《数字信号处理》真题强化教程(第1讲 快速傅里叶变换FFT)

主讲人：杨治丽
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考点重点
考点1：基-2按时间抽取FFT 算法的原理，流图，特点考点2：按时间抽取的FFT 算法的变体
考点3：基-2按频率抽取FFT 算法的原理，流图，特点考点4：FFT 的计算量
考点5：FFT 的性质
考点6：一个N 点FFT 同时计算两个N 点实序列
考点7：一个N 点FFT 运算一个2N 点实序列
考点8：利用FFT 求卷积、相关
考点9：N 为复合数的FFT 算法。

考点10：分裂基FFT 算法。

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考点1：基-2按时间抽取FFT 算法的原理，流图，特点。

例1：给出按时间抽取（DIT ）基2FFT 算法的蝶形运算公式，画出N =8
时相应的算法流程图，并说明其特点。

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N =8的算法流图：
它的特点：原位运算，输入反序，输出自然顺序。

每列的蝶形类型（系数）比前一列增加一倍，参加蝶形运算的两个数据点的间距也增大一倍。

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例2：
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例3：根据按时间抽取的基-2FFT 算法的思想，推导出用3个2点DFT 计算一个6点DFT 的快速算法，并画出算法流程图。

提示：6点数据按3个2点的分发为：{x (0), x (3)}，{x (1), x (4)}，{x (2), x (5)}。

解：
考点2：按时间抽取的FFT 算法的变体
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例4：根据按时间抽取的基2 FFT 算法的思想推导出利用16点FFT 实现48点x (n )的DFT 的快速算法，并对具体步骤作
简要说明。

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例5：假设有一按时间抽取方式实现的8点FFT 芯片，试问如何利用这些芯片来计算24点的DFT ？请写出推导过程，并作
简要说明。

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22424
()()()(),0,1,....15k
k X k F k W G k W G k k =++=同理，可得：
8
2(8)
2424(8)()()()
k k X k F k W G k W G k +++=++16
2(16)
2424(16)()()()
k k X k F k W G k W G k +++=++
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考点3：基-2按频率抽取FFT 算法的原理，流图，特点。

例6：给出按频率抽取（DIF ）基-2FFT 算法的蝶形运算公式，画出N =8
时相应的算法流图，并说明其特点。

则有：
0,1,2, …, N/2-1
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N =8的算法流图：
它的特点：原位运算，输入自然顺序，输出反序。

每列的蝶形类型（系数）比前一列减少一倍，参加蝶形运算的两个数据点的间距也缩小一倍。

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解：
例8：
考点5：FFT 的性质
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版权所有解：例9：
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例10：给出用一个N 点FFT 同时运算两个N 点实序列的快速
算法的步骤。

考点6：一个N 点FFT 同时计算两个N 点实序列
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例12：写出用N 点基-2FFT 算法计算2N 点实序列FFT 的步骤。

解：（1）把x (n )按n 为奇数或偶数分成两组，即：
12()(2)01()(2+1)01
x n x n n N x n x n n N =−⎧⎨=−⎩≤≤≤≤（2）将x 1(n )和x 2(n )组成复序列：
12()()j (),01
y n x n x n n N =+−≤≤考点7：一个N 点FFT 运算一个2N 点实序列
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例13：设x (n )长为2N 有限长实序列，X (k )是x (n )的2N 点DFT ，已知X (k )，写出用一次N 点IFFT 完成x (n )的2N 点IDFT 的具体
运算步骤。

2
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考点8：利用FFT
求卷积、相关
例14：
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解：8192=64×128
（1）将x 1(n )分成128段，每段长度为64，即：
127
10()(64)(0,1,,63)
i m x n x n m n ==+=∑"（2）确定DFT 的点数：L ≥64+64-1=127，应该是128点。

例15：
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版权所有（5）将所得的y i (n )相加：127
0()()i
i y n y k ==∑注意，相邻两端重叠（64-1）=63点。

（4）求，做128点IFFT
()IFFT{()}i i y n Y k =然后计算：2()()()(0127)
i i Y k X k X k k =≤≤（3）对每段x i (n )计算x i (n )与x 2(n )的128点基-2FFT ，即：
22()DFT{()}()DFT{()}i i X k x n X k x n ==，
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（6
）最后计算运算量：复乘的运算量为：
复加的运算量为：
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（4）将Y (k )求L 点IFFT ，得y (n )
例16：
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考点9：N 为复合数的FFT 算法。

考点10：分裂基FFT 算法。

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版权所有谢谢！。