山西省忻州一中、临汾一中、精英中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析2

山西省忻州一中、临汾一中、精英中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭
，则（ ）
A ．A
B A ⋃=
B ．R R
C B C A ⊆
C ．A
B =∅
D ．R R C A C B ⊆
2．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),
222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡
⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭
=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共
点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D
．
22
+ 3．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+
B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -
4．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>
B ．c a b >>
C ．a b c >>
D ．c b a >>
5．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2
()21218f x x x =-+-.
若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）
A
．⎛ ⎝⎭ B
．⎛ ⎝⎭ C
．⎛ ⎝⎭ D
．⎛ ⎝⎭
6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）
A ．16π
B ．
323π
C ．
6423
π
D ．
2053
π
7．设实数满足条件
则
的最大值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
26
B ．
33
C ．
36
D ．
23
9．已知函数()cos 23sin 21f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-
C ．()f x 的图象关于直线6
x π
=
对称
D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 10．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，1
17DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）
A ．321
B ．322
C ．251
D ．252
12．已知函数()[]f x x x =-，其中[]
x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数
D ．()f x 是增函数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆()()2
2
4x a y b -+-=所得的弦长为221
a ab
+的最小值为__________.
14．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.
15．已知函数211
,0
()62
ln ,0
a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.
16．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下： 满意度评分分组 [)50,60
[)60,70
[)70,80
[)80,90
[)90,100
合计 高一
1
3
6
6
4
20
高二 2 6 5 5 2 20
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 评分<70分 70≤评分<90 评分≥90分 满意度等级
不满意
满意
非常满意
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A ：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件A 发生的概率为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知曲线22
1:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．
18．（12分）如图，EFGH 是矩形，ABC ∆的顶点C 在边FG 上，点A ，B 分别是EF ，GH 上的动点（EF 的长度满足需求）.设BAC α∠=，ABC β∠=，ACB γ∠=，且满足sin sin sin (cos cos )αβγαβ+=+.
（1）求γ；
（2）若5FC =，3CG =，求
53
AC BC
+的最大值. 19．（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“很幸福”的人数,求X 的分布列及()E X ．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝C 1C ＝1，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.
（1）求证：直线MN ⊥平面ACB 1； （2）求点C 1到平面B 1MC 的距离.
21．（12分）已知函数()x e f x x
=，()()2ln g x x x =-
（Ⅰ）当0x >时，证明()()f x g x >；
（Ⅱ）已知点()()
,P x xf x ，点,Q sinx cosx -（），设函数()h x OP OQ =⋅，当,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，试判断()h x 的零点个数．
22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，BC CD ⊥，AD CD =，32PA =，ABC ∆和PBC ∆均为边长为23的等边三角形.
（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ； （2）求二面角C PB D --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【详解】
依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z π
π⎧⎫
====
+∈⎨⎬⎩
⎭
； 而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫
==+∈⎨
⎬⎩⎭
()212|,,4242n n x x n Z x n Z π
πππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或
()21|,,442n x x n n Z x n Z π
πππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭
或，
故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【点睛】
本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题. 2、A 【解析】
先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，根据导数几何意义，即可求得
()442tan x x +的值.
【详解】
函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭
=⎨
⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
即|cos |y x =
直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数
cos y x =-相切于4x ，4,2
x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
因为sin y x '=， 故4
44cos sin 2
x k x x -==
+，
所以()()()()
4444444sin 1
221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.
故选：A. 【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题. 3、B 【解析】 由题意得,13i
23i
z =+,求解即可. 【详解】
因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 39
32i 23i (23i)(23i)49
z -+====+++-+. 故选:B. 【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题. 4、D 【解析】
根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】
由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>，
又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 5、B 【解析】
由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2
()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()
g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】
()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，
(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，
又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，
()f x ∴为周期为2的偶函数，
当[2,3]x ∈时，22
()212182(3)f x x x x =-+-=--，
当2
[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--，
当2
[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：
函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，
()0f x ≤，若1a >，
()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，
所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，
2
2
1133,,01,033
a a a a ∴
><<<∴<<. 故选:B.
【点睛】
本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题. 6、C 【解析】
作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】
如图为几何体的直观图，2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =所以体积为(3
4
2
223
3
V π=⨯=
. 故选：C 【点睛】
本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定. 7、C 【解析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
8、C
【解析】
-,再利用向量法求异面直分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz
线EF与BD所成角的余弦值.
【详解】
-.
由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz
设2AD =.则3
(2,2,0),(1,2,1),cos ,686
BD EF BD EF =-=-〈〉=
=⨯. 故异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为36
.
故选：C 【点睛】
本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9、D 【解析】
先将函数()cos 2321f x x x =++化为()2sin 216f x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】
()cos 2321f x x x =++
可得13()2cos 2sin 212sin 21226f x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对于A ，()f x 的最小正周期为22||2
T ππ
πω=
==,故A 正确； 对于B ，由1sin 216x π⎛⎫
-≤+≤ ⎪⎝
⎭
，可得1()3f x -≤≤，故B 正确； 对于C ，
正弦函数对称轴可得：()02,6
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈
解得：()0,6
12x k k Z π
π=
+∈，
当0k =，06
x π
=，故C 正确；
对于D ，
正弦函数对称中心的横坐标为：()02,6
x k k Z π
π+
=∈
解得：()01,212
x k k Z π
π=
+∈ 若图象关于点,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，则12124k πππ+=-
解得：2
3
k =-，故D 错误； 故选：D. 【点睛】
本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 10、B 【解析】
根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．
由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ． 11、C 【解析】
把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由1
DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．
【详解】
如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面
EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平
面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在
平面ABCD 上，∴P AC ∈．
正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四
分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，
22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+=，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，
∴所求最小值为251． 故选：C ． 【点睛】
本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值． 12、C 【解析】
根据[]
x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】
由[]
x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为
选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误； 选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误；
选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确； 选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)
0,1,1,2,2,3上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.
故选：C 【点睛】
本题考查对题干[]
x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、322+【解析】
先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得10a b +-=，代入1a ab
+整理得()11
2131
a a
b a a +=
-+-++，利用基
本不等式求得最值. 【详解】
解：圆()()2
2
4x a y b -+-=的圆心为(),a b ，
则(),a b 到直线10x y ++=的距离为
1
2
a b ++，
由直线10x y ++=截圆()()2
2
4x a y b -+-=所得的弦长为2可得
2
2
1222a b ++=，整理得()214a b ++=，
解得10a b +-=或30++=a b (舍去)，令1
(0,0)a m a b ab
+=
>> ()()()()
21111211312131
a a a m a
b a a a a a a +++∴====
--+++--+-++，
又(
)2
11a a ++
≥+
1a +=,等号成立, 则(
)2
1331a a -+-
+≤-+ (
)132131
m a a ∴=≥=+-+-++
故答案为：3+. 【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题. 14、
35
【解析】
先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果. 【详解】
一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个， 其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件， 因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：63105
=. 故答案为：35
. 【点睛】
本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题. 15、1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
由题意可()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于211
62
a y x x =
++关于原点对称的函数211
62
a y x x =-+-与函数()()ln 0f x x x x =->的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析
单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围. 【详解】
已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数211
,0
()62
ln ,0
a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩ 若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解
等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数211
62
a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点， 联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2
311ln 62
a x x x x x =-++
可设()2
311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 22
32g x x x x '=-++，
进而()1
20g x x x
''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.
由()10g '=可得
01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；
1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，
即()g x 在1x =处取得极小值且为13
- 作出()y g x =的图象，可得1
03-<<a 时，211ln 062
a x x x x -++=-有两个解. 故答案为：1
,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题. 16、0.42 【解析】
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可. 【详解】
由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为
15，满意的概率为3
5，非常满意的概率为15
，
高二家长满意等级为不满意的概率为
25，满意的概率为1
2
，非常满意的概率为110，
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：
1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为3
5
⨯26
525=； 2.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为15⨯22
525=；
3.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为15⨯11
210
=.
由加法公式，知事件A 发生的概率为
621210.4225251050
++==. 故答案为：0.42 【点睛】
本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I ）2cos ,{3sin ,x y θθ==260x y +-=；（II . 【解析】
试题分析：（I ）由椭圆的标准方程设cos ,sin 22
x y
θθ==，得椭圆的参数方程为2cos ,{3sin ,x y θθ==，消去参数t 即得直线的普通方程为260x y +-=；（II ）关键是处理好PA 与角30︒的关系．过点P 作与l 垂直的直线，垂足为H ，则在PHA ∆中，1
2
PH d PA ==
，故将PA 的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cos P θ，
3sin )θ到定直线260x y +-=的最大值与最小值问题处理． 试题解析：（I ）曲线C 的参数方程为2cos ,
{
3sin ,
x y θθ==（θ为参数）．直线l 的普通方程为260x y +-=．
（II ）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为3sin 6d θθ=
+-．则
)6sin 30d PA θα==+-．其中α为锐角，且4tan 3α=．
当sin()1θα+=-时，PA 取到最大值，最大值为
当sin()1θα+=时，PA ． 【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．
18、（1）2
π
γ=（2）
【解析】
（1）利用正弦定理和余弦定理化简sin sin sin (cos cos )αβγαβ+=+，根据勾股定理逆定理求得γ. （2）设CAF θ∠=，由此求得53
,AC BC 的表达式，利用三角函数最值的求法，求得53AC BC
+的最大值. 【详解】
（1）设BC a =，AC b =，AB c =，由sin sin sin (cos cos )αβγαβ+=+，
根据正弦定理和余弦定理得22222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫
+-+-+=+ ⎪⎝⎭
.
化简整理得222+=a b c .由勾股定理逆定理得2
π
γ=.
（2）设CAF θ∠=，02
π
θ<<
，由（1）的结论知BCG θ∠=.
在Rt ACF ∆中，sin AC FC θ⋅=，由5FC =，所以
5
sin AC θ=. 在Rt BCG ∆中，cos BC CG θ⋅=，由3CG =，所以
3
cos BC
θ=.
所以
53sin cos 4AC BC πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝
⎭， 由
34
4
4
π
π
π
θ<+
<
，
所以当4
2
π
π
θ+=
，即4
π
θ=
时，
53AC BC
+. 【点睛】
本小题考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，应用意识. 19、 (Ⅰ)199
204
. (Ⅱ)见解析. 【解析】
(Ⅰ)18人中很幸福的有12人，可以先计算其逆事件，即3人都认为不很幸福的概率，再用1减去3人都认为不很幸福
的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量23,3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，列出分布列，根据公式求出期望即可． 【详解】
(Ⅰ)设事件{A =抽出的3人至少有1人是“很幸福”的}，则A 表示3人都认为不很幸福
()()363185199
111204204
C P A P A C ∴=-=-=-=
(Ⅱ)根据题意，随机变量23,3X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，X 的可能的取值为0,1,2,3 ()3
3
110327
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2
1
32121339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；
()2232142339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()3
33283327P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭
所以随机变量X 的分布列为：
所以X 的期望()01232279927
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型． 20、（1）证明见解析.（2【解析】
（1）连接AC 1，BC 1，结合中位线定理可证MN ∥BC 1，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC ⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ，即可求证直线MN ⊥平面ACB 1；
（2）作MP BC ⊥交于点P ，通过等体积法，设C 1到平面B 1CM 的距离为h ，则有11111
33
B M
C B C C S h S MP ⋅=⋅，结合几何关系即可求解 【详解】
（1）证明：连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点； ∵M 是AB 的中点. 所以：MN ∥BC 1；
∵A 1A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴A 1A ⊥AC ，
在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1∥CC ， ∴AC ⊥CC 1，
∵∠ACB ＝90°，BC ∩CC 1＝C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥BC 1；又MN ∥BC 1 ∴AC ⊥MN ， ∵CB ＝C 1C ＝1，
∴四边形BB 1C 1C 正方形， ∴BC 1⊥B 1C ，∴MN ⊥B 1C ，
而AC ∩B 1C ＝C ，且AC ⊂平面ACB 1，CB 1⊂平面ACB 1， ∴MN ⊥平面ACB 1，
（2）作MP BC ⊥交于点P ，设C 1到平面B 1CM 的距离为h ，
因为MP 1111
22
B C
C S ==，， 所以111113M B CC B CC V S -=⋅•MP 1
12
=，
因为CM 2
2
=
，B 1C 2=； B 1M 6
2
=
，所以 所以：112B CM
S
=
CM •B 1M 34
=.
因为1111C B MC M B C C V V --=，所以1111
1
33
B M
C B C C S h S MP ⋅=
⋅，解得3h
所以点1C ，到平面1B MC 的距离为
【点睛】 本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求，属于中档题
21、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1.
【解析】
（Ⅰ）令()()()()2ln x e x f x g x x x x Φ=-=--，0x >；则()()()212x x e x x x
--'Φ=．易得20x e x ->，()()120x e Φ≥Φ=->．即可证明()()f x g x >；
（Ⅱ）()sin cos x h x OP OQ x x e x =⋅=-+，分①,02x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦π，② 0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，③ 当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，讨论()h x 的零点个数即可．
【详解】 解：（Ⅰ ）令()()()()2ln x
e x
f x
g x x x x
Φ=-=--，0x >； 则()()()2
12x x e x x x --'Φ=． 令()()20x G x e x x =->，
()()20x G x e x '=->，
易得()G x 在()02ln ，递减，在()2ln +∞，
递增， ∴ ()()ln 222ln 20G x G ≥=->，∴20x e x ->在()0+∞，
恒成立． ∵ ()x Φ在()01，递减，在()1+∞，
递增． ∴ ()()120x e Φ≥Φ=->．
∵()()f x g x >；
（Ⅱ ）∵ 点()()P x xf x ，，点()Q sinx cosx -,，
∴ ()sin cos x h x OP OQ x x e x =⋅=-+，
()()()1sin x x x x h x sinx xcosx e cosx e sinx e x cosx e x '=--+-=--+．
① 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
π时，可知2x e x x >>，∴0x e x -> ∴ ()0x e x cosx -≥，()
10x e sinx +≤， ∴ ()()()
10x x h x e x cosx e sinx '=--+≥． ∴ ()h x 在02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
，单调递增，()010h =>，02h π-<（）． ∴ ()h x 在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上有一个零点， ② 当0,4x π⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
时，cosx sinx ≥，x e x >， ∴ cos sin x e x x x >，∴()0h x >在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦
，恒成立， ∴ ()h x 在()04h x π⎛⎤ ⎥⎝⎦在，04π⎛⎤ ⎥⎝⎦
，无零点． ③ 当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
当，时，0cos sin x x <<， ()()()cos sin cos sin 0x h x e x x x x x '=--+<．
∴ ()h x 在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦，()42h x ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦在，单调递减，022h ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，4044h e πππ⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． ∴ ()h x 在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦
，存在一个零点． 综上，()h x 的零点个数为1．．
【点睛】
本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．
22、 (1)见证明；(2)
13【解析】
(1) 取BC 的中点O ，连接,OP OA ，要证平面PBC ⊥平面ABCD ，转证OP ⊥平面ABCD ，即证OP OA ⊥，OP BC ⊥ 即可；(2) 以O 为坐标原点，以,,OA OB OP 为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面PBD 与平面PBC 的法向量，代入公式，即可得到结果.
【详解】
（1）取BC 的中点O ，连接,OP OA ，
因为,ABC PBC ∆∆均为边长为23的等边三角形， 所以AO BC ⊥，OP BC ⊥，且3OA OP == 因为32AP =，所以222OP OA AP +=，所以OP OA ⊥，
又因为OA BC O ⋂=，OA ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
所以OP ⊥平面ABCD .
又因为OP ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .
（2）因为BC CD ⊥，ABC ∆为等边三角形，
所以6ACD π
∠=，又因为AD CD =，所以6CAD π∠=，23
ADC π∠=， 在ADC ∆中，由正弦定理，得：sin sin AC CD ADC CAD
=∠∠，所以2CD =. 以O 为坐标原点，以,,OA OB OP 为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()0,0,3P ，()3,0B ，()2,3,0D -，()0,3,3BP =-，()
2,23,0BD =-，
设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =， 则·0·0n BP n BD ⎧=⎨=⎩，即330230
y z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 令1z =，则平面PBD 的一个法向量为()3,3,1n =，
依题意，平面PBC 的一个法向量()1,0,0m =
所以·313cos ,13
m n m n m n == 故二面角C PB D --313.
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.。