一类无理型函数的最值(值域)的求法再探究

一类无理型函数的最值(值域)的求法再探究
广东省兴宁市第一中学 (514500) 蓝云波
文[1]对形如d cx n b ax m y +++=（其中0≠mn ，0<ac ）的无理型函数的最值(值域)的问题作了有益的探究.其中，对此类函数的第二种类型d cx n b ax m y +++=（0>mn ，0<ac ）的最值（值域）问题，从不同角度出发，得出了七种最大值的求法和五种最小值的求法.这些方法都是高中数学中求函数最值（值域）的重要方法.不过笔者认为，文[1]的有些地方是值得商榷的.另外，笔者通过探究，给出其他几种解法，供大家参考. 原题：（2011年全国高中数学联赛四川赛区初赛第4题）函数x x y 3245-+-=
的最大值为（ ） A.3 B.3 C.32 D.33 答案：C
在文[1]中，给出了一种判别式法，其解答如下：
x x y 3245-+-=Θ，0≥∴y ，)324)(5(232452x x x x y --+-+-=， )324)(5(21922x x x y --=-+∴，01922≥-+∴x y ，
)84138()2324(162422=+-+-+∴y y x y x .
0)84138(64)2324(2422≥+---=∆∴y y y . 01224≤-∴y y ，1202≤≤∴y .⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≥-+≥∴1200192022y x y y ，323≤≤∴y ，
y ∴的最小值为3，最大值为32.
其实这种解法是有硬伤的.最终答案无误纯属巧合.例如2013年全国高中数学联赛江西赛区初赛第6题：函数x x x f -+-=363)(的值域是 .运用这种方法则是行不通的.
其错误的根源有两点：
其一：忽视了函数的定义域，原题函数的定义域是[]8,5，其解法仅仅考虑方程0)84138()2324(162422=+-+-+y y x y x 有解，而非在[]8,5上有解；
其二：其解法求最小值时是运用01922≥-+x y 得到的，并且按其思路是用
max min 2)219()(x y -≥求出的.这也是有问题的，因为y 的值是依赖于x 的值的变化而变化的.
事实上，此题运用判别式法是比较困难的.笔者通过探究，得出下列另外几种解法.
另解一:利用不等式同时取等号求最小值
()()()x x x x x y 3245221932452--+-=-+-=Θ，[]8,5∈x .()()03245≥--∴x x ，162-≥-x ，当且仅当8=x 时，等号同时成立.301619=+-≥∴y .即函数x x y 3245-+-=的最小值为3.
另解二:利用方差求最小值
在文[1]中，给出了如下利用方差求最大值的方法：
x x y 3245-+-=Θ，[]8,5∈x .令3
324,5x b x a -=-=，则b a y 3+=，易知1个a 与3个b 的平均数为4y n =.方差为222443441⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b y a y S ()4383162
22b a y b a y +++-=，b a y 3+=Θ，016432
222≥-+=∴y b a S .
4
3)9324(3)5(414316222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+≤∴x x b a y .122≤∴y ，当4y b a ==，即423=x 时，y 有最大值为32.
其实，此题利用方差是可以求出最小值的.
()()16316343164322222222b a b a b a y b a S -=+-+=-+=Θ.3
3245x x b a ---=-Θ在[]8,5上单调递增，31≤-≤-∴b a ，()32≤-∴b a .1692
≤∴S ，163169431694316222=-=-+≥∴b a y ，32≥∴y ，当且仅当8=x 时，y 有最小值3.
另解三:利用对偶关系求最值
x x x x y -⨯+-=-+-=8353245Θ，[]8,5∈x .设x x y -⨯+-=835的对偶式538-⨯--=x x z ，因为z 在[]8,5上单调递减，
3
3≤≤-∴z ，902≤≤∴z .又()()125388352
222=-⨯--+-⨯+-=+x x x x z y Θ.2212y z -=∴，91202≤-≤∴y ，1232≤≤∴y ，显然0>y ，323≤≤∴y .y ∴的最小值为3，最大值为32.
另解四:利用函数的单调性的定义求最值
设1x ，[]8,52∈x ，且21x x <，再设)(x f y =x x 3245-+-=.则)()(21x f x f - 2
21132453245x x x x -----+-=()()212132432455x x x x ---+---= 2
1122121324324)(355x x x x x x x x -+--+-+--=()()()()()
2121221121324324555332453324x x x x x x x x x x -+--+----+---⋅-=. 021<-x x Θ，()()0324324552121>-+--+-x x x x ，故只需考虑 ()()53324533242211---+---x x x x 的正负.记53324)(---=x x x g ，则)(x g 在
[]8,5上单调递减，令0)(=x g 得423=x ，故当4235≤≤x 时，0)(≥x g ，当84
23≤≤x 时，0)(≤x g .
∴当4235≤≤x 时，0)()(21<-x f x f ，此时)(x f 单调递增；当84
23≤≤x 时，0)()(21>-x f x f ，此时)(x f 单调递减.∴当4
23=x 时，)(x f 有最大值=)423(f 32.又3)5(=f Θ，3)8(=f .
∴)(x f 的最小值为3.故函数x x y 3245-+-=的最小值为3，最大值为32. 另解五:利用复数的性质求最值 此法要用到复数的两个重要性质.容易证明复数()R b a bi a z ∈+=,具有下列两个性质：
（1）()()z z z ≥+Im Re ，当且仅当()()0Im Re =⋅z z 时等号成立；（2）()z z ≤Re ，
当且仅当()0Im =z 时等号成立；其中()z Re 、()z Im 分别为复数z 的实部和虚部.
x x y 3245-+-=Θ的定义域为[]8,5.设i x x z ⋅-+-=3245，则
x z 219-=，由性质（1）()()z z z ≥+Im Re 知：
382192193245=⨯-≥-≥-+-x x x ，当且仅当8=x 时等号成立，且此时满足()0Re =z . 3≥∴y . 又x
x y -⨯+-⨯=8351Θ，设i x x z i z ⋅-+-=⋅-=85,3121.则
()(
)i x x x x z z ⋅---+-+-=⋅1538324521， ()()3215382452221=---+-+-=⋅∴x x x x z z . 由性质（2）得
()2121Re z z z z ⋅≤⋅，323245≤-+-∴x x ，当且仅当()0Im 21=⋅z z ，即
01538=---x x 时等号成立，
此时解得423=x .32≤∴y . y ∴的最小值为3，最大值为32.
这样，笔者通过上述探究，得到形如d cx n b ax m y +++=（0>mn ，0<ac ）的无理型函数的其他五种最小值的求法和三种最大值的求法.
参考文献
[1]彭小明.一类无理型函数的最值(值域)的求法探究[J].中学数学研究.2013（4）.。