势力场--势能--机械能守恒定理

选M0为势能零点。由于有势力所做的功与质点运动的轨迹形状无关， 因此
W12
M2 δW
M1
M0 δW
M1
M2 δW
M0
M0 δW
M1
M0 δW
M2
式中，W12是质点由M1位置运动到M2位置时有势力所做的功。
按势能定义
M0 δW M1
V1
， M0
M2
δW
=V2
图11-27
因此得
δW V(x ，y ，z) V (x dx ，y dy ，z+dz) dV
由高等数学知，势能函数V(x ，y ，z) 的全微分可写成如下形式
dV V dx V dy V dz x y z
于是
δW
V x
dx
V y
dy
V z
dz
将上式与元功的解析表达式δW Fxdx Fydy Fzdz相比较，可得到
V
M0 F dr
M
M0 M
(Fxdx
Fy dy
Fz
dz)
M
M0 (Fxdx Fydy Fzdz)
例如，对于图 11-24 所示的重力场，若把势能零点选在 xOy 平面上的某 一点 M（0 x0 ，y0 ，z0），则质点在任一位置 M (x ，y ，z) 的势能为
V mg(z1 z2 )
P g
v2
1 2
JC2
3P 4g
v2
（3）取滚子静止时的位置为弹簧和重力势能的零势能位置，于是
V1 V1弹 V1重 0
V2
V2弹
V2重
1 2
ks2
(-Ps sin)
（4）应用的机械能守恒定理，求未知量。研究滚子从静止至C经过路 程s这段过程，则有
T2 V2 T1 V1
将各值代入机械能守恒定理，得
W12 =V1 V2
由动能定理，可知 因此，有
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
1 2
mv22
1 2
mv12
V1
V2
或
1 2
mv22
V2
1 2
mv12
V1
（11-42）
质点动能和势能的总和称为机械能。式（11-42）表明，质点在势力场中运 动时，其机械能保持不变，这就是质点的机械能守恒定理，是质点在势力场 中运动时必须遵守的规律。由此定理可知，质点在势力场中运动时，其机械 能不能增加或减少，但其动能和势能可相互转化。
二、势能
在势力场中，作用于质点的有势力都具有做功的能力，并且质点所处的位置不同，质点上
的有势力的能力也不同。例如，提高了的重锤有做功的能力，可用来打桩；变形的弹簧也具有 做功的能力。为了便于度量质点在不同位置上有势力做功的能力，可选择一基准点M0。按此 定义，基准点M0的势能为零。因此，基准点又称为势能零点。势能零点可根据研究问题的需 要任意选定。质点从某位置 M (x ，y ，z) 运动到基准点M（0 x0 ，y0 ，z0）有势力所做的功称为质点M位置 的势能。它与功具有相同的单位。用V表示势能，则
这里 z1 z ，z2 0，因此
V mgz
再如图11-25所示的弹性立场中，若把势能零点选在 r l0， 即弹簧的原长处，则质点在任一位置M的势能为
V
1 2
k (12
22 )
这里 1 | r1 l0 | 2 0，因此有
V
1 2
k (r1
l0 )2
式中，r1 为点M到弹簧固定端的距离
图11-24
以上讨论都是对质点而言的。很明显，对质点系机械能守恒定理仍然成立。
例11-11 重为 P、半径为 R 的均质圆柱形滚子，可沿与水平面成 角的斜面做无滑动滚动。如图 11-28
所示。在滚子中心 C 连结一刚度系数为 k 的弹簧。设初始时滚子处于静止，此时弹簧无变形， 试求滚子中心 C 沿斜面经过路程 s 时的速度。
解得
3P v2 1 ks2 (Pssin ) 0 4g 2
v 2gs(2P sin k水平面上各点的势能都相等，因此重力场中等势面为水 平面，如图11-26（a）所示。弹性力场的等势面是以弹簧的固定端为中心的球面，如 图11-26（b）所示。
（a）
图11-26
（b）
显然，当质点沿任一等势面运动时，有势力 F 在任意微小位移 dr 上的元功 δW dV 0，
即 F dr 0 ，因此有势力 F 与 dr 垂直。这证明有势力的方向永远垂直于等势面，并
Fx
V x
，Fy
V y
，Fz
V z
（11-41）
式（11-41）表明，有势力在直角坐标轴上的投影，等于势能函数对 于相应坐标的偏导数冠以负号。
若势能函数V(x ，y ，z) 常数，则确定了某个曲面，在这个曲面上所有点的势能的值相 等，这种曲面称为等势面。势能等于零的等势能面称为零势能面。势力场中任何一点的 势能只有一个数值，即等势能面不相交。
解 （1）选取研究对象。取滚子为研究对象，作用于滚子上做功的力只
有滚子的重力和弹簧力，它们都是有势力，因此本题可应用机械能 守恒定理求解。
（2）分析运动，计算动能。系统开始静止，T1 0 ，滚子做平面运动，设 其质心速度为 v，角速度为 ，并注意到
图11-28
v R
，JC
1 2
P g
R2
得
T2
1 2
理论力学
一、势力场
若质点在空间所受的力，其大小和方向完全由质点所在空间的位置决定，则具有 这样的特性的空间就称为力场。
质点在力场中运动，作用于质点上的场力要做功，若场力所做的功只与质点运动 的初始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关，则这种力场称为势力场或保 守力场，质点所受的场力称为有势力或保守力。例如，重力场、弹性力场和万有引 力场都是势力场或保守力场，重力、弹性力和万有引力都是有势力或保守力。
且由式（11-41）可知，有势力 F 指向势能减小的方向。
四、机械能守恒定理
下面推导质点在势力场中运动时动能定理所具有的新形式——机械能守恒 定理。
设质点在势力场中运动，如图 11-27 所示。在 M1 位置时，质点的速度为 v1 ，势 能为V1 。当质点在有势力的作用下运动到 M2 位置时，速度为 v2 ，势能为 V2。
应注意的是，在说明质点的势能时，一定要指明是相对于哪一个势能零点的。 因为对同一个质点，若选不同的势能零点，将得到不同的势能值。但不论势 能零点位置如何选择，质点在两个位置的势能之差是不变的。
图11-25
三、有势力与势能函数的关系
计算在质点的微小位移 dr(dx，dy ，dz)上，有势力F的元功。由前述可得