【典型题】高一数学下期末一模试卷(附答案)

【典型题】高一数学下期末一模试卷(附答案)
一、选择题
1．已知向量()cos ,sin a θθ=，()
1,2b =，若a 与b 的夹角为6
π
，则a b +=（ ） A ．2
B ．7
C ．2
D ．1
2．如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
4．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要
条件
5．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则
(1)(2)f +f (3)(2020)f f ++
+=（ ）
A ．50
B ．2
C ．0
D ．50-
6．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
2π
3
)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个
单位长度，得到曲线C 2
7．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，则ω的取值不可能为
（ ）
A ．
14 B ．15
C ．12
D ．
34
8．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数
{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(1,1)(3,4)-
B ．(1,3)
C ．(1,4)-
D ．(,1)
(4,)-∞-+∞
9．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
10．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
11．若函数()(1)(0x
x
f x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则
()log ()a g x x k =+的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则
A C +=
A ．90︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．150︒
二、填空题
13．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是
___________
14．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,
,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现
任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______. 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =4
5
，cos C =513，a =1，则
b =___.
16．设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，
共线，则λ= 17．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________． 18．设α为锐角，若4cos()6
5π
α+
=
，则sin(2)12
π
α+的值为______. 19．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，则异面直线
1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．
20．已知函数2
()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m
的取值范围为 .
三、解答题
21．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛
⎫<≤
⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．
（1）若()f x 为偶函数，求()f
ϕ的值；
（2）若()f x 在7,6ππ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上是单调函数，求ϕ的取值范围．
22．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P
（34
55
--，
）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=
5
13
，求cos β的值． 23．已知函数()()2
21+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a 、b 的值； (2)设()()
2
g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．
24．已知函数2
()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围． 25．设函数2
()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝
⎭
． （1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间；
（3）设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =
，124C f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，且C 为锐角，求
sin A ．
26．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为BF 与DE 的交点，若AB a =,AD b =，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质2
2()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】
因为()cos ,sin a θθ=，()
1,2b =， 所以||1a =，||3b =.
又2
2
2
2
2
2()2||2||||cos
||6
a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π
+ 3
13372
=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】 ①
PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直
角三角形； ②
90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形；
③
,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；
④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.
综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．
【点睛】
本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．
3．C
解析：C 【解析】
试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．
，
，所以几何体的表面积为
．
考点：三视图与表面积．
4．B
解析：B 【解析】
若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则
l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 5．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合
(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，
()32f =-，()40f =，问题得解.
【详解】
因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，
所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -
所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，
在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==
在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020
(3)(2020)12344
f f f f f f ⎡⎤++
+=
⨯+++⎣⎦ 50500=⨯=
故选C 【点睛】
本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．
6．D
解析：D 【解析】
把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π
6
）=sin （2x +
2π
3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π
π+
()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π
π+()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.
7．D
解析：D 【解析】
∵()sin cos 2sin (0)4f x x x x πωωωω⎛
⎫=-=-> ⎪⎝
⎭
∴令22,2
4
2
k x k k Z π
π
π
πωπ-
+≤-
≤+
∈，即232,44k k x k Z ππππ
ωωωω
-
+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增
∴42ππω-
≤-且342
ππω≥ ∴1
02
ω<≤
故选D. 8．A 解析：A 【解析】 【分析】
画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】
函数()f x 的图象如图，
直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，
所以610n a n
=+()n *∈N ，
若8610n =+，则1
5
n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】
本题主要考查系统抽样.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】
对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .
对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面
ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.
对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以
AB 与平面MNP 相交.
对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .
综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】
∵函数()(1)x
x
f x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，
∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)
定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】
本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．B
解析：B 【解析】
【分析】 由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A C +的值．
【详解】
在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，
∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582
a c
b B a
c +-+-===⨯⨯， b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，
18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．
【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
二、填空题
13．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：32
【解析】
【分析】
先还原几何体，再根据柱体体积公式求解
【详解】
空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为1313322
⨯⨯⨯=
【点睛】
本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题
14．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有
解析：725
【解析】
【分析】
由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。

【详解】
从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，则||1a b -的情况有：()0,0，()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，()7,7，()8,8，()9,9，()0,1，()1,0，()1,2，()2,1，()2,3，()3,2，()3,4，()4,3，()4,5，()5,4，()5,6，()6,5，()6,7，()7,6，()7,8，()8,7，()8,9，()9,8共有28种，所以28710025
P =
=. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题。

15．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113
【解析】 试题分析：因为45cos ,cos 513
A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513
A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65
B A
C A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13
a B
b A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
16．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学 解析：2
【解析】
【分析】
由题意首先求得向量a b λ+，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值.
【详解】
a b λ+=(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++）
）， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=.
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径 解析：21 【解析】 画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11132360,,OEO O E O A ∠===,在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==,所以外接圆半径2211421133
r OA OO O A ==+=+=.
18．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三
角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦 解析：17250 【解析】 试题分析：247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)1234π
ππ
αα+=+- 22471722252550
⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．
【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍
角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭
，同时求出其正弦值24sin(2)325πα+=
，而要求的角sin(2)sin(2)1234
πππαα+=+-，再利用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号. 19．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象 解析：30 【解析】
【分析】
先找出线面角，运用余弦定理进行求解
【详解】
连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC ，连接1A E 1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角
在111Rt AC B 中，111AC =，1111122
C E C B ==
12
A E ∴=,
同理可得1A D =
DE =
2221cos 10A DE +-∠==, ∴异面直线1A B 与1AC
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题． 20．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质
解析：2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
【详解】
因为函数2
()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线，
所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，
()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩
，解得0m <<， 所以实数m
的取值范围为2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
． 【考点】
二次函数的性质．
三、解答题
21．（1）0；（2）,62ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
． 【解析】
【分析】 （1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()f ϕ的值.
（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛
⎫=+
+- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围.
【详解】
（1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭ 2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭， ()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭
， 又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π（k Z ∈），02πϕ<≤，6
πϕ∴=． ()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭
． （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++ ⎪⎝⎭， 02π
ϕ<≤，72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦
， ()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上是单调函数．262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤． ,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦． 【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.
22．（Ⅰ）
45；（Ⅱ）5665- 或1665
. 【解析】
【分析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-， 所以()4sin πsin 5
αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫--
⎪⎝⎭得3cos 5α=-， 由()5sin 13αβ+=得()12cos 13
αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65
β=. 点睛：三角函数求值的两种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
23．（1）1,0a b ==；（2）4k <.
【解析】
【分析】
（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.
(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.
【详解】
解：（1）()g x 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，
()g x ∴在[]2,3上单调递增
()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩
. 解得1a =且0b =.
（2）()0f x k ->在(]2,5x ∈上恒成立
所以只需()min k f x <.
有（1）知()221112224222
x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122
x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.
【点睛】
本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.
24．（1）{|1x x -≤≤
；（2）[1,1]-． 【解析】
【详解】
试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．
试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2
1140x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；
当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；
当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤
.
所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤≤
. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.
所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.
又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.
所以a 的取值范围为[]1,1-.
点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．
25．（1）π（2）减区间为ππk π,k π44⎡⎤-
+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（3【解析】
()1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论． ()2利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递减区间．
()3利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得sinA 的值．
【详解】
() 1函数
()2π11cos2x 1f x cos 2x sin x cos2x 3222-⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝
⎭， 故它的最小正周期为2ππ2
=．
()2对于函数()1f x 2=+，令ππ2k π2x 2k π22-≤≤+，求得ππk πx k π44
-≤≤+， 可得它的减区间为ππk π,k π44⎡
⎤-
+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．
()
3ABC 中，若1cosB 3=，sinB 3
∴==．
若C 11f 224⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，sinC ∴=，C 为锐角，πC 3∴=．
()ππ11sinA sin B C sinBcos
cosBsin 3332326∴=+=+=⋅+⋅=． 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
26．1()3
CG a b =-+ 【解析】
分析：直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.
详解：由题意，如图1122
DE DC CE AB CB a b =+=+=-， 1122
BF BC CF AD AB a b =+=-=-+， 连接BD ，则G 是BCD 的重心，连接AC 交BD 于点O ，则O 是BD 的中点， ∴点G 在AC 上，
∴()
2221133323CG CO OC AC a b ==-=-⨯=-+，
12DE a b =-；12BF a b =-+； ∴()13CG a b =-+． 点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．。