高考数学一轮复习立体几何多选题知识点及练习题及解析

高考数学一轮复习立体几何多选题知识点及练习题及解析
一、立体几何多选题
1．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为2
3的等边三角形，侧棱长为43，则
（ ）
A ．直线1A C 与直线1B
B 之间距离的最大值为3
B ．若1A 在底面AB
C 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30
D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】
建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】
如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()
0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()
100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++
所以()()()
1
000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11
·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
即()()
000000230
0x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则
2
2
011222200009||||z A B n
d d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；
对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则()
11,3,211A 底面法向量()(
)
10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：
121133
sin |cos ,|6143
AA n θ==
=⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则
(
)()()
1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C
则()()1
3,3,0,0,23,43,AB AC ==-
设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则
1
1
15cos |cos ,|||||||
23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；
对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()
2
22324R =+=，所以2464S R ππ==.
故D 正确
故选：AD 【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.
2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（含边界）一点．（ ） A ．若13A P P 点有且只有一个 B ．若12A P ，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若1//A P 平面11B D C ，则1A P 2
D ．若12
A P =且1//A P 平面11
B D
C ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23
π
【答案】ABD 【分析】
选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 长的最大值为2；结合以上条件点P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =︒，求出6
3
r =，进而求出面积. 【详解】
对A 选项，如下图：由13A P =，知点P 在以1A 为球心，半径为3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=，则只有唯一一点C
满足，故A 正确；
对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =
-=的小圆圆弧上，在
底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；
对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面
11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD
上，则1A P 长的最大值为12A B C 不正确； 对选项D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的
外接圆，利用2126622,,sin 603
A B r r S r π
π=
=∴=∴==
︒.故D 正确.
故选：ABD 【点睛】
（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，
d 为球心到小圆距离）；
（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.
3．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒ B ．点A 到平面BCD 26
C ．四面体ABC
D 6π
D ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】
在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】
取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；
在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,22263AF AB BF =-=
即点A 到平面BCD 的距离为263
,故B 正确；
设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11
433
A BCD BCD BCD V S AF S OF -=
⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即6
6OF AO =
所以四面体ABCD 的外接球体积3344
633
V R OA πππ=
==,故C 正确；
建系如图：26230,0,
,0,,033A C ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,设(,,0)P x y ，则262326,,0,,333AP x y AC →
→⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为cos 60AP AC AP AC →→→→
⋅=，所以
222324812241
393972
y x y +=++⨯+⨯， 即222388=333y x y +++，平方化简可得：22
323400399
y x y ----，可知点P 的
轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．
【点睛】
方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.
4．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．CQ ⊥平面PAD
B ．P
C 与平面AQC
所成角的余弦值为3
C ．三棱锥B ACQ -
的体积为D ．四棱锥Q ABCD -
外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD 【分析】
取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】
解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，
所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，
建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，
(P C B ，
因为点Q 是PD
的中点，所以)2
Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，
6(
QC =，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；
3632
(6,23,32),(
,0,),(26,PC AQ AC =-=
=， 设平面AQC 的法向量为(,,)
n x y z =，则
36022260n AQ x
z n AC ⎧
⋅=
+=⎪⎨
⎪⋅=+=
⎩
， 令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ， 则21
sin 3
6n PC n PC
θ⋅=
=
=，
所以22
cos θ=
，所以B 正确； 三棱锥B ACQ -的体积为
1
132
B ACQ Q AB
C ABC
V V S
OP --==⋅ 111
2326326322=⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以C 不正确；
设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为(0,3,)M a ，则MQ MD =，
所以()
()()
2
2
2
2
2
26323
6
3
2a a ⎛⎫⎛⎫
+
+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭，
解得0a =，即(0,3,0)M 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，
设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，
故正方体的棱长为2x ，所以2
2
2362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，得224x =， 所以正四面体的表面积为2
34243x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD
【点睛】
此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.
5．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是
11
,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ）
A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥
B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥
C ．当1AR A C ⊥时，1AR
D R ⊥
D ．当1
13AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】
如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，
13
4
AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a
，a ⎡∈⎣
，()
Q b ，
[]0,2b ∈，
设11
A R AC λ=
，得到()
22,22R λλ--，[]
0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正
确；
()
122,2D R λλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取2
2b
λ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥
，则
(
)()
12,222212440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 1
4λ=
，此时113313,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =
，则4433R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，14233D R ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭，
设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10
n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
，解得(
3,n =-，
故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .
【点睛】
本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.
6．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )
A ．DP 35
B ．DP 5
C ．1AP PC +6
D ．1AP PC +的最小值为
170
5
【答案】AD 【分析】
DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.
【详解】
求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2
A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为3
55
h =
111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将
11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为
所求的最小值，易知11
1
2
2,2,cos 10
AA AC AAC '
'
==∠=-， 所以217042222()10AC '=+-⨯⨯⨯-
=. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用旋转求解线段最小值问题.
求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．
7．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A ．MN ∥平面ABD
B ．异面直线A
C 与MN 所成的角为定值
C ．在二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大
D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
【答案】ABD 【分析】
利用线面平行的判定即可判断选项A ；
利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；
借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;
过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D. 【详解】
对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位
线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；
对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：
则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，故选项B 正确；
对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大， 故选项C 错误；
对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；
若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,
若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；
若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此
ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
.故选项D 正确; 故选：ABD
【点睛】
本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.
8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是
A ．0MN EF ⋅=
B ．ME NE =
C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3
D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3
【答案】ABD
【分析】
证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =
⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.
【详解】
对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，BD BB B '⋂=，
所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，
因此0MN EF ⋅=，故A 正确．
对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，
平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，
同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．
对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12
S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小， 此时2MN EF ==，即面积S 的最小值为1；
当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最
此时3MN =，即面积S 的最大值为6， 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6，故C 不正确．
对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积
111212336
M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅=⨯⨯=△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，
则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积
21122
ABCD A B C D V V ''''-==正方体， 所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。