【全国百强校】浙江省台州中学2016届高三上学期第三次统练文数试题解析(解析版)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}21{，=A ，}12{A a a B ∈-=，则=B A （ ）
A ．{}1
B ．{}1,2
C ．{}1,2,3
D ．∅ 【答案】C 【解析】
试题分析：{12}A =Q ，，{}{21}1,3B a a A ∴=-∈=，A B ∴=U {}1,2,3. 考点：集合的运算.
2．设n S 为等差数列{}n a n 的前项和，若3963,27a S S =-=，则该数列的首项1a 等于（ ） A ．65-
B ．35-
C ．6
5
D ．
3
5
【答案】D
考点：等差数列的通项公式及其前n 项和公式 3．已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则( ) A ． 1n m << B ． 1m n << C ． 1m n << D ． 1n m <<
【答案】A 【解析】
试题分析：因为0log log ,10<<<<n m a a a ，所以log log log 11a a a m n m n <<⇒>>，所以选A. 考点：对数函数的单调性.
4．对于不重合的两平面βα,，给定下列条件：
①存在平面γ，使得,αβ都垂直于γ； ②存在平面γ，使得,αβ都平行于γ；
③存在直线m l m l //,,使得βα⊂⊂；
④存在异面直线βαβα//,//,//,//,,m m l l m l 使得 其中可以判定βα,平行的条件有（ ）
A ． 1个
B ． 2个
C ．3个
D ．4个 【答案】
B
考点：1.平面与平面平行的性质；2.平面与平面平行的判定；3.平面与平面垂直的判定．
【思路点睛】存在平面γ，使得αβ，都垂直于γ，不一定成立，存在平面γ，使得αβ，都平行于γ，可以得到两个平面平行，存在直线l α⊂，直线m β⊂，使得//l m ，则得到两个平面可以平行，可以相交，存在异面直线l m 、，使得////////l l m m αβαβ，，，，可以得到两个平面平行．
5．在ABC Rt ∆中，已知1,4==BC AC ，P 是斜边AB 上的动点（除端点外），设P 到两直角边的距离分别为21,d d ，则
2
11
1d d +
的最小值为（ ） A ．
45 B ．23 C ．49
D ．2
5
【答案】C 【解析】
试题分析：由图知，设1d PD =，2d PE =由PBE APD ∆∆~，得
2
2
1141d d d d -=
-，整理得4421=+d d ， ()441111212121d d d d d d +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1
2
214411d d d d +++=4942451221=⋅+≥d d d d ，故答案为C ．
考点：基本不等式的应用． 6．定义行列式运算
1234
a a a a =3241a a a a -
．将函数sin 2()cos 2x f x x
=
6
π
个单位，以下是所
得函数图象的一个对称中心是 （ ） A ．(
,0)4π
B ．(,0)2
π
C ．(
,0)3
π
D ．(
,0)12
π
【答案】
B
考点：1.正弦函数的对称性；2.函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换．
7．已知(,)P x y 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA PB 、是圆C ：0222=-+y y x 的两条切线，
A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）
A.3
B.2
1
2 C.22 D.2 【答案】
D
考点：直线与圆的位置关系.
【思路点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，解决本题时先求圆的半径，四边形PACB 的最小面积是2，转化为三角形PBC 的面积是1，求出切线长，再求PC 的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值．
8．已知平面向量,,a b c 满足c xa yb =+（,R x y ∈），且0a c ⋅>，0b c ⋅>． A. 若0a b ⋅<，则0x >，0y > B. 若0a b ⋅<，则0x <，0y <
C. 若0a b ⋅>，则0x <，0y <
D. 若0a b ⋅>，则0x >，0y >
【答案】A 【解析】
试题分析：若0a b ⋅<，设(1,1)a =，(2,1)b =-，(0,1)c =，则10a c ⋅=>，10b c ⋅=>，10a b ⋅=-<
，
由c xa yb =+，有021x y x y =-⎧⎨=+⎩，解得23
13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，排除B ；若0a b ⋅>，设(1,0)a =，(2,1)b =，(1,1)c =，
则10a c ⋅=>，30b c ⋅=>，20a b ⋅=>，由c xa yb =+，有121x y y =+⎧⎨=⎩，解得1
1
x y =-⎧⎨=⎩，排除C 、D ，
故选A ．
考点：1、平面向量数量积的坐标运算；2、平面向量的基本定理．
【思路点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和平面向量基本定理的运用，作为选择题运用排除法是解
题的关键，运用排除法解决，分0a b ⋅<，0a b ⋅>两种情况，然后再分别对,a b r r
举例加以验证，即可得到
答案．
二、填空题：本大题7小题，9-12题每空3分，13-15每空4分，共36分，把答案填在题中的横线上．
9．已知直线1:2l y ax a =+与直线2:(21)l a y a x a =--,若12//l l ，则a =_________;若12l l ⊥ 则
a =___________________.
【答案】1a =，0a = 【解析】
试题分析：若12//l l ，则()2
2
21010a a a
-+-=⇒-=，得1a =；若12l l ⊥，()2100a a a a -+=⇒=. 考点：直线与直线的位置关系. 10．设函数)62sin()(π
-=x x f ，则该函数的最小正周期为 ，)(x f 在]2
,0[π
的最小值
为 . 【答案】π，2
1
-
考点：函数()sin y A x ωϕ=+的性质.
11．规定记号“∆”表示一种运算，即+∈++=∆R b a b a b a b a 、，．若31=∆k ，则函数()x k x f ∆=的定
义域是_______________,值域是_________________． 【答案】()0,+∞; ()∞+,1
考点：1.新定义；2.函数的定义域与值域.
12．设a ，b ，e 1=，1=⋅e a ，2=⋅e b 2=的最小值为 ，
b a ⋅的最小值为 .
【答案】3，4
5 【解析】
1=，1=⋅e a ，2=⋅e b ，所以()3a b e +⋅=r r r ，设()
a b +r r 与e r
的夹角为[]()0,θ,θπ∈，
所以[]()3
cos 3,0,cos a b e a b θθπθ
+⋅=⇒+=
∈r r r r r
，min 3a b ∴+=r r ，当且仅当cos 1θ=即0θ=时取
最小值.∵1e =r ，∴不妨设()10e =r ，．∵1a e ⋅=r r ， 2b e ⋅=r r
，∴可设()()1,,2,a m b n ==r r ，
∴()1a b m n -=--r r ，．∵||2a b -=r r 2=，化为()23m n -=，
∴()2
340m n mn +=+≥，∴34mn ≥-
，当且仅当m n =-= ∴352244a b mn ⋅=+≥-=r r ．故答案为：5
4
．
考点：平面向量数量积的运算．
13．已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于A B 、两点,且3AB =，则C 的方程为_______________________.
【答案】22
143
x y += 【解析】
试题分析：依题意设椭圆C 的方程为22x a +2
2y b =1(a>b>0),由条件可得21,
A b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2
1,b a B ⎛⎫-
⎪⎝⎭
,因 22223b b b a a a AB ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭-,即2
23b a =,所以2222
23,1,
b a a b
c ⎧=⎪⎨-==⎪⎩
解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22143
x y +=.故选C. 考点：椭圆的方程.
14．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0>>b a ）的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 作双曲线C 的一条
渐近线的垂线，垂足为H ，交双曲线于点M 且22F M MH =，则双曲线C 的离心率为 . 【答案】5
考点：双曲线的标准方程及简单性质的应用.
【思路点睛】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知2F H 的斜率，设出H 的坐标代入渐近线方程求得x 的表达式，则H 的坐标可知，进而求得M 的表达式，代入双曲线方程整理求得a 和c 的关系式，进而求得离心率．
15．对一切实数x ，所有的二次函数2
()()f x ax bx c a b =++<的值均为非负实数，则b a
a b c
-++的最大值
是____________. 【答案】
13
【解析】
考点：1.基本不等式在最值问题中的应用；2.二次函数的性质．
【思路点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意检验等号成立的条件，以及二次函数
的性质的应用，设b a k -=，则b a k =+，依题意有2
04b a b ac >>≤，，即()2
4a k ac +≤，即
()2
4a k c a
+≥
．根据 ()2
224b a k
k
a k a
b
c a k c
a k a
-=≤
+++++++
，再利用基本不等式求出它的最大值．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）ABC ∆中，内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3
cos 4
B =
. （1）求
c
a
的值； （2）设3
2BA BC ⋅=，求a c +的值. 【答案】（Ⅰ）2或1
2
；（Ⅱ）3．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用a ，b ，c 成等比数列可得2
b a
c =，进而利用余弦定理和同角三角函数的基本关系
可得sin B 和
c a 的值；（Ⅱ）先利用3
2
BA BC ⋅=可得ca 的值，进而可得a c +的值． 试题解析：（1）因为a ，b ，c 成等比数列，所以2
b a
c =
由余弦定理可知：222221cos 1222a c b a c ac c a B ac ac a c +-+-⎛⎫===+- ⎪⎝⎭
又3cos 4B =
，且13
124
c a a c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2c a =或12 （2）因为32BA BC ⋅=
，所以3cos 2ca B =，所以2ca =，又2c a =或1
2
，于是3c a +=. 考点：1、等比中项；2、余弦定理；3、同角三角函数的基本关系；4、正弦定理；5、平面向量的数量积．
17. （本小题满分15分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2
1441
,,n n S a n n N *+=--∈且11a =.
(1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 证明:对一切正整数n ,有
1223
111
11
2
n n a a a a a a ++++
<. 【答案】（1）*
21()n a n n N =-∈；（2）详见解析.
(2)
()()
1223
111
1111
1
133557
2121n n a a a a a a n n ++++
=++++
⋅⋅⋅-+
11111111123355721211111.2212
n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 考点：1.等差数列；2.裂项相消.
【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:()()n k
a f n f n c =
+型，通过拼凑法裂解成11n n n c n n c k k a a a cd a a ++⎛⎫
==-
⎪⎝⎭
；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。

无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如()()n k a f n f n c =
++
=
1
1log log log n a
a n a n n
a a a a ++=-本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握()!1!!nn n n =+-和 1
1m m m n n n
C C C ++-=. 18. （本小题满分15分）在Rt AOB △中，π
6
OAB ∠=
，斜边4AB =.Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到Rt AOC △，且二面角B AO C --是直二面角,动点D 在斜边AB 上。

（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （2）当1
2
AD DB =
时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值； （3）求CD 与平面AOB 所成最大角的正切值.
O
C
A
D
B
【答案】（1）详见解析；（2）630；（3）3
32
（2）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，
CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角． ………6分
在Rt COB △中，易得2CO BO ==，1233
OE BO ==， 3
10222=+=∴OE CO CE ．又33432==AO DE ．
考点：1.线面垂直的判定定理；2.线面成角；
19．（本小题满分15分）
已知抛物线C ：24x y = ，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点（A 在第一象限）.
（1）当2OFA OFB S S ∆∆=时，求直线l 的方程；
（2）过点2(2,)A t t 作抛物线C 的切线1l 与圆22
(1)1x y ++=交于不同的两点,M N ，设F 到1l 的距离为d ，求MN d
的取值范围. 【答案】（1
）1y x =
+；（2）3(0,]2
（2）由于2
4
x y =，因此'2x y =故切线1l 的方程为2(2)y t t x t -=-，化简得20tx y t --= 则圆心（0，-1）到1l
的距离为21d =11d <，故2
03t <<
则||MN =
2||t =F 到1l
距离d
则MN
d = 今2424242235125112121816
t t t m z t t t t m m -+==-+=-+++++++ 251(1,16)m t =+∈ 则2591(0,]16168z m m
=-+∈++，
故3(0,]2
MN d ∈. 考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.点到直线的距离公式；2.基本不等式.
20. （本小题满分15分）
设函数2(),,f x x ax b a b R =-+∈.
（1）当2a =时，记函数|()|f x 在[0，4]上的最大值为()g b ，求()g b 的最小值；
（2）存在实数a ，使得当[0,]x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，求b 的最大值及此时a 的值.
【答案】（1）92
；（2）2a ＝
考点：1.二次函数的性质；2.函数的单调性；3.分类讨论思想.
【方法点睛】一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值.
将配方，得顶点为、对称轴为；当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是
的最大值是中的较大者；（2）当时，若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是；若，由在
上是减函数则的最大值是，最小值是；当时，可类比得结论.
：。