江苏省无锡市天一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省无锡市天一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知一组样本数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为
，若数据的平均数为1，则等于
A.10
B.12
C.13
D.14
参考答案：
B
2. 下列函数与相等的是
A．B．
C．D．
参考答案：
A
3. 设α，β∈(0，)且tanα－tanβ=，则（）
A．3α+β=B．2α+β=C．3α－β=D．2α－β=
参考答案：
D
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[﹣（α﹣β）]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．
【解答】解：∵，∴﹣=，
∴=+=，
∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）
由诱导公式可得cosα=sin（α﹣β）=cos[﹣（α﹣β）]，
∵，∴[﹣（α﹣β）]∈（0，π），
∴α=﹣（α﹣β），变形可得2α﹣β=，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．
4. 已知是双曲线的两个焦点，以为直径的圆与双曲线一个交点是P，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是
A. B.
C.2
D.5
参考答案：
D
5. 函数f（x）=2x﹣x﹣的一个零点所在区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
参考答案：
B
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解．
【解答】解：由 f（1）=1﹣＜0，f（2）=2﹣＞0及零点定理知f（x）的零点在区间（1，2）上，
故选B．
6. 已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心是O，则·=
A．B．C．D．
参考答案：
C
7. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A．B． C．D．
参考答案：
答案：A
8. 试在抛物线y2=﹣4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，A和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．
【解答】解：∵y2=﹣4x
∴p=2，焦点坐标为（﹣1，0）
依题意可知当A、P及P到准线的垂足Q三点共线时，距离之和最小如图，
故P的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x=﹣，
则该点坐标为：（﹣，1）．
故选A．
9. 下列集合运算正确的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：D
逐一考查所给的选项：
A. ，该选项错误；
B. ，该选项错误；
C. ，该选项错误；
D. ，该选项正确
本题选择D选项.
10. 集合A={x|x≤a}，B={1，2}，A∩B=?，则a的取值范围为（）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】由已知可得a＜1，且a＜2，进而得到a的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x|x≤a}，B={1，2}，
若A∩B=?，
则a＜1，且a＜2，
综上可得：a∈（﹣∞，1），
故选：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则
= ．参考答案：
﹣3
考点：极限及其运算．
专题：导数的综合应用．
分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．
解答：解：函数
=+=+，
令f n（x）=0，解得x n=﹣1．
∴=﹣2×1﹣1=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．
12. 若函数在上可导，，则______；
参考答案：
因为，所以，所以，所以。

13. 若，且，则
参考答案：14. 若变量，满足约束条件，则点(3,4)到点
的最小距离为
.
参考答案：
由约束条件作出可行域如图，
点（3，4）到点（x，y）的最小距离为P（3，4）到直线x+y﹣4=0的距离．
为．
15. 某比赛现场放着甲、乙、丙三个空盒，主持人从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次任取两张牌，将一张放入甲盒，若这张牌是红色的（红桃或方片），就将另一张放入乙盒；若这张牌是黑色的（黑桃或梅花），就将另一张放入丙盒；重复上述过程，直到所有扑克牌都放入三个盒子内，给出下列结论：
①乙盒中黑牌不多于丙盒中黑牌
②乙盒中红牌与丙盒中黑牌一样多
③乙盒中红牌不多于丙盒中红牌
④乙盒中黑牌与丙盒中红牌一样多
其中正确结论的序号为．
参考答案：
②
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】取双红乙盒中得红牌，取双黑丙盒中得黑牌，取一红一黑时乙盒中得不到红牌丙盒中得不到
黑牌，即可得出结论．
【解答】解：由题意，取双红乙盒中得红牌，取双黑丙盒中得黑牌，
取一红一黑时乙盒中得不到红牌丙盒中得不到黑牌，
故答案为②．
【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
16. 从数列中，顺次取出第2项、第4项、第8项、…、第项、…，按原来的顺序组
成一个新数列，则的通项，前5项和等于________________
参考答案：
；
17.
如果O是线段AB上一点，则，类比到平面的情形；若O是△ABC内一点，有，类比到空间的情形：若O是四面体ABCD内一点，则有 .
参考答案：
答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）在中，分别是角的对边，且，，求
的面积.
参考答案：
（1）===，由2kπ?＜2x+＜2kπ+，k∈Z
可得kπ?x kπ+，k∈Z．
∴函数的单调增区间：[kπ?，kπ+]k∈Z。

………………………………………6分
(2）
……………………………………8分
在ABC中，
(1)
0分
……………………………………………………12分
19. 已知函数.
（I）讨论的单调性；
（II）若有两个零点,求实数的取值范围．
参考答案：
(1)f′(x)＝e x +(x－1)e x-ax＝x (e x-a)．
(i)设a≤0，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(ii)设a＞0，由f′(x)＝0得x＝0或x＝ln a．
1若a＝1，则f′(x)＝x (e x-1) ≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
2若0＜a＜1，则ln a＜0，故当x∈(－∞，ln a)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln a，0)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)单调递增，在(ln a，0)单调递减．
③若a＞1，则ln a＞0，故当x∈(－∞，0)∪(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(0，ln a)时，
f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)单调递增，在(0，ln a)单调递减．
综上所述，当a≤0时f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；当0＜a＜1时f(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)单调递增，在(ln a，0)单调递减；当a＝1时f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；当a＞1时f(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)单调递增，在(0，ln a)单调递减．
(2)(i)设a≤0，则由(1)知，f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
又f(0)＝－1，f(1)＝－a，取b满足b＜-3且b=ln(－a)，则f(b)＞-a (b－1)－a b 2＝－a(b2+2b-2)＞0.
所以f(x)有两个零点．
(ii)设a＝1，则f(x)＝x (e x-1)，所以f(x)只有一个零点．
(iii)设0＜a＜1，则由(1)知，f(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)单调递增，在(ln a，0)单调递减，
f(0)＝－1, 当b ＝ln a时，f(x)有极大值f(b)=a (b－1)－a b 2＝－a(b2-2b+2) ＜0，故f(x)不存在两个零点；当a＞1时，则由(1)知，f(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)单调递增，在(0，ln a)单调递减，当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝－1＜0，故f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为a≤0．
20. 已知函数（）．
⑴.求的单调区间；
⑵.如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线
的斜率恒成立，求实数的最小值；
⑶.讨论关于的方程的实根情况．
参考答案：
(Ⅱ)由题意，以为切点的切线的斜率满足
，
所以对恒成立．
又当时，，
所以的最小值为………………………7分．
(Ⅲ)由题意，方程化简得
+
令，则．
当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以在处取得极大值即最大值，最大值为．所以当，即时，的图象与轴恰有两个交点，
方程有两个实根，
当时，的图象与轴恰有一个交点，
略
21.
参考答案：
解析：（1）∵∴m=2 ……………………………………3分
（2）如图，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F-（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ和MN中至少有一条存在斜率，
不妨设PQ的斜率为k，PQ的方程为代入椭圆方程得：
…………4分
设P、Q两点的坐标分别为
从而·
亦即………………………………6分
①当时，MN的斜率为，同上可推得，故四边形面积
……………………8分令得
∵
当且S是以u为自变量的增函数
∴…………………………10分
②当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=
∴
综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为……………………12分
22. 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
辆，非事故车90辆，所以一辆获得利润的平均值为.
同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
于基准保费的概率；
（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故
车.
①若该销售商部门店内现有6辆该品牌二手车（车龄已满3年），其中两辆事故车，四辆非事故车.某
顾客在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆事故车的概率；
②以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率.该销售商一次购进120辆（车龄
已满三年）该品牌二手车，若购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元.试估计这批二
手车一辆车获得利润的平均值.
参考答案：
解：（1）所求概率为；
（2）①设两辆事故车为，四辆非事故车为，从这六辆车中随机挑取两辆车共有
，
，共
15种情况，其中两辆车中恰有一车事故车共有，
8种情况，所以所求概率为；
②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30。