[精品]新人教A版必修三高中数学第一章1.3算法案例(第1课时)导学案

第一课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．
2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．
3．进一步体会算法的基本思想．
1．辗转相除法与更相减损术
(1)辗转相除法．
①算法步骤：
第一步，给定两个正整数，n
第二步，计算除以n所得的余数r
第三步，＝n，n＝r
第四步，若r＝，则，n的最大公约数等于；否则返回第步．
②程序框图如图所示．
③程序：
INPUT ，n
DO
r＝ MOD n
＝n
n＝r
LOOP UNTIL
PRINT
END
(2)更相减损术．[。

]
算法分析：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是．若是，用约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以数减数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为
止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公
约数．
【做一做1】用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是．
2．秦九韶算法
(1)概念：求多项式f()＝a n n＋a n－1n－1＋…＋a1＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个多项式的值，共进行次乘法运算和次加法运算．其过程是：
改写多项式为：
f()＝a n n＋a n－1n－1＋…＋a1＋a0
＝(a n n－1＋a n－1n－2＋…＋a1)＋a0
＝((a n n－2＋a n－1n－3＋…＋a2)＋a1)＋a0＝…
＝(…((a n＋a n－1)＋a n－2)＋…＋a1)＋a0
设v1＝，
v2＝v1＋a n－2，
v3＝v2＋a n－3，
…，
v n＝
(2)算法步骤：
第一步，输入多项式的次数n、最高次项的系数a n和的值．
第二步，将v的值初始化为a n，将i的值初始化为n－1
第三步，输入i次项的系数a i
第四步，v＝v＋a i，i＝
第五步，判断i是否大于或等于．若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值．
(3)程序框图如图所示．
(4)程序：
INPUT “n＝”；n
INPUT “an＝”；a
INPUT “＝”；
v＝a
i＝n－1[]
WHILE
PRINT “i＝”；i
INPUT “ai＝”；a
v＝
i＝i－1
WEND
PRINT END
【做一做2】 设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是( )
A ．顺序结构
B ．条件结构 ．循环结构 D ．以上都有
答案：1．(1)①0 二 ③r ＝0 (2)偶数 2 减 大 小 【做一做1】 用2约简 由于294和84都是偶数，先用2约简． 2．(1)一次 n n a n ＋a n －1 v n －1＋a 0 (2)i －1 0 v (4)i ＞＝0 v ＋a v
【做一做2】
D
1．更相减损术与辗转相除法的区别与联系 剖析：如表所示．
②二者的实质都是递归的过程．2．秦九韶算法是比较先进的算法
剖析：计算机的最重要特点就是运算速度快2003年2月26日，以色列家宣布研制出一台依靠DNA 运行、速度达每秒运算330万亿次的生物计算机．这种计算机的运算速度比现在普通计算机的运算速度要快10万倍，但是即便如此，计算机也不是万能的．同一个问题有多种算法，如果某个算法比其他算法的步骤少，运算的次数少，那么这个算法就是比较先进的算法．算法好坏的一个重要标志就是运算的次数越少越好．
求多项式f ()＝a n n ＋a n －1n －1＋…＋a 1＋a 0的值时，通常是先计算
a n n ，进行n 次乘法运算；再计算a n －1n －1，进行n －1次乘法运算；这
样继续下去共进行n ＋n －1＋…＋2＋1＝
n n ＋1
2
(其计算方法以后
习)次乘法运算，还需要进行n 次加法运算，总共进行n n ＋1
2
＋n
次运算．
但是用秦九韶算法时，改写多项式为
f ()＝a n n ＋a n －1n －1＋…＋a 1＋a 0
＝(a n n －1＋a n －1n －2＋…＋a 1)＋a 0[] ＝((a n n －2＋a n －1n －3＋…＋a 2)＋a 1)＋a 0 …
＝(…((a n＋a n－1)＋…＋a2)＋a1)＋a0
先计算v1＝a n＋a n－1，需1次乘法运算，1次加法运算；
v2＝v1＋a n－2，需1次乘法运算，1次加法运算；
…
v n＝v n－1＋a0，需1次乘法运算，1次加法运算．
所以需进行n次乘法运算，n次加法运算，共进行2n次运算．由于错误!－2n＝错误!≥0，则错误!＋n≥2n
因此说秦九韶算法与其他算法相比运算次数少，秦九韶算法是比较先进的算法．
题型一求最大公约数
【例题1】 (1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；
(2)用更相减损术求612与468的最大公约数．
分析：本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用．辗转相除法的操作是较大的数除以较小的数；更相减损术的操作是以大数减小数．
反思：(1)利用辗转相除法求最大公约数时经常会取错最后一个余数．因为辗转相除法有有限个除法式子，而最后一个余数在倒数第二个式子的最后．
(2)利用更相减损术求解最大公约数时，最大公约数是直到差等于减数时的那个差，或是该差与约简的数的乘积．[]
题型二求多项式的值
【例题2】用秦九韶算法求多项式f()＝77＋66＋55＋44＋33＋22＋当＝3时的值．
分析：解决本题首先需要将原多项式化成f()＝((((((7＋6)＋5)＋4)＋3)＋2)＋1)的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7分别是多少，再针对这些式子进行计算．
反思：本题中比较容易出现的问题主要集中在计算上，多步计算必须保证每一步的正确性，否则最后不但将题目算错，而且浪费了宝贵的时间．
题型三易错辨析
【例题3】已知f()＝34＋22＋4＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值．
错解：f()＝((32＋2)＋4)＋2，
v1＝3×(－2)2＋2＝14；
v2＝14×(－2)＋4＝－24；
v3＝－24×(－2)＋2＝50
故f(－2)＝50
错因分析：所求f(－2)的值是正确的，但是错解中没有抓住秦九韶算法原理的关键，正确改写多项式，并使每一次计算只含有的一次项．
答案：
【例题1】解：(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数．
1 785＝840×2＋105，
840＝105×8
所以840和1 785的最大公约数是105
(2)首先612和468都是偶数，所以用2约简，得到306和234，但它们还都是偶数，需要再用2约简，得到153和117，最后用更相减损术计算得
153－117＝36，
117－36＝81，
81－36＝45，
45－36＝9，
36－9＝27，
27－9＝18，
18－9＝9
所以612和468的最大公约数是9×2×2＝36
【例题2】解：f()＝((((((7＋6)＋5)＋4)＋3)＋2)＋1)，
所以有
v0＝7；
v1＝7×3＋6＝27；
v2＝27×3＋5＝86；
v3＝86×3＋4＝262；
v4＝262×3＋3＝789；
v5＝789×3＋2＝2 369；
v6＝2 369×3＋1＝7 108；
v7＝7 108×3＝21 324
故当＝3时，多项式f()＝77＋66＋55＋44＋33＋22＋的值为21 324 【例题3】正解：f()＝34＋0·3＋22＋4＋2＝(((3＋0)＋2)＋4)＋2，
v1＝3×(－2)＋0＝－6；
v2＝－6×(－2)＋2＝14；
v3＝14×(－2)＋4＝－24；
v4＝－24×(－2)＋2＝50
故f(－2)＝50
1．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是( )
A．24 B．18 ．12
D．6
2．用秦九韶算法计算f()＝36＋45＋54＋63＋72＋8＋1当＝04时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为( ) A．6,6 B．5,6 ．6,5
D．6,12
3．利用辗转相除法求3 869与6 497的最大公约数时，第二步是．
4．用秦九韶算法求多项式f()＝5＋54＋103＋102＋5＋1在＝－2时的值为．
5．用辗转相除法求242与154的最大公约数．
答案：1．D 先用2约简得39,18；然后辗转相减得39－18＝21，21－18＝3，18－3＝15,15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6，6－3＝3所以所求的最大公约数为3×2＝6
2．A 改写多项式f()＝(((((3＋4)＋5)＋6)＋7)＋8)＋1，则需进行6次乘法和6次加法运算．
3．3 869＝2 628×1＋1 241 第一步：6 497＝3 869×1＋2 628，
第二步：3 869＝2 628×1＋1 241
4．－1 改写多项式为f()＝((((＋5)＋10)＋10)＋5)＋1，当＝－2时，
v0＝1；v1＝1×(－2)＋5＝3；
v2＝3×(－2)＋10＝4；
v3＝4×(－2)＋10＝2；
v4＝2×(－2)＋5＝1；
v5＝1×(－2)＋1＝－1；
故f(－2)＝－1
5．解：242＝154×1＋88，
154＝88×1＋66，
88＝66×1＋22，
66＝22×3
所以242与154的最大公约数是22。