高中函数图像大全汇总

指数函数
概念：一般地，函数y=a^x（ a＞ 0，且a≠ 1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R。

1，否则不能为指数函数。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为
⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：
a 互为倒数时，两个函数关于y 轴对称，但这规律： 1. 当两个指数函数中的
两个函数都不具有奇偶性。

2.当 a＞ 1 时，底数越大，图像上升的越快，在y 轴的右侧，图像越靠近y 轴；
当 0＜ a＜ 1 时，底数越小，图像下降的越快，在y 轴的左侧，图像越靠近y 轴。

在 y 轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。

即：当a＞ 1 时，图像在 R 上是增函数；当 0＜ a＜1 时，图
像在 R 上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：
1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；
3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；
4.对多个数进行比较，可用0 或 1 作为中间量进行比较
底数的平移：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在 f(X) 后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数 y=a x在定义域 (-∞， +∞ )上是单调函数，所以它存在反函数，
我们把指数函数 y=a x(a＞ 0， a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0， a≠ 1).
因为指数函数 y=a x的定义域为 (-∞， +∞ )，值域为 (0， +∞ )，所以对数函数y=log a x 的定义域为 (0， +∞ )，值域为 (- ∞， +∞ ).
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.
为了研究对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log 2x，y=log 10x， y=log 10x,y=log 1x,y=log1x 的草图
210
由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞ 0，a ≠1) 的图像的特征和性质 .见下表 .
a＞ 1a＜ 1
图
象
(1)x ＞0
性
(2) 当 x=1 时， y=0
质(3) 当 x＞ 1 时， y＞ 0(3) 当 x＞ 1 时， y＜ 0
0＜ x＜ 1 时， y＜ 00＜ x＜1 时， y＞ 0
(4)在 (0，+∞ )上是增函数(4) 在 (0，+∞ )上是减函数
补设 y1=log a x y2=log b x 其中 a＞ 1， b＞ 1(或 0＜ a＜1 0＜ b＜1)
充当 x＞ 1 时“底大图低”即若 a＞ b 则 y1＞ y2
性当 0＜ x＜ 1 时“底大图高”即若 a＞ b，则 y1＞ y2
质
比较对数大小的常用方法有：
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断 .
(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论 .
(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较 .
(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、 -1 等中间量进行比较 .
3.指数函数与对数函数对比
名称
一般形式
定义域 值域 函 数 值 变 化 情 况
单调性
图像
指数函数 对数函数
y=a x (a ＞ 0， a ≠ 1)
y=log a x(a ＞ 0， a ≠ 1)
(-∞， +∞ ) (0， +∞ ) (0， +∞ ) (-∞， +∞ )
当 a ＞1 时，
当 a ＞ 1 时
1( x
0)
0( x 1) a x
1( x 0) log a x
0( x 1)
1( x
0)
0( x
1)
当 0＜a ＜ 1 时， 当 0＜ a ＜ 1 时，
1( x
0)
0( x 1)
a x
1( x 0) log a x
0(x 1) 1( x
0)
0(x
1)
当 a ＞ 1 时， a x 是增函数； 当 a ＞1 时， log a x 是增函数； 当 0＜a ＜ 1 时， a x 是减函数 .
当 0＜a ＜ 1 时， log a x 是减函数 .
y=a x 的图像与 y=log a x 的图像 关于直线 y=x 对称 .
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数 y x n 随着 n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分
类记忆的方法．熟练掌握
y x n
，当 n 2 , 1,
1 , 1
, 3 的图像和性质，列表如下．
2 3
从中可以归纳出以下结论：
① 它们都过点 1,1 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函
数图像都不过第四象限．
② a
1 , 1 ,1,
2 ,
3 时，幂函数图像过原点且在 0 ,
3 2
③ a
1 , 1,
2 时，幂函数图像不过原点且在 0 ,
2
④
任何两个幂函数最多有三个公共点 ．
上是增函数．
上是减函数．
y x n
奇函数 偶函数 非奇非偶函数
y y y n1
x x x O O O
y y y
0n 1
O x O x O x
y y y
n0
x x O O x O
定义域R R R
奇偶性奇奇奇非奇非偶奇
在第Ⅰ象限的增减在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限性单调递增单调递增单调递增单调递增单调递减
幂函数y x
（
x
R，是常数）的图像在第
一象限的分布规律是：
①所有幂函数y x
（x R，是常数）的图
像都过点(1,1)
；
1,2,3,
1
时函数y x
的图像都过原点(0,0) ；
②当2
③当1
时，
y x
的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如
c
2）；
④当2,3 时，y x的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c 1 ）
1
凸型”曲线（如c
3）
⑤当 2 时，y
x的的图像在第一象限是“
⑥当1
时，
y x
的的图像不过原点
(0,0)
，且在第一象限是“下滑”曲线（如
c
4）
当0
时，幂函数
y x
有下列性质：
（1）图象都通过点(0,0), (1,1) ；（2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，1
时，图象是向下凸的；
0 1
时，图象是向上凸的；
（4）在第一象限内，过点(1,1)
后，图象向右上方无限伸展。

当0
时，幂函数
y x
有下列性质：
（1）图象都通过点(1,1)
；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向上与
y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近；
4
(1,1) 后，
无论取任何实数，幂函数y x
的图象必然经过第一象限，并且一定不经过
第四象限。

对号函数
函数 y ax b
x（ a>0,b>0 ）叫做对号函数，因其在（0， +∞）的图象似符号“√”
而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当 x>0 时，ax b b b x
2 （当且仅当ax
a x
即 x
b
时取等号），由此可得函数 y ax
b
（ a>0,b>0,x ∈R+）的性质 :
a x
当 x
b
时，函数 y ax
b
（ a>0,b>0,x ∈ R+）有最小值2b
a x a
，特别地，当 a=b=1
时函数有最小值 2。

函数y ax b
（a>0,b>0 ）在区间（ 0，
b
）上是减函数，在区间（ b ，x a a
+∞）上是增函数。

因为函数y ax b
（ a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数y ax
b
（ a>0,b>0,x ∈ R-）x x
的性质：
当 x b
时，函数y ax
b
（ a>0,b>0,x ∈ R-）有最大值- 2
b
，特别地，当a=b=1 a x a
时函数有最大值-2。

函数y ax b
（ a>0,b>0）在区间（-∞，-
b
）上是增函数，在区x a
间（ -b
，0）上是减函
a
奇函数和偶函数
（ 1）如果对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x 值，都有 f( － x)= － (x) ．那么就称f(x) 为奇函数．
如果对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x 值，都有 f( － x)=f(x) ，那么就称 f(x) 为偶函数．说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当 f(x) 的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可
能是奇
(2) 判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x) 是不易的．为了便于判断
有时可采取如下办法：计算f(x)+f( － x)，视其结果而说明是否是奇函数．用这个方法判断此
函数较为方便：f(x)
(3) 判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x 值，
当x≠ 0 时，显然有 f( － x)= － f(x) ，但当 x=0 时， f( －x)=f(x)=1 ，∴ f(x) 为非奇非偶函数．(4) 奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y 轴为对称轴的对称图形．
(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证．
例如果函数f(x) 是奇函数，并且在(0， +∞)上是增函数，试判断在(－∞， 0)上的增减性．解设 x1， x2∈ (－∞， 0)，且 x1＜x2＜ 0
则有－ x1＞－ x2＞ 0，
∵f(x) 在(0，+∞)上是增函数，
∴ f(－ x1)＞ f( － x2)
又∵ f(x) 是奇函数，∴f(x)= － f(x) 对任意 x 成立，
∴=－ f(x1) ＞－ f(x2)
∴f(x1) ＜ f(x2) ．
∴f(x) 在 (－∞， 0)上也为增函数．
由此可得出结论：一个奇函数若在 (0，+∞)上是增函数，则在 (－∞， 0)上也必是增函数，即奇函数在 (0，+∞ )上与 (－∞， 0)上的奇偶性相同．
类似地可以证明，偶函数在(0， +∞ )和 (－∞， 0)上的奇偶性恰好相反．
时， f(x) 的解析式
解∵ x＜ 0，∴－ x＞ 0．
又∵ f(x) 是奇函数，∴f(－ x)= － f(x) ．
偶函数图象对称性的拓广与应用
我们知道，如果对于函数 y＝f(x) 定义域内任意一个 x，都有f( －x) ＝ f(x) ，那么函数 y＝f(x) 就叫做偶函数．偶函数的图象关于 y 轴对称，反之亦真．由此可拓广如下：
如果存在常数 a，b，对于函数 y＝f(x) 定义域内任意一个 x，a+x，b-x 仍在
(a+b-x ，f(x)) ，而 f(a ＋b－x) ＝ f[a ＋(b － x)] ＝f[b －(b － x)] ＝ f(x) ，对称点 P'(a+b-x ，
称；。