2019-2020学年高一数学上学期期末试题及答案(新人教A版第44套)

高一期末考试数学试题
一、选择题（本大题 10 小题，每题
5 分，共 50 分）在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项切合
题目
要求的 .
1．设会合 A { x | x 2
0},会合 B
{ x | x 2 4 0},则 AI B
( )
A.
{2} B.
{ 2} C. { 2,2}
D.
2．若 log 2 a log 2 b
0 ，则（
）
A. 0 b a 1
B. 0 a b 1
C.
b a 1
D.
a b 1
3．已知 a
( 3,2) ， b
( 1,0) ，向量
a b 与 b 垂直，则实数
的值为（
）
A.
1 B.
1
C.
1 D.
1
2
sin( 1
x
2
3
3
4．函数 y ),(0
)
是 R 上的偶函数，则
的值是（
）
2
A ． 0
B
．
C
．
D
．
4
2
5．函数 y ln cos x
π x π
的图象是（
）
2
2
y
y
y
π O
π
x
π O
π x
π O
π x
π 2
2
2
2
2
2
2
A ．
B ．
C ．
6．函数 f (x)
e x
x 2 的零点所在的区间是（
）
A ． (0, 1
)
B ． (1
,1)
C ． (1,2)
D
． (2,3)
2
2
7．在
ABC 中，若 0 tan A tan B 1 ，那么 tan C 的值（
）
A. 恒大于 0
B.
恒小于 0 C. 可能为 0 D.
可正可负
y
O
π x
2
D ．
．在
△ ABC 中， AB c ，AC
b ．若点
D 知足 BD 3DC ，
则
uuur
AD
=
8
A
（ ）
A ．
3 b 7 c B ． 3
b 1 c
C ． 3
b 1 c
4 4
4
4
4
4
D ． 1
b 3 c
4 4
B
D
C
第8题图
9. 定义在
R 上的函数 f (x) 知足 f ( x)
f ( x 2) ，当 x [1,3]
时，
f (x) 2
x 2
，则（
）
A ． f (sin
) f (sin ) B
．
3
6
C ． f (cos
) f (cos
) D
．
3
4
2 ) f (cos
2
f (sin )
3
3
f (tan )
f (tan )
6
4
10. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R ，若存在常数 m 0 ，对随意 x R ，有 f ( x) m x ，则称函数 f ( x) 为
F 函数 . 给出以下函数： ① f ( x)
x 2 ；② f ( x)
x ；③ f ( x) 2x ；④ f (x) sin 2 x . 此中是 F
x 2
1
函数的序号为（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
二、填空题（本大题 6 小题，每题 5 分，共 30 分）请把答案填写在答题卡相应的地点上.
11．已知 sin
1
，则 cos(
) 的值为 ______________.
2
2
0(x 0)
，则 f ( f ( 1)) 的值等于 ______________.
12．已知函数 f ( x)
( x 0)
r r
，那么 a b 等于
13．已知 a 、 b 均为单位向量，它们的夹角为
．
3
14．函数 y
2sin(2x
)( x [0, ]) 为减函数的区间是 ______________.
6
15. 若函数 f (x)
log 2 x, x
，若 f (a) 0 , 则实数 a 的取值范围是 ___________.
log 1 ( x), x
2
16．设 a 为实常数 , y
f (x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x 0 时 , a 2
a 1对
f (x) 9x
7 , 若 f ( x)
x
全部 x 0 建立 , 则 a 的取值范围为 ________.
三、解答题（本大题共有
5 小题，共 70 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（此题满分 14 分）设函数 f (x)
3 cos 2x 2 sin x cos x 1．
（ 1）求 f ( ) 的值；
3
（ 2）若 x
(0, ) ，求函数 f ( x) 的最大值 .
2
18．（此题满分 14 分）已知函数 f x A sin( x )( A 0, 0,
), 其部分图象以以下图所
2
2
示 .
（ 1）求函数 y f ( x) 的表达式；
1
2 6
3
-1
（ 2）若,，且 f ( )3
的值 .
，试求 sin
665
19.( 此题满分14 分 ) 为方便旅客出行，某旅行点有50 辆自行车供租借使用，管理这些自行车的花费是每
日 115 元 .依据经验，若每辆自行车的日租金不超出 6 元，则自行车能够所有租出；若超出 6 元，则每超过 1 元，租不出的自行车就增添 3 辆 . 设每辆自行车的日租金x （元）(3x 20, x N ) ，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日出租自行车的总收入减去管理花费后的所得）
（ 1）求函数y f (x) 的分析式；
（ 2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
20．（此题满分 14 分）设函数g( x)x2( x 0)， f ( x) ax (1a2 )x2，此中a0,区间
1x
I { x f ( x) 0}
（ 1）证明：函数g( x) 在 (0,1]单一递加；
（ 2）求 I 的长度(注:区间( ,) 的长度定义为) ；
（ 3）给定常数 k(0,1) ,当1k a1k 时,求I 长度的最小值.
21．（此题满分14 分）设a为非负实数，函数 f ( x) x x a a .
（1）当a 2时，求函数的单一区间；
（2）议论函数y f (x)的零点个数，并求出零点．
高一数学期末考 参照答案 BBDCA ABCBC 11.
1 13.
1
14.
[ , 12. 0
2
3 17. 解：（ 1） 法 1：∵ f ( x)
3 cos2x
f ( )
3 cos
2
2 sin
∴
3
3
5 ] 15. ( , 1) (0,1) 16.
8
a
6 7
2sin x cos x 1
3cos
1
1
⋯⋯⋯ 5分
3
法 2： ∵ f ( x)
3 cos 2x
2sin x cos x 1 2( 1
sin 2 x
2 2 sin( 2x
) 1
2 sin(
2
3
∴ f ( )
) 1 1
⋯⋯⋯ 10 分
3
3
3
（ 2）∵ f (x)
3 cos2x
2sin x cos x 1 2( 1
sin 2x
2 2 sin( 2x
) 1
⋯⋯⋯ 10 分
3
4
∵ 0 x
， ∴
2x ⋯⋯⋯ 11 分
3
2
3
3
2x
3
x
12 ，
∴当
2
，即
3 c os2x) 1
2
3
cos2x) 1 ⋯⋯⋯ 8分
2
sin( 2x
) 有最大 1，此 ，函数 f ( x) 有最大 3. ⋯⋯⋯ 14 分
3
4(
2
2
18．解：（ 1）由 象知
A 1,T
) 2 ,
1,
⋯⋯⋯ 3分
3
6
T
将 (
,1) 代入 f (x) sin( x
) ，得 sin(
)
1,
6
2
6
因
< < ，
，因此
，即
2
3 6
3
6
2
2
3⋯⋯⋯5
分
因此
f ( x) sin(x
), x R ⋯⋯⋯6分
3 3
3
（ 2）因 f (
)
)
⋯⋯⋯7分
，因此 sin(
5
5
3
4
Q
,
,
cos(
⋯⋯⋯ 9分
6 3
3 )
6 6
2
5 sin
sin(
3 ) sin( ) cos cos(
3 )sin
3 3 3 3
3 1
4 3
3 4 3
⋯⋯⋯ 14 分
5 2
5
2 10
10
19．解：（ 1）当 3
x
6, x
N * ， y 50x
115
⋯⋯⋯ 3 分
当 6 x 20, x N * ， y [50 3( x 6)]x
115
⋯⋯⋯ 6 分
故
y
f (x) 50x 115 (3 x 6, x N*)
N*) ⋯⋯⋯ 7 分
3x
2
68x 115(6 x
20, x
（ 2） 于 f (x)
50x 115 (3
x
6) ，
∵ f ( x) 在 [3,6] 增，
∴当 x 6 ， y max
185 （元）
⋯⋯⋯9分
于 f ( x)
3x
2
68x 1153( x
34 )2 811
(6 x 20)
3
3
∵ f ( x) 在 [6,
34
] 增，在 [
34
,20] 减
3
3
又 x N ，且 f (11)
f (12)
⋯⋯⋯ 12 分
当 x
11 ， y max
270 （元）
⋯⋯⋯ 13 分
270 185 ，∴当每 自行 的日租金定在
11 元 ，才能使一日的 收入最多 .
⋯⋯⋯ 14 分
20．解 : （1）∵ g ( x 1 ) g( x 2 )
x 1
x 2
1
x 12
1 x 2
2
若 0
x 1
x 2 1 ， x 1
x 2 0， 1 x 1 x 2
g ( x 1 )
g ( x 2 ) 0 ，即 g (x 1 ) g( x 2 )
∴函数 g( x) 在 (0,1] 增 .
⋯⋯⋯5分
(2) ∵ f ( x )
[ (1 a 2 ) x ]
x a
( x 1 x 2 )(1 x 1 x 2 )
(1 x 12 )(1 x 22 )
0 ， 1 x 12
0 ， 1 x 22 0
∴ x
(0,
a
) ，即区 I 度 a
a 2 .
⋯⋯⋯7分
1
1 a
2 (3)
由（ 1）知， g(x 1 )
( x 1 x 2 )(1 x 1 x 2 )
g( x 2 )
x 12 )(1
x 22 )
(1
若
1 x 1
x 2 ， x 1
x 2
0 ， 1 x 1 x 2 0 ， 1 x 12 0 ， 1 x 22
g ( x 1 )
g ( x 2 ) 0 ，即 g (x 1 ) g( x 2 ) ∴ g ( x) 在 [1, ) 减， ⋯⋯⋯ 9 分
由(2) 知, I
g (a)
a
2 ，又∵ k
(0,1),0
1- k
1,1 1 k
2 ，
a
1
∴函数 g( a) 在 [1 k,1] 增， g( a) 在 [1,1 k] 减； ⋯⋯⋯ 11 分
∴当 1 k
a 1 k , I 度的最小 必在
a 1 k 或 a 1 k 获得，
1 k
而 g(1 k )
1 (1 k)
2 2 k 2 k
3 1，又 g (1 k ) 0 g(1 k)
1 k
2 k 2
k 3
1 (1 k) 2
故 g (1 k)
g (1
k )
⋯⋯⋯ 13 分
因此 当 a 1 k 时， I 取最小值 g(1
k )
1 k
2
.
⋯⋯⋯ 14 分
2 2k k
21．解：（ 1）当 a
2 ， f ( x)
x x
2
2 x 2 2x 2, x
2
， ----1
分
x
2
2 x 2, x
2
① 当 x 2 ， f ( x) x 2
2x 2 (x 1)2 3 ，
∴ f (x) 在 (2,
) 上 增；
------2
分
② 当 x
2 ， f ( x)
x 2 2x 2
( x 1)2 1 ，
∴ f (x) 在 (1,2) 上 减，在 (
,1) 上 增； ---------3 分
上所述， f (x) 的 增区 是
( ,1) 和 (2, ) ， 减区 是
(1,2) . ------4
分
（ 2）①当 a
0 ， f ( x) x | x | ，函数 y
f (x) 的零点 x 0 0 ；
-----5
分
②当 a
0 ， f ( x) x x a
a
x 2
ax a, x a
，
--------6
分
x 2
ax a, x
a
故当 x
a ， f ( x) ( x a ) 2
a 2 a ，二次函数 称 x
a a ，
2
4
2
∴ f (x) 在 ( a, ) 上 增，
f ( a) a 0 ；
-----------7 分
当 x a ， f ( x)
( x a ) 2 a 2 a ，二次函数 称
x
a a ，
2 4
2
∴ f (x) 在 ( a
, a) 上 减，在
(
, a
) 上 增； ------------8
分
2
a 2
2
又 f ( a
)
( a )2 a a a
a ， 2
2
2
4
1o
当 f ( a
)
0，即 0 a 4 ，函数 f (x) 与 x 只有独一交点，即独一零点，
由 x 2 2
ax a 0 解之得
函数 y
f ( x) 的零点 x 0
a
a 2 4a 或 x 0 a
a 2 4a
2
2
（舍去）； --------10
分
2o
当 f ( a
)
0 ，即 a 4 ，函数 f (x) 与 x 有两个交点，即两个零点，分
x 1 2 和
2
a
a 2 4a
2 2 2
； ------11
分
x 2
2
3o
当 f (a
) 0 ，即 a
4 时，函数 f (x) 与 x 轴有三个交点，即有三个零点，
2
2
2
a
a
4a
由 x
ax a 0 解得， x
，
∴函数 y
f ( x) 的零点为 x a
a 2 4a 和 x 0 a
a 2 4a
2
2
. -------12
分
综上可得，当 a 0 时，函数的零点为 0 ；
当 0
a 4 时，函数有一个零点，且零点为
a
a 2 4a ；
2
当 a 4 时，有两个零点 2 和 2 2 2 ；
当 a
4 时，函数有三个零点
a
a 2 4a 和 a
a 2 4a . -----------14
分
2
2。