2023年中考数学讲练必考重点02 圆的性质(含答案)

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[选择题]必考重点02 圆的性质
关于圆的性质的考查 ,在江苏省各地级市中都有考查 ,考点主要集中在切线的性质与判定、圆周角定理 ,其中切线的考查较多 ,难度由简单到较难不等 ,对于圆的考查在选择题中并不仅限于考查圆的性质 ,垂径定理、圆与多边形以及与圆有关的计算等也都有考查 ,大多比较简单 ,没有作为一个单独的专题进行讲解。

在解决圆周角有关题目时 ,首先要把握圆周角的概念 ,能够在图形中找到圆周角是解决此类题目的关键 ,然后运用圆周角定理及其推论找到相等的角、弧、弦等 ,通过转化即可求解。

在解决圆的切线的有关题目时 ,应熟练掌握圆的切线的概念和判定定理以及圆的切线的性质 ,能够运用切线的性质 ,证明角度、线段之间的关系 ,重点掌握利用切线性质证明三角形相似的方法。

[2022·江苏镇江·中考母题]如图 ,在等腰ABC 中 ,120BAC ∠=︒ ,BC = ,O 同时与边BA 的延长线、射
线AC 相切 ,O 的半径为3．将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转()0360αα︒<≤︒ ,B 、
C 的对应点分别为B '、C ' ,在旋转的过程中边B C ''所在直线与O 相切的次数为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[考点分析]本题主要考查了圆的切线 ,涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识 ,熟练掌握相关知识 ,精准识图并准确推断图形的运动轨迹 ,进行合理论证是本题的解题关键． [思路分析]首先以A 为圆心 ,以BC 边的中线为半径画圆 ,可得⊙A 的半径为3 ,计算出OA 的长度 ,可知⊙O 与⊙A 相切 ,根据两个相切圆的性质 ,即可得到答案． [答案]C
[详解]解：如图：
作AD ⊥BC ,以A 为圆心 ,以AD 为半径画圆
∵AC 、AB 所在的直线与⊙O 相切 ,令切点分别为P 、Q ,连接OP 、OQ ∴AO 平分∠P AQ ∵∠CAB =120° ∴∠P AO =30° ∵OP =3 ∴AO =
sin 30OP
︒
=6 ∵∠BAC =120° ,AB =AC
∴∠ACB =30°
,CD = 1
2
BC = ∴AD = tan30CD ︒=3 ∴⊙A 的半径为3, ∴⊙O 与⊙A 的半径和为6 ∵AO =6
∴⊙O 与⊙A 相切 ∵AD ⊥BC
∴BC 所在的直线是⊙A 的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切
∴当α=360°时,BC所在的直线与⊙O相切
同理可证明当α=180°时,B C''''所在的直线与⊙O相切．
当B C''⊥AO时,即α=90°时,B C''所在的直线与⊙O相切．
∴当α为90°、180°、360°时,BC所在的直线与⊙O相切
故答案选C．
[2021·江苏镇江·中考母题]如图,∠BAC＝36° ,点O在边AB上,⊙O与边AC相切于点D ,交边AB于点E ,F ,连接FD ,则∠AFD等于（）
A．27°B．29°C．35°D．37°
[考点分析]本题考查了切线的性质,圆周角定理,正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
[思路分析]连接OD ,根据切线的性质得到∠ADO＝90° ,根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54° ,根据圆周角定理即可得到结论．
[答案]A
[详解]解：连接OD ,
∵⊙O与边AC相切于点D ,
∴∠ADO＝90° ,
∵∠BAC＝36° ,
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54° ,
∴
11
5427
22
AFD AOD︒
∠=∠=⨯=,
故选：A．
[2020·江苏淮安·中考母题]如图,点A、B、C在圆O上,54
ACB
∠=,则ABO
∠的度数是（）
A．54B．27C．36D．108
[考点分析]本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质,熟练掌握圆周角定理,会用等边对等角求角的度数是解答的关键．
[思路分析]先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可．
[答案]C
[详解]∵在圆O中,∠ACB=54º ,
∴∠AOB=2∠ACB=108º ,
∵OA=OB ,
∴∠OAB=∠OBA=180108
2
-
=36º ,
故选：C．
[2020·江苏徐州·中考母题]如图,AB是O的弦,点C在过点B的切线上,OC OA
⊥,OC交AB于点P．若70
BPC
∠=︒,则ABC
∠的度数等于（）
A．75︒B．70︒C．65︒D．60︒
[考点分析]本题考查的是圆切线的运用,熟练掌握运算方法是关键.
[思路分析]根据题意可求出∠APO、∠A的度数,进一步可得∠ABO度数,从而推出答案.
[答案]B
[详解]∵70
∠=︒,
BPC
∴∠APO=70° ,
⊥,
∵OC OA
∴∠AOP=90° ,∴∠A=20° ,
又∵OA=OB ,
∴∠ABO=20° ,
又∵点C在过点B的切线上,
∴∠OBC=90° ,
∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70° ,
故答案为：B.
⊥,垂足为E , 1．（2022·江苏南通·一模）如图,AB为⊙O的弦,C ,D为⊙O上的两点,OC AB
ADC
∠=︒．若2
22.5
OC=,则AB的长为（）．
A．2 B．C．3 D．
[答案]B
[思路分析]首先由垂径定理证得AB=2AE ,△BEO是等腰直角三角形;然后利用勾股定理求得BE的长,进而求得AB的长即可．
[详解]∵OC⊥AB ,
∴AC=BC,AB=2BE ,∠BEO=90° ,
∵∠ADC=22.5° ,
∴∠COB=45° ,
∴OE=BE ,
在Rt △BEO 中 ,OB 2=BE 2+OE 2 , ∵OC =2 ,
∴OE =BE
∴AB =2BE =故选：B
2．（2022·江苏徐州·模拟）如图 ,O 是正方形ABCD 的内切圆 ,切点分别为E ,F ,G ,H ,ED 与O 相交于点M ,则tan MFG ∠的值是（）
A ．13
B ．1
2
C D [答案]B
[思路分析]连接EG ,根据同弧所对的圆周角相等 ,可以把求三角函数的问题 ,转化为直角三角形的边的比的问题．
[详解]解：连接EG , ∵EG 是切点 , ∴EG 过圆心O ,
∵⊙O 是正方形ABCD 的内切圆 , ∴AE 1
2
=
AB ,EG ＝BC , 根据同弧所对的圆周角相等可得：∠MFG ＝∠MEG ． ∴tan ∠MFG ＝tan ∠MEG 1
2
DG EG ==．故选：B ．
3．（2022·江苏南京·一模）如图 ,四边形ABCD 内接于⊙O ,D 是AC 的中点 ,若∠B ＝70° ,则∠CAD 的度数为（）
A ．70°
B ．55°
C ．35°
D ．20°
[答案]C
[思路分析]根据圆内接四边形的对角互补可得110D ∠=︒ ,再由三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等即可求解．
[详解]四边形ABCD 内接于⊙O , 180B D ∴∠+∠=︒ ,
∠B ＝70°
, 110D ∴∠=︒ ,
70ACD CAD ∴∠+∠=︒ ,
D 是
AC 的中点 , AD CD ∴= ,
35ACD CAD ∴∠=∠=︒．
故选：C ．
4．（2022·江苏连云港·二模）如图 ,弦CD 所对的圆心角为120︒ ,AB 为直径 ,CD 在半圆上滑动 ,F 是CD 的中点 ,过点D 作AB 的垂线 ,垂足为E ,则∠DEF 的值为（）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
[答案]C
[思路分析]连接,,OC OD OF ,先根据等腰三角形的三线合一可得1
602
COD DOF ∠=∠=︒ ,OF CD ⊥ ,再判
断出点,,,O E D F 四点共圆 ,然后根据圆周角定理即可得． [详解]解：如图 ,连接,,OC OD OF ,
弦CD 所对的圆心角为120︒ ,
120COD ∴∠=︒ ,
OC OD = ,且点F 是CD 的中点 ,
1
602
DOF COD ∠∴=∠=︒ ,OF CD ⊥（等腰三角形的三线合一） ,
又DE AB ∵⊥ ,
∴点,,,O E D F 四点共圆 ,
则由圆周角定理得：60DEF DOF ∠==∠︒ , 故选：C ．
5．（2022·江苏苏州·一模）阅读材料：一般地 ,当αβ、为任意角时 ,sin()αβ+与sin()αβ-的值可以用下面的公式求得：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅根据以上材料 ,解
决下列问题：如图 ,在O 中 ,AB 是直径 ,AB ,点C 、D 在圆上 ,点C 在半圆弧的中点处 ,AD 是半圆弧的1
3
,则CD 的长为（）
A B C ．2D ．1
[答案]D
[思路分析]连结OD 、过点D 作DF ⊥AC 于F ,根据AD 是半圆弧的1
3
,求出∠AOD =60°
,再求∠DOC =90°-∠
AOD =30° ,
根据AB ,求出OD =OC =OA =
12AB =
,利用三角函数AD sin ∠DAF =CD sin30°求
解即可．
[详解]解：连结OD 、OC ,过点D 作DF ⊥AC 于F , ∵AD 是半圆弧的1
3
,
∴∠AOD =60° ,
∴△AOD 为等边三角形 , ∴∠DAO =60° ,AD =OA , ∵点C 在半圆弧的中点处 , ∴AC BC ==半圆弧的一半 , ∴∠CAO =45° , ∵
AB ,
∴AD =OA =
12AB =
, ∵∠DAF =∠DAO -∠CAO =60°
-45°=15° ,∠DCA =1
2
AOD ∠=30° , ∴DF =AD sin ∠DAF =CD sin30° ,
∴CD =2AD sin15°=2（sin60°cos45°-cos60°sin45°）．故选择：D ．
6．（2022·江苏无锡·模拟）如图 ,P 为半⊙O 直径BA 延长线上一点 ,PC 切半⊙O 于C ,且P A ：PC ＝2：3 ,则sin ∠ACP 的值为（）
A ．23
B C D ．无法确定
[答案]B
[思路分析]连接BC ,OC ,先证明△P AC ∽△PCB ,则2
3
AC PA BC PC == ,设AC ＝2k ,BC ＝3k ,AB = ,从而求出sin ∠ACP ．
[详解]解：如图 ,连接BC ,OC ,
∵PC 是⊙O 的切线 , ∴∠PCO =90° , ∵AB 是⊙O 的直径 , ∴∠ACB =90° ,
∴∠PCA +∠ACO =90° ,∠ACO +∠BCO =90° , ∴∠PCA =∠BCO , ∵OB =OC , ∴∠CBO =∠BCO , ∴∠PCA =∠CBO , ∵∠CP A =∠BPC , ∴△P AC ∽△PCB , 于是
2
3
AC PA BC PC == , 设AC ＝2k ,BC ＝3k ,
由∠ACB ＝90°得 ,AB = ,
∴sin ∠ACP ＝sin ∠ABC
AC AB ===．故选：B ．
7．（2022·江苏南通·二模）如图 ,O 的直径为10cm ,△ABC 内接于O ,3
cos 5
A = ,则下列量中不能确定的是（）
A ．∠A 的度数
B ．弦B
C 的长 C ．弦AC 的长
D ．BAC 的长
[答案]C
[思路分析]连接CO 并延长交O 于点D ,连接BD ,OB ．由3cos 5A =可知A ∠的度数是确定的 ,由圆周角定理可知D A ∠=∠ ,90DBC ∠=︒ ,2BOC A ∠=∠ ,通过解Rt DBC ∆可知弦BC 的长是确定的 ,通过弧长公式可以推出BAC 的长是确定的 ,ABC ∠的度数不确定导致弦AC 的长不能确定．
[详解]解：如图所示 ,连接CO 并延长交O 于点D ,连接BD ,OB ,
∵3cos 5
A = , ∴A ∠的度数是确定的 ;
∵CD 是O 的直径 ,
∴90DBC ∠=︒ ,
∵D A ∠=∠ ,
∴sin D ∠的值是确定的 ,
∴sin BC CD D =⋅∠是定值 ,即弦BC 的长是确定的 ;
∵2BOC A ∠=∠ ,
∴BOC ∠是确定的 ,
∴BAC 的长()3605180BOC π︒-∠⨯⨯=︒
, ∴BAC 的长是确定的 ;
∵ABC ∠的度数不确定 ,
∴弦AC 的长不能确定 ,
故选：C ．
8．（2022·江苏·景山中学三模）如图 ,AB 是O 的直径 ,CD 是O 的弦 ,连结AC 、
AD 、BD ,若35CAB ∠= ,则ADC ∠的度数为( )
A ．35
B ．55
C ．65
D ．70 [答案]B
[思路分析]先求出CDB ∠ ,由90ADB ∠= ,可得ADC ∠．
[详解]AB 是O 的直径 ,
90ADB ∠∴= ,
又35(CDB CAB ∠∠==圆周角定理) ,
903555ADC ∠∴=-=．
故选：B ．
9．（2022·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图 ,AB 为O 的直径 ,,C D 为O 上两点 ,若40BCD ∠︒＝ ,则ABD ∠的大小为（）．
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．20°
[答案]B
[思路分析]根据题意连接AD ,再根据同弧的圆周角相等 ,即可计算的ABD ∠的大小.
[详解]解：连接AD ,
∵AB 为O 的直径 ,
∴90ADB ∠=︒．
∵40BCD ∠=︒ ,
∴40A BCD ∠=∠=︒ ,
∴904050ABD ∠=︒-︒=︒．
故选B ．
10．（2022·江苏扬州·模拟）如图 ,点A ,B ,C ,D 在O 上 ,,CB CD =∠CAD=30° ,∠ACD=50° ,则∠ACB=（）
A ．30
B ．50︒
C ．70︒
D ．80︒
[答案]C
[思路分析]直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC ,进而得出答案．
[详解]∵CB CD = ,∠CAD=30° ,
∴∠CAB=∠CAD=30° ,
∴∠DBC=∠DAC=30° ,
∵∠ACD=50° ,
∴∠ABD=50° ,
∴∠ADB=∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-50°-30°-30°=70°．
故选：C．
11．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图,AB为半圆O的直径,M ,C是半圆上的三等分点,8
AB=,BD 与半圆O相切于点B．点P为AM上一动点（不与点A ,M重合）,直线PC交BD于点D ,BE OC
⊥于点E ,延长BE交PC于点F ,则下列结论正确的个数有（）
①PB PD
=;②BC的长为4
3
π;③45
DBE
∠=︒;④BCF PCB
∽
△△;⑤CF CP
⋅为定值
A．2个B．3个C．4个D．5个
[答案]B
[思路分析]①连接AC ,并延长AC ,与BD的延长线交于点H ,若PD=PB ,得出P为AM的中点,与实际不符,即可判定正误;
②先求出∠BOC ,再由弧长公式求得BC的长度,进而判断正误;
③由∠BOC=60° ,得△OBC为等边三角形,再根据三线合一性质得∠OBE ,再由角的和差关系得∠DBE ,便可判断正误;
④证明∠CPB=∠CBF=30° ,∠PCB=∠BCF ,可得△BCF∽△PCB相似;
⑤由等边△OBC得BC=OB=4 ,再由相似三角形得CF•CP=BC2 ,便可判断正误．
[详解]解：①连接AC ,并延长AC ,与BD的延长线交于点H ,如图1 ,
∵M ,C是半圆上的三等分点,
∴∠BAH=30° ,
∵BD与半圆O相切于点B．
∴∠ABD=90° ,
∴∠H=60° ,
∵∠ACP=∠ABP ,∠ACP=∠DCH ,
∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60° ,
∵∠PBD=90°-∠ABP ,
若∠PDB=∠PBD ,则∠ABP+60°=90°-∠ABP ,
∴∠ABP=15° ,
∴P点为AM的中点,这与P为AM上的一动点不完全吻合, ∴∠PDB不一定等于∠ABD ,
∴PB不一定等于PD ,
故①错误;
②∵M ,C是半圆上的三等分点,
∴∠BOC=1
3
×180°＝60° ,
∵直径AB=8 , ∴OB=OC=4 ,
∴BC的长度=
4 180
604
3
π
π
⨯
=,
故②正确;
③∵∠BOC=60° ,OB=OC ,
∴∠ABC=60° ,OB=OC=BC ,
∵BE⊥OC ,
∴∠OBE=∠CBE=30° ,
∵∠ABD=90° ,
∴∠DBE=60° ,
故③错误;
④∵M、C是AB的三等分点,
∴∠BPC=30° ,
∵∠CBF=30° ,
∠PCB=∠BCF ,
∴△BCF∽△PCB
故④正确;
⑤∵∠CBF=∠CPB=30° ,∠BCF=∠PCB ,
∴△BCF∽△PCB ,
∴CB CF CP CB
,
∴CF•CP=CB2 ,
∵CB＝OB＝OC＝1
2
AB＝4 ,
∴CF•CP=16 ,
故⑤正确．
故选：B．
12．（2022·江苏苏州·一模）如图,点P在以AB为直径的半圆内,连接AP、BP ,并延长分别交半圆于点C、
D ,连接AD、BC并延长交于点F ,作直线PF ,下列说法：①AC垂直平分BF ;②AC平分∠BAF ;③FP⊥AB ;
④BD⊥AF．其中,一定正确的是（）
A．①③B．①④C．②④D．③④
[答案]D
[思路分析]①AB为直径,所以∠ACB＝90° ,就是A C⊥BF ,但不能得出AC平分BF ,故错,
②只有当FP通过圆心时,才平分,所以FP不通过圆心时,不能证得AC平分∠BAF ,
③证出D、P、C、F四点共圆,再利用△AMP∽△FCP ,得出结论．
④由直径所对的圆周角是直角即可得到结论．
[详解]解：①∵AB为直径,
∴∠ACB＝90° ,
∴AC垂直BF ,但不能得出AC平分BF ,
故①错误,
②如图,连接CD ,
∵AB为直径,
∴∠ADB＝90° ,
∴∠BDF＝90° ,
假设AC平分∠BAF成立,则有DC＝BC ,
∴在Rt△FDB中,DC＝BC＝FC ,
∴AC⊥BF ,且平分BF ,与①中的AC⊥BF ,但不能得出AC平分BF相矛盾, 故②错误,
③∵AB为直径,
∴∠ACB＝90° ,∠ADB＝90° ,
∴D、P、C、F四点共圆,
∴∠CFP和∠CDB都对应PC,
∴∠CFP＝∠CDB ,
∵∠CDB＝∠CAB ,
∴∠CFP＝∠CAB ,
又∵∠FPC＝∠APM ,
∴△AMP∽△FCP ,
∵∠ACF＝90° ,
∴∠AMP＝90° ,
∴FP ⊥AB ,
故③正确 ,
④∵AB 为直径 ,
∴∠ADB ＝90° ,
∴BD ⊥AF ．
故④正确 ,
综上所述只有③④正确．
故选：D ．
13．（2022·江苏无锡·一模）如图 ,O 与正五边形ABCDE 的两边,AE CD 相切于,A C 两点 ,则AOC ∠的度数是（）
A ．144︒
B ．130︒
C ．129︒
D ．108︒ [答案]A
[思路分析]根据切线的性质 ,可得∠OAE ＝90° ,∠OCD ＝90° ,结合正五边形的每个内角的度数为108° ,即可求解．
[详解]解： ∵A E 、CD 切⊙O 于点A 、C ,
∴∠OAE ＝90° ,∠OCD ＝90° ,
∴正五边形ABCDE 的每个内角的度数为：()521801085
-⨯︒=︒ , ∴∠AOC ＝540°−90°−90°−108°−108°＝144° ,
故选：A ．
14．（2022·江苏苏州·模拟）如图 ,点P 在以AB 为直径的半圆内 ,连接AP 、BP ,并延长分别交半圆于点C 、D ,连接AD 、BC 并延长交于点F ,作直线PF ,下列说法一定正确的是（）
①AC 垂直平分BF ;②AC 平分BAF ∠ ;③FP AB ⊥ ;④BD AF ⊥．
A．①③B．①④C．②④D．③④
[答案]D
[思路分析]①AB为直径,所以∠ACB＝90° ,就是AC垂直BF ,但不能得出AC平分BF ,故错,
②只有当FP通过圆心时,才平分,所以FP不通过圆心时,不能证得AC平分∠BAF ,
③先证出D、P、C、F四点共圆,再利用△AMP∽△FCP ,得出结论．
④直径所对的圆周角是直角．
[详解]证明：①AB为直径,
ACB
∴∠=︒,
90
∴垂直BF,但不能得出AC平分BF,
AC
故①错误,
②如图1 ,连接CD,
AB为直径,
∴∠=︒,
90
ADB
∴∠=︒,
BDF
90
=,
假设AC平分BAF
∠成立,则有DC BC
∴在Rt FDB
==,
∆中,DC BC FC
AC BF ∴⊥ ,且平分BF ,
AC ∴垂直BF ,但不能得出AC 平分BF ,与①中的AC 垂直BF ,但不能得出AC 平分BF 相矛盾 , 故②错误 ,
③如图2:
AB 为直径 ,
90ACB ∴∠=︒ ,90ADB ∠=︒ ,
D ∴、P 、C 、F 四点共圆 ,
CFP ∴∠和CDB ∠都对应PC ,
CFP CDB ∴∠=∠ ,
CDB CAB ∠=∠ ,
CFP CAB ∴∠=∠ ,
又FPC APM ∠=∠ ,
AMP FCP ∴∆∆∽ ,
90ACF ∠=︒ ,
90AMP ∴∠=︒ ,
FP AB ∴⊥ ,
故③正确 ,
④AB 为直径 ,
90ADB ∴∠=︒ ,
BD AF ∴⊥．
故④正确 ,
综上所述只有③④正确．
故选：D ．
15．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图 ,ABC 是O 的内接三角形 ,65A ∠=︒ ,过点C 的圆的切线交BO 的延长线于点P ,则P ∠的度数为（）
A ．55︒
B ．50︒
C ．45︒
D ．40︒
[答案]D
[思路分析]连接OC ,BP 与圆交于点D ,连接CD ,利用切线的性质和圆周角定理得出∠PCD =∠OCB ;再由△PCD ∽△PBC ,得出∠PDC =∠PCB =115° ,进而求得∠PCD 便可解答．
[详解]解：如图 ,连接OC ,BP 与圆交于点D ,连接CD ,
∵PC 是圆的切线 ,
∴∠PCO =90° ,
∵BD 是圆的直径 ,
∴∠BCD =90° ,
∴∠PCD +∠DCO =90° ,∠BOC +∠DCO =90° ,
∴∠PCD =∠OCB ,
∵OC=OB ,则∠OCB =∠OBC ,
∴∠PCD =∠PBC ,
∵∠P =∠P ,
∴△PCD ∽△PBC ,
∴∠PDC =∠PCB ;
∵∠A =∠BDC =65° ,
∴∠PDC =∠PCB =115° ,
∴∠PCD =115°-90°=25° ,
∴∠P =∠BDC -∠PCD =65°-25°=40° ,
故选：D ．
16．（2022·江苏徐州·模拟）如图 ,AB 是O 的直径 ,PA 切O 于点A ,PO 交O 于点C ,连接BC ．若20B ∠=︒ ,则P ∠等于（）
A ．20︒
B ．30
C ．40︒
D ．50︒ [答案]D
[思路分析]先由OC OB = ,20B ∠=︒ ,求得AOC ∠的度数 ,再结合AB 是O 的直径 ,PA 切O 于点A ,即可得到结论．
[详解]解：OC OB = ,
20BCO B ∴∠=∠=︒
40AOC ∴∠=︒ AB 是O 的直径 ,PA 切O 于点A ,
OA PA ∴⊥ ,
即90PAO ∠=︒ ,
9050P AOC ∴∠=︒-∠=︒
故选：D ．
17．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图 ,AB 是O 的直径 ,点C 在O 上 ,过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ,点D 在弧AC 上（不与点A ,C 重合） ,连接AD ,CD ．若110D ∠=︒ ,则AEC ∠的度数为（）
A ．55°
B ．50°
C ．45°
D ．40°
[答案]B
[思路分析]连接OC BC ， ,由圆内接四边形的性质求出ABC ∠的度数 ,由等腰三角形的性质可求出BOC ∠的度数 ,再根据切线的性质求出答案即可．
[详解]解：如图所示 ,连接OC BC ， ,
∵四边形ABCD 是圆的内接四边形 ,
∴180D ABC ∠+∠=︒ ,
∵110D ∠=︒ ,
∴180********ABC D ∠=︒-∠=︒-︒=︒ ,
∵OB OC = ,
∴70OBC OCB ∠=∠=︒ ,
∴180707040BOC ∠=︒-︒-︒=︒ ,
∵EC 是O 的切线 ,
∴OC EC ⊥ ,即=90OCE ∠︒ ,
∴90904050AEC BOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒．
故选：B
18．（2022·江苏·南通市东方中学一模）如图 ,在△ABC 中 ,AB =10 ,AC =8 ,BC =6 ,以边 AB 的中点 O 为圆
心 ,作半圆与 AC 相切 ,连接 OC 与半圆相交于点 D ,则 CD 的长为（）
A ．2
B ．3
C ．1
D ．2.5 [答案]A
[思路分析]连接OE ,根据勾股定理逆定理的性质 ,得90ACB ∠=︒ ,根据切线和相似三角形的性质 ,推导得CE 、OD ,再根据全等三角形的性质 ,推导得OC ,通过计算即可得到答案．
[详解]如图 ,设切线AC 与半圆的切点为E ,连接OE
根据题意 ,得OE AC ⊥ ,OE OD ,152OA OB AB ==
= ∵AB =10 ,AC =8 ,BC =6
∴222AC BC AB +=
∴90ACB ∠=︒
∵EAO CAB ∠=∠
∴AOE ABC ∽ ∴12
OE AE AO BC AC AB === ∴32BC OE =
= ,42AC AE == ∴4CE AC AE =-= ,3OD OE ==
AOE △和COE 中
90OE OE OEA OEC AE CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴AOE COE ≌
△△
∴5OC OA ==
∴532CD OC OD =-=-=
故选：A ．
19．（2022·江苏无锡·一模）如图 ,等腰Rt △ABC 中 ,AB ＝AC ＝6 ,∠BAC ＝90° ,D 是BC 边的中点 ,过点D 作DE ⊥DF 分别交AB 、AC 于E 、F （不与B 、C 重合）．取EF 的中点O ,连接AO 并延长交BC 于G ,连接EG 、FG ．随着点E 、F 的位置的变化 ,有以下四个结论：①DE ＝DF ;②四边形AEDF 的面积始终为9 ;③∠EGF ＝90° ;④四边形AEGF 的面积有最小值为9．其中正确的是（）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
[答案]A
[思路分析]证明△BDE ≌△ADF ,即可判断①正确 ;根据①的结论判断②正确 ;以点O 为圆心 ,OE 为半径作
圆O ,由∠BDA =90°
,证得AG 为圆O 的直径 ,即点G 在圆O 上 ,即可判断③正确 ;设AF =x ,则BE =AF =x ,AE =6-x ,证明四边形AEGF 是矩形 ,利用矩形面积公式求出四边形AEGF 的面积=()239x --+ ,利用二次函数的性质得到四边形AEGF 的面积有最大值为9 ,即可判断④错误．
[详解]解：∵等腰Rt △ABC 中 ,AB ＝AC ＝6 ,∠BAC ＝90° ,D 是BC 边的中点 ,
∴AD=BD=CD ,∠B =∠CAD =45° ,∠ADB =90° ,
∵∠EDF =90° ,
∴∠BDE +∠ADE =∠ADE +∠ADF ,
∴∠BDE =∠ADF ,
∴△BDE ≌△ADF ,
∴DE =DF ,故①正确 ;
∴四边形AEDF 的面积=12ABD ABC S S ==1166922
⨯⨯⨯= , ∴四边形AEDF 的面积始终为9 ,故②正确 ;
以点O 为圆心 ,OE 为半径作圆O ,连接OD ,
∵∠EDF =90° ,点O 为EF 的中点 ,
∴OD =OE =OF =OA ,
∵∠ADG =90° ,
∴∠GAO +∠AGD =∠ADO +∠GDO ,
∵OA =OD ,
∴∠OAD =∠ODA ,
∴∠AGD =∠ODG ,
∴OA =OD =OA ,
∴AG 为圆O 的直径 ,即点G 在圆O 上 ,
∴∠EGF =90° ,故③正确 ;
设AF =x ,则BE =AF =x ,AE =6-x ,
∵OA =OG =OE =OF ,
∴四边形AEGF 是平行四边形 ,
∵∠EAF =90° ,
∴四边形AEGF 是矩形 ,
∴四边形AEGF 的面积=()()2
26639AE AF x x x x x ⋅=-=-+=--+ ,
∴当x =3时 ,四边形AEGF 的面积有最大值 ,最大值为9 ,
故④错误 ;
正确的有①②③．
故选：A ．
20．（2022·江苏盐城·一模）如图 ,O 是△ABC 的外接圆 ,半径为,若6BC = ,则A ∠的度数为（）
A ．120°
B ．135°
C ．150°
D ．160° [答案]B
[思路分析]连接OB 和OC ,作OD ⊥BC ,求出∠BOD =∠DBO =45° ,再求出∠BOC 的度数 ,最后利用圆周角定理得出∠A ．
[详解]解：连接OB 和OC ,作OD ⊥BC ,
∵圆O 半径为,BC =6 ,OD ⊥BC ,
∴OB =,BD =3 ,∠BDO =90°
, ∴22223233()OD OB BD ,
∴∠BOD =∠DBO =45° ,
∴∠BOC =90° ,
∴∠A =135° ,
故选：B ．
21．（2022·江苏无锡·一模）如图 ,矩形ABCD 中 ,E 是BC 上一点 ,连接AE ,将矩形沿AE 翻折 ,使点B 落在CD 边F 处 ,连接AF ,在AF 上取点O ,以O 为圆心 ,OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P ．若AB ＝6 ,BC ＝
,则下列结论：①F 是CD 的中点 ;②⊙O 的半径是2 ;③AE ＝92CE ;④S 阴影号是（）
A ．①②
B ．②③
C ．①②④
D ．②③④ [答案]C
[思路分析]①易求得DF 长度 ,即可判定 ;
②连接OP ,易证OP ∥CD ,根据平行线性质即可判定 ;
③易证AE =2EF ,EF =2EC 即可判定 ;
④连接OG ,作OH ⊥FG ,易证△OFG 为等边△ ,即可求得S 阴影即可解题.
[详解]解：①∵△ABE 沿AE 折叠得△AFE ,
∴AF =AB =6 ,
∵四边形ABCD 是矩形 ,
∴AD =BC
,
∴DF ∴DF =CF =3
∴F 是CD 中点 ;
∴①正确 ;
②连接OP ,
∵⊙O与AD相切于点P , ∴OP⊥AD ,
∵AD⊥DC ,
∴OP∥CD ,
∴AO OP AF DF
=,
设OP=OF=x ,则
6
36
x x
-=,
解得：x=2 ,
∴⊙O的半径是2 ;
∴②正确;
③∵Rt△ADF中,AF=6 ,DF=3 , ∴∠DAF=30° ,∠AFD=60° ,
∴∠EAF=∠EAB=30° ,
∴AE=2EF ;
∵∠AFE=90° ,
∴∠EFC=90°-∠AFD=30° ,
∴EF=2EC ,
∴AE=4CE ,
∴③错误;
④连接OG ,PG ,作OH⊥FG ,
∵∠AFD =60° ,OF =OG ,
∴△OFG 为等边三角形 ;
∴∠GOF =60° ,
∵OP ∥CD ,
∴∠AOP =∠AFD =60° ,
∴∠POG =180°-∠AOP -∠GOF =60° ,
∵OP =OG ,
∴△OPG 为等边三角形 ;
∴∠POG =∠FOG =60°
,OH ,S 扇形OPG =S 扇形OGF ,
∴S 阴影=（S 矩形OPDH -S 扇形OPG -S △OGH ）+（S 扇形OGF -S △OFG ）=S 矩形OPDH -32S △OFG 32×12×
∴④正确 ;
其中正确的结论有：①②④ ,3个 ;
故选C ．
22．（2022·江苏南京·模拟）如图 ,在ABC 中 ,490,5cm,cos 5C AB B ∠=︒==．动点D 从点A 出发沿着射线AC 的方向以每秒1cm 的速度移动 ,动点E 从点B 出发沿着射线BA 的方向以每秒2cm 的速度移动．已知点D 和点E 同时出发 ,设它们运动的时间为t 秒．连接BD ．下列结论正确的有（）个
①4BC = ;
②当AD AB =时 ,tan 2ABD ∠= ;
③以点B 为圆心、BE 为半径画B ,当2513t =
时 ,DE 与B 相切 ; ④当CBD ADE ∠=∠时 ,2511t
． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案]D
[思路分析]利用锐角三角函数求出BC 可判断① ,利用勾股定理求AC ,BD ,AG ,再用正切锐角三角函数定义求值可判断② ,利用相似三角形判定与性质 ,可判断③ ,利用相似三角形判定与性质建构方程 ,解方程求解可判断④
[详解]解：在ABC 中 ,490,5cm,cos 5C AB B ∠=︒==
． 4cos 545BC AB B =⋅=⨯= , 故①4BC =正确 ;
作AG ⊥BD 于G ,
在Rt △ABC 中 ,3AC = ,
∵AD =AB =5 ,AG ⊥BD
∴CD =AD -AC=5-3=2 ,DG =BG ,
在Rt △DCB 中 ,
BD ==,
∴DG =BG ,
在Rt △BGA 中 ,AG =,
∴tan 2AG ABD BG ∠== , 故②当AD AB =时 ,tan 2ABD ∠=正确 ;
AD =t ,BE =2t ,cos A =
35AC AB = , 当2513t =时 ,2513AD t == ,2550221313
BE t ==⨯= , ∴50155251313AE AB BE t =-=-=-
= , ∵15
313255
13
AE AD == , ∴cos A ==AE AC AD AB
,∠DAE =∠BAC , ∴△ADE ∽△ABC ,
∴∠AED =∠ACB =90° ,
∴∠DEB =90° ,
∴DE 与B 相切 ,
故③以点B 为圆心、BE 为半径画B ,当2513
t =时 ,DE 与B 相切正确 ;
过E 作EH ⊥AC 于H
,
当CBD ADE ∠=∠时 ,
∵∠EHD =∠DCB =90° ,
∴△EHD ∽△DCB , ∴HE DH CD CB
= , ∵AE =5-2t ,
∴AH =()35-25t ,EH =()45-25t ,3CD t =- ,6113355
HD AD AH t t t =-=-+=- , ∴()4115235534
t t t --=- , 整理得211801250t t -+= ,
因式分解得()()112550t t --= , ∴2511t 或5t =（舍去） ,
故④当CBD ADE ∠=∠时 ,2511t 正确 ;
正确的结论有4个．
故选择D ．
23．（2022·江苏南京·模拟）如图 ,△ABC
O ,AB 为直径 ,点M 是AC 的中点 ,AD 平分∠CAB 交BM 于点D ,且D 为BM 的中点 ,则BC 的长为（
）
A B C D [答案]C
[思路分析]作MH ⊥AB 于H ,连接AM 、OM ．根据AB 是直径 ,点M 是AC 的中点 ,AD 平分∠CAB ,可得∠ADM ＝45° ,从而得到MA ＝MD ,进而得到BM ＝2AM ,然后根据勾股定理可得AM ＝2 ,BM ＝4 ,从而得到OH ＝
,再证得△OAF ≌△OMH ,可得到OF ＝OH ,再由OF ∥BC ,可得△AOF ∽△ABC ,从而得到12
OF AO BC AB == ,即可求解． [详解]解：如图 ,作MH ⊥AB 于H ,连接AM 、O M ．
∵AB 是直径 ,
∴∠AMB ＝90° ,∠ACB ＝90° ,
∴∠CAB +∠CBA ＝90° ,
∵点M 是AC 的中点 ,
∴AM CM = ,
∴∠CBM ＝∠ABM ,
∵AD 平分∠CAB ,
∴∠CAD ＝∠BAD ,
∴∠DAB +∠DBA ＝1
2（∠CAB +∠CBA ）＝45°
, ∴∠ADB ＝180°﹣（∠DAB +∠DBA ）＝135° ,
∵∠ADM ＝180°﹣∠ADB ＝45° ,
∴∠DAM =∠ADM =45° ,
∴MA＝MD ,
∵DM＝DB ,
∴BM＝2AM ,
设AM＝x ,则BM=2x ,
∵AB＝,
∴x2+4x2＝20 ,
∴x＝2或x＝-2（舍去）, ∴AM＝2 ,BM＝4 ,
∵11
22
AM BM MH AB
⋅=⋅
∴MH
=,
∴OH,
∵AM CM
=,
∴OM⊥AC ,
∴AF＝FC ,
∵OA＝OB ,
∴BC＝2OF ,
∵∠OHM＝∠OF A＝90° ,∠AOF＝∠MOH ,
∴△OAF≌△OMH（AAS）,
∴OF＝OH,
∵∠OF A＝90° ,∠ACB=90° ,
∴OF∥BC ,
∴△AOF∽△ABC ,
∴
1
2 OF AO
BC AB
==,
∴BC＝2OF．
故选：C
24．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）如图,直线l与⊙O相切于点A ,M是⊙O上的一个动。