【导与练】2010-2012年高考数学 试题汇编 第一节 导数与积分 理(含解析)

第一节导数与积分导数的几何意义
考向聚焦导数的几何意义属于高考对导数考查的重点内容,主要考查(1)求已知曲线在某一点处的切线方程,(2)求参数的值以及参数的取值X围,通常以选择题、填空题或解答题的第
(1)问出现,难度不大,所占分值5分左右,但持续的重点考查
备考指津该考点是高考的热点内容,应强化训练.一是加强斜率、倾斜角、直线方程之间关系的训练,注意解析几何知识的应用;二是训练等价与转化思想,把切线问题转化为导数问
题解决
1.(2010年新课标全国卷,理3)曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为( )
(A)y=2x+1 (B)y=2x-1
(C)y=-2x-3 (D)y=-2x-2
解析:∵y'===,
∴k=y'|x=-1==2.
根据点斜式可得y+1=2(x+1),
整理得y=2x+1,
故选A.
答案:A.
2.(2010年某某卷,理10)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值X围是( )
(A)[0,) (B)[,)
(C)(,] (D)[,π)
解析:法一:∵y'=()'==,
∴-1≤y'<0,
即0>tan α≥-1,
由正切函数图象得α∈[,π),选D.
法二:由于y'=()'=<0,倾斜角必为钝角,排除选项A和B,又因为
y'|x=1==->-1,因此倾斜角必然大于π,由此排除选项C,故选D.
答案:D.
3.(2012年某某卷,理12,5分)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为.
解析:y'=3x2-1,y'|x=1=3×12-1=2,
切线方程:y-3=2(x-1).
答案:2x-y+1=0
4.(2012年某某卷,理19,13分)设函数f(x)=ae x++b(a>0).
(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;
(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.
解:本题考查导数在函数单调性和求最值中的应用,考查分析求解能力,推理运算能力以及化归与转化的思想.
(1)设t=e x(t≥1),则y=at++b⇒y'=a-=,
①当a≥1时,y'≥0⇒y=at++b在t≥1上是增函数,
得:当t=1(x=0)时,f(x)的最小值为a++b.
②当0<a<1时,y=at++b≥2+b,
当且仅当at=1(t=e x=,x=-ln a)时,f(x)的最小值为b+2.
(2)f(x)=ae x++b⇒f'(x)=ae x-,
由题意得:⇔⇔.
解决本题的关键是利用导数,先利用换元法把函数进行变形,然后求导函数,利用导
函数大于零得函数为增函数,导数小于零为减函数,得f(x)的最值,第(2)问根据导数的几何意义列方程组求解.
导数的运算
考向聚焦导数的运算属于高考一般考查的内容,常见考查方式有两种:(1)单独考查,以常见函数求导为载体,考查导数四则运算法则及导数公式;(2)与导数的应用融合在一起考查,若单独考查,一般以选择题或填空题形式出现,更多地是与导数的应用融合在一起考查.
在解答题中出现,难度不大,所占分值4分左右
5.(2010年某某卷,理5)等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)等于( )
(A)26(B)29
(C)212(D)215
解析:函数f(x)的解析式中含x项的系数为
a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212,f'(0)=a1·a2·…·a8=212,故选C.
答案:C.
本题将导数运算与等比数列结合起来进行考查,体现了高考在知识交汇点处命题的立意.
定积分的计算与应用
考向聚焦定积分的计算与应用不是高考重点考查的内容,考查频率相对较低,主要以微积分基本定理的应用为主,考查简单定积分的计算、考查平面图形面积的计算等,有时会与几何概型的求解联系起来考查.通常出现在选择题或填空题中比较靠前的位置,难度较小,
所占分值4分左右,虽偶有考查,但常考常新
备
考指津重点进行两种题型的训练,一是求定积分的值,二是求平面图形的面积.训练中不宜盲
目加大难度,应以基础为主
6.
(2012年某某卷,理3,5分)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为( )
(A)(B)
(C)(D)
解析:容易求得二次函数为f(x)=1-x2,所以S=(1-x2)dx=(x-)=.
答案:B.
7.
(2012年某某卷,理6,5分)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
(A)(B)(C)(D)
解析:本小题主要考查定积分求曲边图形的面积与几何概型,曲线y=与直线x=1及x轴所围成的曲边图形的面积S=dx==,
又∵S△AOB=,∴阴影部分的面积为S'=-=,由几何概型可知,点P取自阴影部分的概率为
P=.故选C.
答案:C.
8.(2011年某某卷,理5)(e x+2x)dx等于( )
(A)1 (B)e-1 (C)e (D)e+1
解析:(e x+2x)dx=(e x+x2)=e+1-(1+0)=e,选C.
答案:C.
9.(2011年某某卷,理6)由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为( )
(A)(B)1 (C)(D)
解析:封闭图形的面积S=dx=2dx
=2sin x=2(sin -sin 0)=,故选D.
答案:D.
10.(2011年新课标全国卷,理9)由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( )
(A)(B)4
(C)(D)6
解析:
画简图如图,
解得,
∴A(4,2).
如图阴影面积
S=
=(-x2+2x)
=.
故选C.
答案:C.
11.(2012年某某卷,理11,5分)计算定积分(x2+sin x)dx=.
解析:本题考查定积分的计算及运算求解能力,属容易题.
(x2+sin x)dx=(-cos x)=.
答案:
12.(2012年某某卷,理15,4分)设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.
解析:本小题主要考查定积分求曲边梯形的面积.由题意可知,S=dx===a2,∴
=,
∴a=.
答案:
13.(2012年某某数学,理13,4分)已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC,其中A(0,0)、
B(,5)、C(1,0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为.
解析:由已知f(x)=,
所以y=xf(x)=
所以S=10x2dx+(-10x2+10x)dx
=x3+(-x3+x2)
=--+5=.
答案:
14.(2011年某某卷,理11)设f(x)=
若f(f(1))=1,则a=.
解析:当x=1时,f(1)=lg 1=0,
当x=0时,f(0)=0+t3=a3,
若f(f(1))=1,即a3=1,∴a=1. 答案:1。