【高考调研】2020届高考数学总复习 第十一章 算法框图及推理与证明 课时作业93(含解析)理 新人教A版

课时作业(九十三)
1．不等式1<|x ＋1|<3的解集为 ( )
A ．(0,2)
B ．(－2,0)∪(2,4)
C ．(－4,0)
D ．(－4，－2)∪(0,2)
答案 D
解析 方法一 原不等式等价于⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1≥0，
1<x ＋1<3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1<0，
－3<x ＋1<－1⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥－1，
0<x <2或
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <－1
－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2.故选D 项．
方法二 原不等式等价于－3<x ＋1<－1或1<x ＋1<3，解得0<x <2或－4<x <－2. 2．已知a ，b ∈R ，ab >0，则下列不等式中不正确的是 ( )
A ．|a ＋b |≥a －b
B ．2ab ≤|a ＋b |
C ．|a ＋b |<|a |＋|b |
D ．|b a ＋a
b
|≥2
答案 C
解析 当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.
3．如果存在实数x ，使cos α＝x 2＋1
2x
成立，那么实数x 的集合是
( )
A ．{－1,1}
B ．{x |x <0或x ＝1}
C ．{x |x >0或x ＝－1}
D ．{x |x ≤－1或x ≥1}
答案 A
解析 由|cos α|≤1，所以|x 2＋1
2x |≤1.
又|x 2＋12x |＝|x |2＋12|x |
≥1， 所以|x |2＋12|x |＝1.
又当且仅当|x |＝1时成立， 即x ＝±1.
4．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，1
2)，则t ＝ ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 A
解析 ∵|2x －t |<1－t ，
∴t －1<2x －t <1－t ，即2t －1<2x <1，t －12<x <1
2.
∴t ＝0.
5．ab ≥0是|a －b |＝|a |－|b |的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．不充分也不必要条件
答案 B
解析 当ab ≥0，a <b 时，|a －b |≠|a |－|b |，故条件不充分． 当|a －b |＝|a |－|b |时，则a 、b 同号且|a |≥|b |.故条件必要． 综上可知，ab ≥0是|a －b |＝|a |－|b |的必要不充分条件． 6．不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集是 ( )
A ．{x |0≤x <1}
B ．{x |x <0且x ≠－1}
C ．{x |－1<x <1}
D ．{x |x <1且x ≠－1}
答案 D
解析 原不等式等价于⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋x >0，
1－|x |>0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋x <0，
1－|x |<0.
解之得x <1且x ≠－1.
7．若2－m 与|m |－3异号，则m 的取值范围是 ( )
A ．m >3
B ．－3<m <3
C ．2<m <3
D ．－3<m <2或m >3
答案 D
解析 方法一 2－m 与|m |－3异号，所以(2－m )·(|m |－3)<0，所以(m －2)(|m |－3)>0，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
m ≥0，
m －2m －3>0
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m <0，
m －2－m －3>0.
解得m >3或0≤m <2或－3<m <0.
方法二 由选项知，令m ＝4符合题意，排除B 、C 两项，令m ＝0可排除A 项． 8．不等式x 2
－|x |－2<0(x ∈R )的解集是 ( )
A ．{x |－2<x <2}
B ．{x |x <－2或x >2}
C ．{x |－1<x <1}
D ．{x |x <－1或x >1}
答案 A
解析 方法一 当x ≥0时，x 2
－x －2<0， 解得－1<x <2，∴0≤x <2. 当x <0时，x 2
＋x －2<0，
解得－2<x <1，∴－2<x <0. 故原不等式的解集为{x |－2<x <2}．
方法二 原不等式可化为|x |2
－|x |－2<0，解得－1<|x |<2. ∵|x |≥0，∴0≤|x |<2，∴－2<x <2. ∴原不等式的解集为{x |－2<x <2}．
9．使关于x 的不等式|x ＋1|＋k <x 有解的实数k 的取值范围是 ( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，1)
C ．(－1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
答案 A
解析 |x ＋1|＋k <x ⇔k <x －|x ＋1|，
又x －|x ＋1|＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋1，x <－1，
－1，x ≥－1，
∴x －|x ＋1|的最大值为－1. ∴k <－1.
10．不等式|x －1|＋|2x ＋1|>1的解集是________． 答案 R
解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤－12，
－3x >1或⎩⎪⎨⎪⎧
－12<x <1，x ＋2>1
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥1，
3x >1，
解得x ≤－1
2
或
－1
2
<x <1或x ≥1，所以x ∈R . 11．已知关于x 的不等式|x ＋a |＋|x －1|＋a <2 011(a 是常数)的解是非空集合，则a 的取值范围是________．
答案 (－∞，1 005)
解析 ∵|x ＋a |＋|x －1|的最小值为|a ＋1|，由题意|a ＋1|<2 011－a ，解得a <1 005. 12．若不等式|x ＋1
x
|>|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是
________．
答案 (1,3)
解析 ∵|x ＋1
x
|≥2，∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3.
13．(2012·衡水调研)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________．
答案 2
解析 原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2.
14．设函数f (x )
＝|
x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围． 解析 (1)由题设知：|x ＋1|＋|x －2|－5≥0.
如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图像，得定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0， 即|x ＋1|＋|x －2|≥－a . 又由图知|x ＋1|＋|x －2|≥3， ∴a ≥－3.
15．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数f (x )的最小值．
解析 (1)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x －5，x ≤－12
，
3x －3，－12
<x <4，
x ＋5，x ≥4.
作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图像，它与直线y ＝2的交点为(－7,2)和(5
3，2)．
所以|2x ＋1|－|x －4|>2的解集为(－∞，－7)∪(5
3
，＋∞)．
(2)由函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图像可知，当x ＝－1
2
时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最
小值－92
.
16．(2013·东北四校一模)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a >0)． (1)当a ＝4时，求不等式的解集； (2)若不等式有解，求实数a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝4时，|2x ＋1|－|x －1|≤2. 当x <－12时，－x －2≤2，解得－4≤x <－1
2；
当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得－12≤x ≤2
3；
当x >1时，x ≤0，此时x 不存在， ∴不等式的解集为{x |－4≤x ≤23}．
(2)由题意知f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－x －2，x <－12
，
3x ，－1
2≤x ≤1，x ＋2，x >1.
故f (x )∈[－23，＋∞)，即f (x )的最小值为－3
2.
若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－3
2，
解得a ≥
24，即a 的取值范围是[2
4
，＋∞)． 17．(2012·辽宁理)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．
(1)求a 的值；
(2)若|f (x )－2f (x
2)|≤k 恒成立，求k 的取值范围．
解析 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2.
又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2
a
，得a ＝2.
(2)记h (x )＝f (x )－2f (x
2
)，
则h (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1，x ≤－1，
－4x －3，－1<x <－
12，
－1，x ≥－1
2
，
所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.
1．已知对于任意非零实数m ，不等式|2m －1|＋|1－m |≥|m |(|x －1|－|2x ＋3|)恒成立，求实数x 的取值范围．
解析 即|x －1|－|2x ＋3|≤|2m －1|＋|1－m |
|m |
恒成立．
∵
|2m －1|＋|1－m ||m |≥|2m －1＋1－m |
|m |
＝1，
∴只需|x －1|－|2x ＋3|≤1.
(1)当x ≤－3
2时，原式1－x ＋2x ＋3≤1，即x ≤－3，∴x ≤－3.
(2)当－3
2<x <1时，原式1－x －2x －3≤1，即x ≥－1.
∴－1≤x <1.
(3)当x ≥1时，原式x －1－2x －3≤1， 即x ≥－5，∴x ≥1.
综上x 的取值范围为(－∞，－3]∪[－1，＋∞)．
2．设f (x )＝x 2
－x ＋1，实数a 满足|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 证明 ∵f (x )＝x 2－x ＋1， ∴|f (x )－f (a )|＝|x 2
－x －a 2
＋a | ＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|.
∵|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)， ∴|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．。