高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几种不同增长的函数模型课件3新人教A必修1

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50
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y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322
6.644
6.907
关于 x 呈指数函数变化的变量是________．
[思路分析] (1)从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值， 哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
[解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
新知导学
1.四种函数模型的性质
函数 y＝ax(a＞1)
y＝logax
y＝xn (n＞0)
y＝kx＋b
性质
(a＞1)
(k＞0)
在(0，＋∞) 增__函数 上的增减性
增__函数
增__函数
增__函数
增长的速度 越来越_快_ 越来越慢__ 相对较快
不变
图象的变化 越来越陡 越来越平 随 n 值而不同 直线上升
题型讲解
命题方向一 考查函数模型的增长差异
四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表：
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2 26 101 226
401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30
()
A．y＝32x
B．y＝log32x
C．y＝x32
D．y＝32x
[答案] D
[解析] 由几类不同增长的函数特性可知，y＝32x呈指数 “爆炸式”增长，速度最快．
5．如右图所示，折线是某电信局规定 打长途电话所需要付的电话费 y(元)与通话 时间 t(分钟)之间的函数关系图象，根据图 象填空：
(1)通适 2 分钟，需付电话费________ 元；
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变 化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同， 其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知 变量y2关于x呈指数函数变化．
[答案] y2
[规律总结] 解决本题的关键是如何确定变量间的关系是指 数函数关系，不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值，还 要看函数值的变化趋势．
则沙漠增加数 y 公顷关于年数 x 的函数关系较为近似的是
()
A．y＝0.2x C．y＝120x
B．y＝110(x2＋2x) D．y＝0.2＋log16x
[答案] C
[解时，否定D， 当x＝3时，否定A项；故选C.
4．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是
(2)通话 5 分钟，需付电话费________元； (3)如果 t≥3，则电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函 数关系式为________．
[答案] (1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)
[解析] (1)由图象可知，当 t≤3 时，电话费都是 3.6 元． (2)由图象可知，当 t＝5 时，y＝6，需付电话费 6 元． (3)当 t≥3 时，y 关于 t 的图象是一条直线，且经过(3，3.6) 和(5,6)两点，故设函数关系式为 y＝kt＋b， 则35kk＋ ＋bb＝ ＝36，.6， 解得kb＝＝10..2， 故电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为 y＝ 1.2t(t≥3)．
2．专家预测，在我国大西北某 地区荒漠化土地面积每年平均比上 年增长 10.4%，经过 x 年可能增长到 原来的 y 倍，则函数 y＝f(x)的图象 大致为 ( )
[答案] D [解析] 由题意可知y＝(1＋10.4%)x.
3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年
测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷，
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y ＝xn(n＞0)都是_增___函数，但它们增长的速度不同，而且不在 同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越 来越_快___，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝ logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当 x＞x0时，就会有_l_o_g_ax__＜xn＜__a_x___.
2.三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过 探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x 的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长_快___于xn的增 长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax__＞__xn.
预习自测
1.某商品的价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减
20%，则四年后的价格与原来的价格相比，变化情况是 ( )
A．增加了 7.84%
B．减少了 7.84%
C．减少了 9.5%
D．不增不减
[答案] B [解析] 设该商品原价为a，则四年后的价格为a(1＋0.2)2(1－ 0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a， 所以a－0.9216a＝0.0784a ＝7.84%a， 故变化的情况是减少了7.84%.
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0， ＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐 渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会 大于xn，但由于logax的增长_慢___于xn的增长，因此总存在一个 x0，当x＞x0时，就会有logax__＜__xn.
跟踪练习
下面是 f(x)随 x 的增大而得到的函数值表：
x
2x
x2
第三章 函数的应用
3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型
情景引入
一天，一个叫杰米的百万 富翁碰上一件奇怪的事：一个 叫韦伯的人对他说：“我想和 你定个合同，我将在整整一个 月中每天给你 10 万元，而你 第一天只需给我一分钱，以后 每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？！你说话 算数？”合同生效了，杰米由最初的欣喜若狂直到最后破产， 指数爆炸让杰米吃了大苦头．本节课我们就来研究此类问题.