高中数学破题致胜微方法(双曲线的参数方程及应用)四利用双曲线的参数方程求轨迹

四 利用双曲线的参数方程求轨迹
今天我们研究利用双曲线的参数方程求轨迹问题.已知双曲线的标准方程，则可以将双曲线的方程改写成参数方程,通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标，利用动点与双曲线上已知点的关系，建立坐标等式,消去参数化简得到动点的轨迹方程。

通过例题来看.
例1:点P 为双曲线22169
1x y =-上异于实轴端点的任意一点,12,F F 是双曲线的两个焦点,
求12PF F 重心的轨迹方程. 消参得 2291616(0)x
y y -=≠.
附加材料：
1。

中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况:
焦点在x 轴上的双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>:sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）. 焦点在y 轴上的双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>：tan sec x b y a θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）.
以上的[)0,2θπ∈,且3,22ππθθ≠≠。

2。

θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义.
3。

双曲线22221x y a b -=上任意点M 的坐标可设为(sec ,tan )a b θθ。

4。

注意：222
221sin sec tan 1cos cos θθθθθ-=-=.
例2:已知定点A （0，4）和双曲线22416x y -=上的动点B ，点M 在线
段AB 上，且13
AM
MB =，试求动点M 的轨迹方程.
消去参数得224(3)1x
y --=。

总结:
1.利用双曲线的参数方程，写出双曲线上点的坐标，同时要注意参数的范围。

2.根据题意,利用动点与双曲线上已知点的关系，建立坐标等式,消去参数得到动点的轨
迹方程.
练习题:
1。

已知双曲线22
21
x
y
-=的左、右顶点分别为A1,A2，点P（x1,y1)，Q(x1，－y1）是双曲线
上不同的两个动点。

（Ⅰ)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(Ⅱ）若过点H（0,h）（h〉1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值。

2。

定点(1,2)
A与双曲线22
41
x
y
-=上的动点M相连线段的中点的轨迹方程为？
练习题解析：
1.已知双曲线22
21
x
y
-=的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q （x1,－y1)是双曲线
上不同的两个动点.
（Ⅰ)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若过点H(0,h)(h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值。

2。

定点(1,2)
A与双曲线22
41
x
y
-=上的动点M相连线段的中点的轨迹方程为？
消去参数得2
21()4(1)12x y ---=。