2019-2020学年人教A版数学选修2-1课时分层作业20 空间向量与空间角 Word版含解析

姓名，年级：
时间：
课时分层作业（二十) 空间向量与空间角
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°,则l 1与l 2所成的角为( )
A ．30°
B ．150°
C ．30°或150°
D ．以上均不对
A ［l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为错误!。

应选A.]
2．已知二面角α­l .β的两个半平面α与β的法向量分别为a ，b ，若〈a ，b 〉＝错误!，则二面角α­l .β的大小为( ）
A 。

错误! B.错误! C.错误!或错误!
D 。

错误!或错误!
C ［由于二面角的范围是［0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α.l .β的大小为错误!或错误!，故选C 。

］
3.如图，空间正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ,N 分别是CD ,CC 1的中点，则异面直线
A 1M 与DN 所成角的大小是( ）
A.π6 B 。

错误! C.错误!
D 。

错误!
D ［以D 为原点，DA ,DC ，DD 1所在直线为坐标轴建系(图略),设棱长为1,A 1（1,0，1)，M 错误!，D (0，0，1)，N 错误!，则错误!＝错误!，错误!＝错误!，
cos〈错误!，错误!>＝错误!＝0.
∴〈错误!，错误!〉＝错误!.]
4．已知在正四面体A。

BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为（)
A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!
B［
作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y 轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝2，则O(0，0,0),A错误!，C错误!，E错误!，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!,∴cos<错误!，错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!。

∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为错误!.］
5．如图所示，已知四棱锥P.ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA ＝AD＝AC,点F为PC的中点,则二面角C。

BF.D的正切值为（)
A.错误!
B.错误!
C。

错误!D。

错误!
D[如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF。

以O为坐标原点，OB,OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O。

xyz.
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝错误!,所以O(0，0，0），B错误!，F错误!，C错误!，错误!＝错误!，易知错误!为平面BDF的一个法向量，由错误!＝错误!，错误!＝错误!,可得平面BCF的一个法向量为n＝(1,错误!，错误!)．所以cos〈n，错误!〉＝错误!,sin 〈n，错误!〉＝错误!，所以tan〈n，错误!〉＝错误!.故二面角C。

BF。

D的正切值为错误!.]
二、填空题
6．若直线l的方向向量a＝（－2，3，1）,平面α的一个法向量n＝（4,0，1），则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
错误![由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为错误!＝错误!＝错误!。

]
7．已知点E，F分别在正方体ABCD。

A1B1C1D1的棱BB1,CC1上，且B1E＝2EB,CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
错误!［如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1),平面AEF的法向量为n2＝（x，y，z）．
所以A(1，0,0)，E错误!,F错误!，
所以错误!＝错误!，错误!＝错误!，
则错误!即错误!
取x＝1，则y＝－1，z＝3。

故n2＝(1,－1，3）．
所以cos〈n1，n2>＝错误!＝错误!。

所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝错误!，sin α＝错误!,所以tan α＝错误!。

]
8．如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．
错误!［取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间
直角坐标系O .xyz .
设BC ＝1，则A 错误!，B 错误!，C 错误!，D 错误!，所以错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!.
设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则错误!,所以错误!,取x ＝1，则y ＝－错误!，
z ＝1，所以n ＝（1,－错误!，1)，所以cos 〈n ,错误!〉＝错误!，因此直线CD 与平面ABD
所成角的正弦值为错误!.]
三、解答题
9.如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形,AC ＝1
2
AE ＝2，O ，＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ,BD
M 分别为CE ,AB 的中点．
(1）求异面直角AB 与CE 所成角的大小; (2）求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值．
[解] (1）∵DB ⊥BA ，平面ABDE ⊥平面ABC ,平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ,∴DB ⊥平面ABC 。

∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC .
如图所示，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴,以过点C 且与
EA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．
∵AC ＝BC ＝4，∴C (0，0，0），A （4，0，0），B （0，4，0）,E （4，0，4), ∴错误!＝（－4，4,0），错误!＝（4，0，4）． ∴cos<AB →
，错误!〉＝错误!＝－错误!， ∴异面直线AB 与CE 所成角的大小为错误!.
（2)由(1)知O （2，0，2)，D (0，4，2）,M （2，2，0)，
∴错误!＝（0，4，2)，错误!＝(－2，4，0）,错误!＝(－2，2，2）．
设平面ODM的法向量为n＝(x，y,z），
则由错误!，可得错误!，
令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝（2，1,1)．
设直线CD与平面ODM所成的角为θ,
则sin θ＝|cos〈n，错误!〉|＝错误!＝错误!,
∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为错误!。

10．如图，在四棱锥P。

ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC,PA＝PD＝错误!，AB＝4。

(1)求证:M为PB的中点；
（2）求二面角B.PD.A的大小；
(3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
［解] （1）证明:设AC，BD交于点E，连接ME，
因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，
所以PD∥ME.
因为四边形ABCD是正方形，
所以E为BD的中点，
所以M为PB的中点．
①
（2)如图②，取AD的中点O，连接OP，OE.
因为PA＝PD，所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面PAD，
所以OP ⊥平面ABCD 。

因为OE ⊂平面ABCD ,所以OP ⊥OE .
因为四边形ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD .
如图②，建立空间直角坐标系O .xyz ，则P (0,0，2)，
D （2,0,0),B （－2，4，0)，错误!＝（4，－4，0),
错误!＝（2，0,－错误!）．
②
设平面BDP 的法向量为n ＝（x ，y ,z ), 则错误!即错误!
令x ＝1，则y ＝1，z ＝错误!. 于是n ＝（1，1，错误!)．
平面PAD 的法向量为p ＝(0，1，0）， 所以cos 〈n ,p 〉＝错误!＝错误!。

由题意知二面角B .PD 。

A 为锐角,所以它的大小为错误!. (3）由题意知M 错误!，C (2，4,0),错误!＝错误!.
设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，MC →
〉|＝错误!＝错误!, 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为错误!.
［能力提升练]
1.如图，在三棱柱ABC 。

A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）
A.错误! B 。

错误! C.错误! D.错误!
A ［以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，C
B 所在的直线为y 轴,C
C 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设CA ＝CB ＝a ，则A (a ，0，0)，B （0，a ,0）,A 1(a ，0，2），D （0，0，1），∴E 错误!，
G 错误!，错误!＝错误!,错误!＝（0，－a ,1)．∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴错误!⊥平面ABD ，∴错误!·错误!＝0，解得a ＝2，∴错误!＝错误!，错误!＝（2，－
2,2），∵错误!⊥平面ABD ，∴错误!为平面ABD 的一个法向量．又cos 〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!,∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为错误!。

]
2．如图，已知矩形ABCD 与矩形ABEF 全等，二面角D .AB .E 为直二面角,M 为AB 的中点,FM 与BD 所成的角为θ，且cos θ＝错误!，则错误!＝( ）
A ．1
B 。

错误! C.错误! D 。

错误!
C ［不妨设BC ＝1，AB ＝λ，则AB
BC
＝λ。

记错误!＝a ,错误!＝b ,错误!＝c ，则错误!＝
1
2
b －a ，错误!＝
c －b ,根据题意，|a ｜＝｜c |＝1，|b ｜＝λ，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴错误!·错误!＝－错误!b 2＝－错误!λ2,而｜错误!｜＝错误!,|错误!|＝错误!，
∴|cos 〈错误!，错误!〉|＝错误!＝
错误!＝错误!,得λ＝错误!.故选C。

］
3．在空间中，已知平面α过(3，0，0)和(0，4，0）及z轴上一点（0,0，a)（a ＞0）,如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________．
错误!［平面xOy的法向量为n＝（0，0，1)，设平面α的法向量为u＝(x,y，
z)，则｛－3x＋4y＝0，
－3x＋az＝0，
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝错误!.
而cos<n,u>＝错误!＝错误!,
又∵a＞0，∴a＝错误!.］
4．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，
AB＝2，点E是线段AB上一点，当二面角P.EC。

D为π
4
时，AE＝________．
2－错误![设AE＝a(0≤a≤2），以点D为坐标原点，错误!，错误!，错误!的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系D­xyz（图略）,则D(0，0，0），E（1,a,0），C(0,2，0)，P（0，0,1),则错误!＝（1，a,－1），错误!＝（0,2，－1），设平面PEC的法向量为m＝（x，y,z)，则错误!，即错误!,令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，则m＝（2－a，1,2），易知平面DEC的一个法向量为错误!＝(0，0,1),则｜cos〈m，错误!〉｜＝错误!＝错误!，解得a＝2－错误!或2＋错误!(舍去)，所以AE＝2－错误!.]
5．如图,四面体ABCD中，△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD。

(1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D.AE.C的余弦值．
[解] (1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD。

又△ACD是直角三角形,
所以∠ADC＝90°.
取AC的中点O，连接DO,BO，
则DO⊥AC，DO＝AO。

又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC,
所以∠DOB为二面角D。

AC.B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，
又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.
（2）由题设及(1)知，OA，OB,OD两两垂直,
以O为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向,|错误!｜为单位长度,
建立如图所示的空间直角坐标系O。

xyz,
则A(1，0，0），B（0，错误!，0），C（－1，0,0），D(0,0，1)．
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的错误!，从而E到平面ABC 的距离为D到平面ABC的距离的错误!，
即E为DB的中点，得E错误!，
故错误!＝（－1，0，1），错误!＝（－2，0,0），错误!＝错误!。

设n＝(x，y,z）是平面DAE的法向量，
则错误!即错误!
可取n＝错误!。

设m是平面AEC的法向量，则错误!
同理可取m＝(0，－1,错误!），
则cos<n，m〉＝错误!＝错误!。

2019-2020学年人教A版数学选修2-1课时分层作业20 空间向量与空间角 Word版含解析所以二面角D.AE­C的余弦值为错误!.。