Lie对称性和共形不变性及守恒量若干问题的研究

Lie对称性和共形不变性及守恒量若干问题的研究本文基于对称性理论研究了某些力学系统守恒量的若干问题.目前研究的对称性主要有Noether对称性、Lie对称性、Mei对称性以及共形不变性,它们导致的守恒量有Noether守恒量、Hojman守恒量、Mei守恒量.本文将应用这些对称性理论研究某些力学系统的守恒量,研究内容有以下四部分：在第一部分即本文的第二章中,我们研究了Lagrange系统、Hamilton系统、广义Hamilton系统的Lie对称性两种提法的等价性,对于广义Hamilton系统还研究了在一般无限小变换下的Lie对称性导致的新型守恒量,给出新型守恒量的表达式和证明过程.在第二部分即本文的第三章中,我们先研究了广义Hamilton系统的共形不变性与Mei对称性的关系,给出共形不变性同时具有Mei对称性的充要条件,并且得到了共形不变性通过Mei对称性导致的Mei守恒量；其次讨论了Lorenz方程的Robbins模型的共形不变性通过Mei对称性导致的Mei守恒量；最后研究了平面Kepler方程的共形不变性与Lie对称性,给出共形不变性通过Lie对称性导致的Hojman守恒量,同时研究了Kepler方程的Mei对称性,得到了与系统的总能量、角动量相互独立的守恒量.在第三部分即本文的第四章中,我们研究了Nielsen
方程的Lie对称性导致的新型守恒量和Appell方程的Mei对称性导致的新型守恒量,给出新型守恒量的具体表达式和证明过程,举例说明结果的应用.在第四部分即本文的第五章中,我们应用单参数Lie群理论,研究了广义齐次系统的拟齐次多项式首次积分.通过讨论Lotka-Volterra系统的约化问题,给出系统拟齐次多项式首次积分的存在条件和具体表达式.。