g（x）的单调性，求出f（x），g（x）的值域，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）∵过点M的直线分别交两边AB、AC于P、Q，
∴0＜x≤1，0＜y≤1…（1分），
又∵=x， =y，
∴==（+）=+…（2分），
又∵P、M、Q三点共线，
∴+=1，
∴y=f（x）=…（3分），
由得，
∴≤x≤1…（4分），
∴y=f（x）=，x∈[，1]…（5分）；
（2）∵f（x）==+在[，1]内是减函数，
∴[f（x）]min=f（1）=，[f（x）]max=f（）=1，
即函数f（x）的值域为[，1]…（7分），
∵g'（x）=3x2+3a2≥0，
∴g（x）在[0，1]内是增函数，
∴[g（x）]min=g（0）=2a，[g（x）]max=g（1）=3a2+2a+1，
∴g（x）的值域为[2a，3a2+2a+1]…（9分），
由题设得[，1]⊆[2a，3a2+2a+1]，
则…（11分）
解得a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[0，]…（12分）．
【点评】本题考查了向量共线问题，考查求函数的解析式，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
22．函数f（x）=alnx+1（a＞0）．
（Ⅰ）当x＞0时，求证：；
（Ⅱ）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．
（Ⅲ）当时，求证：）（n∈N*）．
【分析】（I）通过构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值即可证明；
（II）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即，令，利用导数研究函数的单调性、极值及最大值即可；
（III）由第一问得知，则，然后利用“累加求和”即可证明．【解答】（ I）证明：设
令，则x=1，即φ（x）在x=1处取到最小值，
则φ（x）≥φ（1）=0，即原结论成立．
（ II）解：由f（x）＞x得alnx+1＞x
即，
令，
令，，
则h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0
∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e﹣1
所以a的取值范围为[e﹣1，+∞）．
（ III）证明：由第一问得知，则
则
=
=
=2n﹣
=2n﹣2（）=．
【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及最大值，及恰当构造函数法，“累加求和”等方法．。