2018年考研数学一真题及全面解析(Word版)

2021年全国硕士研究生入学统一考试
数学一考研真题与全面解析
一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 以下函数中在0x
=处不可导的是〔 〕
〔A 〕()sin f x x x = 〔B
〕()sin f x x =〔C 〕()cos f x x = 〔D
〕()f x =【答案】(D )
【解析】根据导数定义，A. 0
00sin ()(0)
lim
lim lim 0x x x x x x x f x f x x x
→→→-==
= ，可导； B.0
00()(0)
lim
0x x x x x f x f x x
→→→-===, 可导； C. 2
0001cos 1()(0)
2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x
→→→-
--=== ，可导；
D. 200011
22lim lim
x x x x x x
→→→--== ，极限不存在。

应选〔D 〕. 2. 过点(1,0,0)，(0,1,0)，且与曲面22z x y =+相切的平面为〔 〕
〔A 〕01z
x y z =+-=与 〔B 〕022z x y z =+-=与2 〔C 〕1x y x y z =
+-=与 〔D 〕22x y x y z =+-=与2
【答案】〔B 〕
【解析一】设平面与曲面的切点为000(,,)x y z ，那么曲面在该点的法向量为
00(2,2,1)n x y →
=-，切平面方程为
000002()2()()0x x x y y y z z -+---=
切平面过点
(1,0,0)，(0,1,0)，故有
000002(1)2(0)(0)0x x y y z -+---=，〔1〕 000002(0)2(1)(0)0x x y y z -+---=，〔2〕
又000(,,)x y z 是曲面上的点，故
22
000
z x y =+ ，〔3〕 解方程 〔1〕〔2〕〔3〕，可得切点坐标
(0,0,0) 或 (1,1,2)。

因此，切平面有两个
0z = 与 222x y z +-=，应选〔B 〕.
【解析二】由于x y =
不经过点(1,0,0) 和 (0,1,0)，所以排除〔C 〕〔D 〕。

对于选项〔A 〕，平面1x y z +
-=的法向量为(1,1,1)-，曲面220x y z +-=的法
向量为(2,2,1)x y -，如果所给平面是切平面，那么切点坐标应为111
(,,)222
，而曲面在该点处
的切平面为1
2
x y z +
-=，所以排除〔A 〕.所以唯一正确的选项是〔B 〕.
3.
23
(1)(21)!
n n n n ∞
=+-=+∑〔 〕
()()()()sin1cos12sin1cos12sin12cos12sin13cos1
A B C D ++++
【答案】〔B 〕
【解析】因为 21200(1)(1)sin ,cos ,(21)!(2)!
n n n n
n n x x x x n n ∞
∞
+==--==+∑
∑ 而 000
23212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!n
n n n n n n n n n n ∞
∞∞
===++-=-+-+++∑∑∑ 00(1)(1)cos12sin1(2)!(21)!2n n
n n n n ∞
∞
==--=+=++∑∑，应选〔B 〕。

4. 设2
222(1)1x M dx x
ππ-
+=+⎰，2
21x x N dx e ππ-+=⎰
，22(1K dx π
π-=⎰，那么〔 〕 〔A 〕M N K >> 〔B 〕M K N >> 〔C 〕K
M N >> 〔D 〕K N M >>
【答案】〔C 〕
【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分那么最简化积分。

22
222
222222
(1)122(1)111x x x x M dx dx dx x x x π
ππππππ---+++===+=+++⎰⎰⎰，
222
2
(11K dx dx π
π
πππ-
-
=+>=⎰⎰，
令
()1,(,)
22
x
f x e x x ππ
=--∈-，那么
()1x f x e '=-，当(,0)
2
x π
∈-时，
()0f x '<，
当(0,
)2
x π
∈时，
()0f x '>，故 对(,)22
x ππ
∀∈-
，有()(0)0f x f ≥=，因而 11x x e +≤，2
222
11x x N dx dx e ππ
πππ--+=<=⎰⎰，故K M N >>。

应选〔C 〕.
5. 以下矩阵中阵，与矩阵110011001⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
相似的是〔 〕 〔A 〕111011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 〔B 〕101011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 〔C 〕111010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 〔D 〕101010001-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
【答案】〔A 〕
【解析】记矩阵110011001H ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，那么秩()3r H =，迹()3tr H =,特征值1λ= 〔三重〕。

观察,,,A B C D 四个选项，它们与矩阵H 的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：()2r E
H λ-=,()2r E A λ-=，()1r E B λ-=
()1r E C λ-=, ()1r E D λ-=。

如果矩阵A 与矩阵X
相似，那么必有
kE A -与
kE X -相似〔k 为任意常数〕，从而()()r kE A r kE X -=-〕，应选〔A 〕,
6. 设,A B 是n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，那么〔 〕 〔A 〕(,)()r A AB r A = 〔B 〕(,)()r A BA r A =
〔C 〕(,)
max{(),()}r A B r A r B = 〔D 〕(,)(,)T T r A B r A B =
【答案】〔A 〕
【解析】把矩阵,A AB 按列分块，记1212(,,),(,,)n n A AB αααβββ==，那么向
量组12,,
n βββ 可以由向量组12,,n ααα线性表出，从而12,,n ααα与
12,,n ααα，12,,n βββ，等价，于是(,)()r A AB r A =，应选〔A 〕。

7. 设随机变量X 的概率密度()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且2
()0.6f x dx =⎰
那么{0}P X
<= ( )
〔A 〕0.2 〔B 〕0.3 〔C 〕0.4 〔D 〕0.5 【答案】〔A 〕 【解析】由
(1)(1)f x f x -=+可知概率密度函数()f x 关于1x =对称，
结合概率密度函数的性质
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
及条件2
()0.6f x dx =⎰，容易得出
201{0}()[()()]0.22P X f x dx f x dx f x dx +∞
-∞
-∞
<==-=⎰
⎰⎰，应选〔A 〕。

8. 设 总体X 服从正态分布2
(,)N μσ,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，据此
样本检测，假设
0010:,:,H H μμμμ=≠那么〔 〕
〔A 〕如果在检验水平0.05α
=下拒绝0H ，那么在检验水平0.01α=下必拒绝0H ；
〔B 〕如果在检验水平0.05α=下拒绝0H ，那么在检验水平0.01α=下必接受0H ； 〔C 〕如果在检验水平0.05α=下接受0H ，那么在检验水平0.01α=下必拒绝0H ； 〔D 〕如果在检验水平0.05α=下接受0H ，那么在检验水平0.01α=下必接受0H 。

【答案】〔D 〕
【解析】正确解答该题，应深刻理解“检验水平〞的含义。

统计量
__
~(0,1)N ,在检验水平0.05α=
0.025u <,
解得 接受域的区间为
__
__
0.025
0.025
(X u X u -+；
在检验水平0.01α=下接受域的区间为
__
__
0.005
0.005
(X u X u -+。

由于0.0250.005u u <，0.01α=下接受域的区间包含了0.05α=下接受域的区间，应选〔D 〕。

二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. 9. 假设1
sin 01tan lim 1tan kx
x x e x →-⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
，那么____k = 。

【答案】2-
【解析】 001
11tan 12tan lim
ln lim
ln 1sin sin 1tan sin 1tan 01tan lim 1tan x x x x kx
kx x kx x x x e e
e
x →→--⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭→-⎛⎫=== ⎪+⎝⎭
012tan 2lim
sin 1tan 2x x
kx x k
e
e k →--+==⇒=-
10. 设函数()f x 具有二阶连续导数，假设曲线()y f x =过点(0,0)，且与2x
y =在点(1,2)处
相切，求
1
()______xf x dx ''=⎰。

【答案】2(ln 21)-
【解析】由条件可得：(0)0,(1)2,(1)2ln 2,f f f '===
故
1
1
11
00
()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx '''''==-⎰
⎰⎰
1
0(1)()(1)(1)(0)f f x f f f ''=-=-+
2(ln 21)=-
11、设函数(,,)F x y z xy i yz j zx k →→→
=-+，那么(1,1,0)_____rotF =。

【答案】(1,0,1)-
【解析】 (,,)
i j k
rotF x y z y i z j x k x y z xy yz
zx
→
→
→
→→→
∂
∂∂
==--∂∂∂-
故 (1,1,0)(1,0,1)rotF =-。

12. 设L 是曲面2
221x y z ++=与平面0x y z ++=的交线，那么___L
xyds =⎰。

【答案】3
π
-
【解析】先求交线L :2221
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，由于曲面方程与平面方程中的,,x y z 满足轮换对称
性，因此在曲线L 上,,x y z 具有轮换对称性。

又知
2222()2()0x y z x y z xy yz zx ++=+++++=⇒12
xy yz zx ++=-
由轮换对称性可得 ：
111()23663L L L xyds xy yz zx ds ds π
π=++=-=-=-⎰⎰⎰。

13. 设二阶矩阵A 有两个不同的特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，且满足
21212()A αααα+=+，那么____A =。

【答案】1-
【解析】设12,αα对应的特征值分别是12,λλ，那么
222221212112212()A A A ααααλαλααα+=+=+=+，
221122(1)(1)0λαλα⇒-+-=，由于12,αα线性无关，故 22121,1λλ==，
从而A 的两个不同的特征值为1,1-，于是
111A =-⨯=-。

14. 设随机事件A B 与相互独立，A C 与相互独立，BC
=Φ,1()()2
P A P B ==
， 1
()4
P AC AB C =,那么()____P C =。

【答案】
14
【解析】{()}()
()()()()()
P AC AB C P ABC AC P AC
AB C P AB C P AB P C P ABC =
=
+- ()()()()1
()()()()()()()4
P ABC P AC P A P C P A P B P C P ABC P A P B P C +===+-+ 1
()
11
2()11
44()22
P C P C P C ⇒=⇒=⨯
+,
三、解答题：15—23
小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 〔此题总分值10分〕求不定积分
2arctan x e ⎰
. 【解析】2212x
x
e =⎰⎰
222222211arctan arctan 22
111arctan 221(11arctan 22111
arctan (1)22211arctan 26x x x x x x x x x x x
e e d d e e e e e e e e d e C =--=-+-=-=---=-
-+⎰⎰⎰⎰⎰16. 〔此题总分值10分〕将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？假设存在，求出最小值。

【答案】面积之和存在最小值，min
S =。

【解析】设圆的半径为x ，正方形的边长为y ，三角形的边长为z ，那么2432x y z π++=，
三个图形的面积之和为
222(,,)4
S x y z x y z π=++
， 那么问题转化为 “在条件2432x y z π++=，0,0,0x y z >>>下，求三元函数
222
(,,)4
S x
y z x y z π
=++
的最小值〞。

令
222
(2432)4
L x y z x y z πλπ=++
+++- 解方程组220240
30224320
x y z L x L y L z L x y z λ
ππλλλπ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪
⎨
'=+=⎪⎪'=++-=⎪⎩，得到唯一驻点x y z ⎧=⎪
⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。

最小面积和 为
min S =
.
17. 〔此题总分值10分〕设
∑
是曲面x
= ，计算曲面积分
33(2)I xdydz y dzdx z dxdy =
+++∑
⎰⎰
.
【解析】将空间曲面化成标准形以便确定积分曲面的形状。

222331(0)x y z x ++=>
曲面前侧是一个半椭球面，补平面2211
:0,3
x y z =+≤
∑，取后侧，那么 1
1
3333(2)(2)I xdydz y dzdx z dxd xdydz y dzdx z dxdy +=
+++-
+++∑∑∑⎰⎰
⎰⎰
由高
斯公式可得
1
3322(2)(133)xdydz y dzdx z dxd y z dxdydz Ω
++++=++∑∑⎰⎰⎰⎰⎰
其中{(,,)0x y z x Ω
=≤≤，由“先二后一〞 法可得
2
2
2
1
2
2
220
13
121
2
42
00
0241
0(133)(133)313)2(42341421245
x y z y z dxdydz dx
y z dydz
dx d r rdr r r dx
x x dx π
θππ
πΩ
-+≤
++=++=+=+-+==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
而
1
3
3
(2)0xdydz y dzdx z dxdy +++=∑⎰⎰。

故1445I π=. 18. 〔此题总分值10分〕微分方程 ()y y f x '+=，其中()f x 是R 上的连续函数。

〔I 〕假设
()f x x =，求方程的通解；〔II 〕假设()f x 是周期为T 的函数，证明：方程存在唯
一的以T 为周期的解。

【解析】〔I 〕假设
()f x x =，那么y y x '+=，由一阶线性微分方程通解公式
()()(())p x dx
p x dx y e q x e dx C -⎰
⎰=+⎰
得
()1dx dx
x y e xe dx C Ce x --⎰⎰=+=+-⎰。

〔II 〕由一阶线性微分方程通解公式可得 (())x x y e f x e dx C -=+⎰，
由于()y x T +在()x
f x e dx ⎰中无法表达出来，取0
()(())x x
t y x e f t e dt C -=+⎰，
于是
()
()(())x T
x T t y x T e
f t e dt C +-++=+⎰
()
()
[()()]
[()()][()()]
T
x T x T t
t T
u t T
T
x
x T t u T T
x
x
T
t
u T e
e f t dt e f t dt C e
e f t dt e f u T du C e e
e f t dt e f u du Ce +-+=--++---=++===+++=++⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰
假设方程存在唯一的以T 为周期的解，那么 必有 ()()y x T y x +=，即
00
[()()](())T
x
x x T
t
u T
x
t e e
e f t dt e f u du Ce e f t e dt C ----++=+⎰
⎰⎰
()T
T
t T
e e
f t dt Ce
C --⇒+=⎰
()1
T t T
e f t dt C e ⇒=
-⎰.
由于
()1
T
t
T
e f t dt e -⎰
为一常数，可知 当且仅当
()1
T
t T
e f t dt C e =
-⎰
时，()y x 以T 为周期，故
微分方程存在唯一的以T 为周期的解。

19. 〔此题总分值10分〕设数列{}n x 满足 1
10,1(1,2,3,)n n x
x n x x e e n +>=-=　。

证明
{}n x 收敛，并求lim n n x →∞。

【证明一】因为
10x >，所以 12
1
1
x x e e x -=　。

根据拉格朗日中值定理，存在1(0,)x ξ∈，使得
11
1x e e x ξ-=，即2x e e ξ
=，因此 210x x <<。

完全类似，假设 10n n x x +<<，那么
12
11
1(0)n n x x n n e e e x x ηη++++-==<<，即 210n n x x ++<<，
故数列{}n x 单调减少且有下界，从而数列{}n x 收敛。

设 lim n n x A →∞
=，在等式 11n n x x n x e e +=- 两边取极限，得 1A A
Ae e =-　，解方程得 唯一
解
0A =，故 lim 0n n x →∞
=。

【证明二】首先证明数列{}n x 有下界，即证明0n x >：
当1n
=时， 10x >。

根据题设
121
1ln x e x x -=　，由 1
11x e x -> 可知 2ln10x >=　； 假设当n k =时， 0k x >；
那么当1n
k =+时，
11ln k x k k
e x x +-=　，其中1k
x k e x ->，可知 1ln10k x +>=。

根据数学归纳法，对任意的n N +
∈， 0n x >。

再证明数列
{}n x 的单调性：
1111ln ln ln ln n n n n
n
x x x x n n n x n n n e e e x x x e x x x e
+----=-=-=， (离散函数连续化)设
()1(0)x x f x e xe x =-->，那么当0x >时，()0x f x xe '=-<，
()f x 单调递减，()(0)0f x f <=，即 1x x e xe -<。

从而
11
ln ln10n n
x n n x n e x x x e
+--=<=，故1n n x x +<，即数列{}n x 的单调递减。

综上，数列
{}n x 的单调递减且有下界。

由单调有界收敛原理可知{}n x 收敛。

设
lim n n x a →∞
=，在等式 11n n x x n x e e +=-　
两边同时令n →∞，得 1a a
ae e =-　，解方程得 唯一解
0a =，故 lim 0n n x →∞
=。

20. 〔此题总分值11分〕设二次型
2221231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++，其中a 是参数。

〔I 〕求
123(,,)0f x x x = 的解；〔II 〕求 123(,,)f x x x 的标准型。

【解析】〔I 〕由
123(,,)0f x x x = 可得
123231
30
x x x x x x ax -+=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩ 对上述齐次线性方程组的系数矩阵作 初等行变换得
11111111
101101101110011002A a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
当2a ≠时，
123(,,)0f x x x = 只有零解：(0,0,0)T x =。

当2a =时，102011000A ⎛⎫ ⎪
→ ⎪ ⎪⎝⎭
，
123(,,)0f x x x = 有非零解：(2,1,1)T x k =--， k 为任意常数。

〔II 〕当2a ≠时，假设123,,x x x 不全为0，那么二次型
123(,,)f x x x 恒大于 0，即二次型
123(,,)f x x x 为正定二次型，其标准型为222
12312
3(,,)f y y y y y y =++。

当
2a =时，
222
12312323132
221
2
3
1213
(,,)()()()22626f x x x x x x x x x ax x x x x x x x =-+++++=++-+
二次型对应的实对称矩阵
213120306B -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，其特征方程为
22
13120(1018)0306
E B λλλλλλλ---=
-=-+=-- 解得特征值
123550λλλ=+=-=，可知二次型的标准型为
22
12312
(,,)f z z z z z =+。

21.〔此题总分值11分〕设a 是常数，且矩阵1213027a A a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
可经过初等列变换化为矩阵 12011111a B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭。

(I)求a ；〔II 〕求满足AP B =的可逆矩阵P ？
【解析】〔I 〕由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，故 ()()r A r B =。

对矩阵,A B 作初等行变换，得
121212130010127033000a a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
121212011011011111013002a a a B a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
显然()
2r A =，要使()2r B =，必有 202a a -=⇒=。

〔II 〕将矩阵B 按 列 分块：123(,,)B βββ=，求解矩阵方程AP B =可化为解三个同系数的非齐次线性方程组：,1,2,3j Ax
j β==。

对以下矩阵施以初等行变换得
122122106344(,)130011012111272111000000A B ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=→----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
，
易知，齐次线性方程组0Ax =的根底解系为 ：0(6,2,1)T η=-,三个非齐次线性方程组的
特解分别为：1
(3,1,0),T η=-2(4,1,0),T η=-3(4,1,0)T η=-。

因此，三个非齐次线性方程组的通解为
11632110k ξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22642110k ξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33642110k ξ-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
从而可得可逆矩阵
1113666121212k k k P k k k k k k ---⎡⎤
⎢⎥=-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
２３２３２３４４　，其中23k k ≠。

〔22〕〔此题总分值11分〕设随机变量,X Y 相互独立，X 的概率分布为
{}{}1
112
P X P X ===-=
， Y 服从参数为λ的泊松分布。

令Z XY =，〔I 〕求(,)Cov X Z ；〔II 〕求Z 的概率分布。

【解析】〔I 〕由,X Y 相互独立，可得()()()E XY E X E Y =.。

由协方差计算公式可知
22
2
(,)()()()()()()
()()()()
Cov X Z E XZ E X E Z E X Y E X E XY E X E Y E X E Y =-=-=-,
其中
2()0,()1,()E X E X E Y λ===，代入上式可得 (,)Cov X Z λ=。

〔II 〕由于,X Y 是离散型随机变量，因此Z XY =也是离散型随机变量。

X 的可能取值为1，-1，
Y 的概率分布为 {},0,1,2,
!
k e P Y k k k λ
λ-==
=，故Z 的可能取值为0,1,2,3,
±±
±于是，Z 的概率分布为
{}{}{}{}{}11
01,01,00022
P Z P X Y P X Y P Y P Y e λ-====+=-===+==，
{}{}{}111,,1,2,3,
22!
k e P Z k P X Y k P Y k k k λ
λ-=======
=
{}{}{}111,,1,2,3,
22!
k e P Z k P X Y k P Y k k k λ
λ-=-==-=====。

23. 〔此题总分值11分〕设总体X 的概率密度为1(;),2x
f x e x σ
σσ
-=-∞<<+∞，
其中(0,)σ
∈+∞为未知参数，12,,
,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记σ的最大似
然估计量为 σ∧。

〔I 〕求σ∧
；〔II 〕求()E σ∧
和()D σ∧。

【解析】〔I 〕似然函数为
11
1211
(,,,;)(;),2n
i i x n
n i i n n i L x x x f x e x σ
σσσ
=-=∑=∏=-∞<<+∞
取对数得
1
1
ln ln 2ln n
i i L n n x σσ
==---
∑，
令
2
1
ln 1
0n
i
i d L n x
d σσσ
==-+=∑，
解得σ的最大似然估计量为 1
1n
i i X n σ∧
==∑。

〔II 〕11
11()()n n
i i i i i E E X E X E X E X
n n σ∧
======∑∑
00112x
x x
x e dx x e dx xde σσ
σσσ
---+∞
+∞+∞-∞
===-⎰
⎰⎰
x x
xe
e
dx σ
σ
σ+∞
--
+∞
=-+=⎰。

2
11
11
11
()()n n
i i i i i D D X D X D X D X n n
n n
σ∧
=====
=∑∑,
而
22220()22x
x x x E X e dx e dx σ
σσσσ
--+∞
+∞-∞
===⎰
⎰，
22222()()2D X E X E X σσσ=-=-=,
故 2
1()D D X n n
σσ∧
==。