微积分：1.2 极坐标

若在极坐标系中,曲线可以用方程 (r, ) 0
来表示,这种方程叫做曲线的极坐标系方程.
例 求从极点出发,倾角为 射线的极坐标方程.
解 (r 0)
4
4
y
o
4
x
例 求圆心在极点,半径为1的圆的极坐标方程.
y
解 r 1 (0 2 )
o
x
1
例 将曲线的直角坐标方程 x2 y2 2ay(a 0)
将曲线的极坐标方程 r sin cos 化为
直角坐标方程. 解 利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos , y r sin r r r(sin cos ) 得 r2 r sin r cos
所以曲线的直角坐标方程为 x2 y2 x y.
9
o•
b.极坐标系的极轴与直角坐
标系的x轴重合.
• P (r, )
(x, y)
x
c.极坐标系与直角坐标系的长度单位相同.
极坐标与直角坐标的互化
x r cos
y
r
sin
r
x2 y2
arctan
y x
(x
0)
yro•来自x• P (r, )
(x, y) y
x
例 将极坐标M (4, ) 化为直角坐标.
化为极坐标方程. 解 利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos , y r sin
得
(r cos )2 (r sin )2 2a(r sin )
r2 2a(r sin )
所以曲线的极坐标方程为 r 2a sin .
(解为r = 0和r 2a sin . 而对 r 2asin ,当 0时, 有 r 0. 故r = 0 对应的图形含在r 2a sin 的图形中.)
一个点的极坐标不唯一.
r
如果限定r 0，0 2 , o •
那 末 除 极 点 外, 平 面 上 的
点就可以和有序对(r, )一一对应.
(0, )为极点，可取任意值。
• P (r, )
极坐标
x
2.极坐标与直角坐标的互化
若极坐标系和直角坐标系
y
满足如下条件:
a.极坐标系的极点与直角坐
标系的原点重合.
1.2 极坐标
1.定义 在平面内取定一点o,叫极点，过o引一条射线， 叫极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向,
(逆时针为正，顺时针为负),就建立了一个极坐标系.
设P为平面上任意一点,规定 OP r 称为P点极径,
极轴到OP的转角
称为P点极角.
• P (r, )
r
极坐标
o•
x
(r, 2k )表示同一个点，
6
yM
解
x 4cos 2
3,
y
4 sin
2.
6
6
o
4 •
6
x
直角坐标为 M(2 3,2)
例 将直角坐标M ( 3,1) 化为极坐标.
解 r ( 3)2 (1)2 2,
tan 1 3 ,
3 3
又M ( 3,1)在 第 三 象 限 ， 7 .
6
极坐标为 M(2, 7 )
6
3.曲线的极坐标方程