最新整理福建省2021届中考数学试卷 含解析和答案解析详解完整版
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A. B. C. D.
8.如图，一次函数 的图象过点 ，则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
9.如图，AB为 的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与 相切，切点分别为C，D.若 ， ，则 等于( )
A. B. C. D.
10.二次函数 的图象过 ， ， ， 四个点，下列说法一定正确的是( )
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 .
综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ， ， ， ， ， .
21.如图，在 中， .线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上， 是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上.
（1）求证： ；
（2）求证： .
22.如图，已知线段 ， ，垂足为A.
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且 ， ， ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
所以方程 有两个相等的实数根，
所以 ，即 .
因为抛物线过点 ，所以 ，
所以 ，即 .
所以 ，
当 时， 取到最小值-1.
（2）①因为抛物线 与x轴只有一个公共点，
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧.
又点 ， ， 中恰有两点在抛物线上，
所以只能是 ， 在抛物线上，
由对称性可得抛物线的对称轴为 ，所以 ，
解析：由 得 ，则 ，故 .
16.答案：①②④
解析：在四边形BEGF中， ， ，故结论①正确.如图，过点G作 于点M， 于点N，易知 . ， .又 ， ， ， ，故结论②正确. 点G到AB和BC的距离相等， ， 点G到AD和CD的距离不相等，故结论③错误； 是等腰直角三角形， ， .分析可知当 时，点G到AB的距离最大，最大值为 ，故结论④正确.综上所述，结论①②④正确.
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
二、填空题
11.若反比例函数 的图象过点 ，则k的值等于_________.
12.写出一个无理数x，使得 ，则x可以是_________.（只要写出一个满足条件的x即可）
13.某校共有1000名学生.为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是_________.
福建省2021届中考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1.在实数 ， ，0，-1中，最小的数是( )
A.-1B.0C. D.
2.如图所示图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 ， ， .据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
20.某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元.
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
在 和 中，
， ，
，
点A'，F，B，G都在以FG为直径的 上，
.
（3）证明：设 ，则 ， ， .
由（2）得 .
在 ， ，即 ，
.
设 ，则 ，在 中，由勾股定理，得 ，
， ， ， .
在 中，由勾股定理，得 ，
，
.
， ， .
由（2）知， .
，
，
，
，
.
解析：
25.答案：（1）因为抛物线 与x轴只有一个公共点，
14.如图，AD是 的角平分线.若 ， ，则点D到AC的距离是_________.
15.已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于_________.
16.如图，在矩形ABCD中， ， ，点E，F分别是边AB,BC上的动点，点E不与A，B重合，且 ，G是五边形AEFCD内满足 且 的点.现给出以下结论：
是等腰直角三角形，
.
由（1）得 ，
易证得 ，
，
.
解析：
22.答案：（1）如图（1），四边形ABCD即为所作.
（2）证明：如图（2），延长BC，交AD的延长线于点S，
， 易证得 ，
.
连接PQ并延长，交AD的延长线于点 ，
同理可得 .
，Q分别为AB，CD的中点，
， ，
， ，
即 ，
，
，故点S与 重合，即三条直线AD，BC，PQ相交于同一点.
即 ，因为 ，所以 .
又点 在抛物线上，所以 ， ，
故抛物线的解析式为 .
②如图，由题意设 ， ， ，则 ， .
记直线 为m，分别过M，N作 ， ，垂足分别为E，F，
即 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 .
所以 ，所以 ，即 .
所以 ，
即 .①
令 ，得 ，
由根与系数的关系得 ，② .③
将②③代入①，得 ，
24.如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为 ， 的延长线交BC于点G.
（1）求证： ；
（2）求 的大小；
（3）求证： .
25.已知抛物线 与x轴只有一个公共点.
（1）若抛物线过点 ，求 最小值；
（2）已知点 ， ， 中恰有两点在抛物线上.
①求抛物线的解析式；
选项
逐项分析
正误
A
×
B
×
C
×
D
√
5.答案：B
解析：甲的最终成绩为 （分）；乙的最终成绩为 （分）；丙的最终成绩为 （分）；丁的最终成绩为 （分）.故应推荐的作品是乙.
6.答案：B
解析：由题意得，2019年底森林覆盖率为 ，2020年底森林覆盖率为 ，由此可列方程为 .
7.答案：C
解析： 五边形ABCDE是正五边形， 是等边三角形， ， ， ， ， ， .
11.答案：1
解析：把点 代入反比例函数 中，得 .
12.答案：π（答案不唯一）
解析：本题答案不唯一，如 ， ， ，2.020 020 002……（相邻两个2之间0的个数逐次加1）等.
13.答案：270
解析： .
14.答案：
解析：如图，过点D作 于点E. 平分 ， ， ，即点D到AC的距离是 .
15.答案：4
根据题意，得 .
， 随着m的增大而增大，
当 时，w取得最大值，最大值为49000，
此时 .
答：该公司应零售这种农产品300箱，批发这种农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元.
解析：
21.答案：（1）在等腰直角三角形EDF中， ，
.
，
，
.
（2）如图，连接AE.
由平移可知， ， .
，
.
17.答案：原式
.
解析：
18.答案：证明： ， ，
.
在 和 中，
，
.
解析：
19.答案：解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
所以原不等式组的解集是 .
解析：
20.答案：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，批发这种农产品y箱.
根据题意，得
解得
答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱.
（2）设该公司零售这种农产品m箱，获得总利润w元，则批发这种农产品的数量为 箱.
②设直线 与抛物线交于M，N两点，点A在直线 上，且 ，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C.
求证： 与 的面积相等.
参考答案
1.答案：A
解析：负数小于0和一切正数，故该四个数中，最小的数是-1.
2.答案：A
解析：
3.答案：D
解析：在 中，由余弦的定义，得 .
4.答案：D
解析：逐项分析如下.
A.甲B.乙C.丙D.丁
6.某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是( )
A. B. C. D.
7.如图，点F在正五边形ABCDE的内部， 为等边三角形，则 等于( )
田忌获胜的概率 .
解析：
24.答案：（1）证明：如图，设DE与 相交于点T.
点A与点A'关于DE对称，
垂直平分 ，即 ， .
，F为边AB上的两个三等分点，
，
是 的中位线，
，即 .
（2）如图，连接FG， 四边形ABCD是正方形，
， ， .
， ，
， ，
，
.
又 ，
，
是等腰直角三角形，
.
， ，
.
取FG的中点O，连接 ，OB，
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点.
23.“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马 ， ， ，田忌也有上、中、下三匹马 ， ， ，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下： （注： 表示A马与B马比赛，A马获胜）.一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（ ， ， ）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.
解析：
23.答案：（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜.
此时，比赛的所有可能对阵为： ， ， ， ，共四种.
其中田忌获胜的对阵有 ， ，共两种，故此时田忌获胜的概率为 .
（2）不是.
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 ；
即 ，解得 ，即 .
所以过点A且与x轴垂直的直线为 .
将 代入 ，得 ，即 .
将 代入 ，得 ，
即 ，
所以 ， ，因此 ，
所以 与 的面积相等.
解析：
① 与 一定互补；
②点G到边AB，BC的距离一定相等；
③点G到边AD，DC的距离可能相等；
④点G到边AB的距离的最大值为 .
其中正确的是_________.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
17.计算： .
18.如图，在 中，D是边BC上的点， ， ，垂足分别为E，F，且 ， .求证： .
19.解不等式组：
8.答案：C
解析：将直线 向右平移一个单位长度，即可得到直线 ，该直线经过原点，故当 时， .
9.答案：D
解析：如图，连接OC，OD，则 . ，PD都是 的切线， .又 ， ， ， ， .在 中， ， ，则 ， .
10.答案：C
解析：由题意可知该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，故该二次函数图象上离对称轴越近的点，其纵坐标越小. ， ， ， ， .若 ，则 或 .当 时， ，故选项A不符合题意.若 ，则 或 .当 或 时， ，故选项B不符合题意.若 ，则 ， ，故选项C符合题意.若 ，则 或 .当 时， ，故选项D不符合题意.故选C.
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表：
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实用性
90
90
95
85
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是( )
8.如图，一次函数 的图象过点 ，则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
9.如图，AB为 的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与 相切，切点分别为C，D.若 ， ，则 等于( )
A. B. C. D.
10.二次函数 的图象过 ， ， ， 四个点，下列说法一定正确的是( )
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 .
综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ， ， ， ， ， .
21.如图，在 中， .线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上， 是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上.
（1）求证： ；
（2）求证： .
22.如图，已知线段 ， ，垂足为A.
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且 ， ， ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
所以方程 有两个相等的实数根，
所以 ，即 .
因为抛物线过点 ，所以 ，
所以 ，即 .
所以 ，
当 时， 取到最小值-1.
（2）①因为抛物线 与x轴只有一个公共点，
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧.
又点 ， ， 中恰有两点在抛物线上，
所以只能是 ， 在抛物线上，
由对称性可得抛物线的对称轴为 ，所以 ，
解析：由 得 ，则 ，故 .
16.答案：①②④
解析：在四边形BEGF中， ， ，故结论①正确.如图，过点G作 于点M， 于点N，易知 . ， .又 ， ， ， ，故结论②正确. 点G到AB和BC的距离相等， ， 点G到AD和CD的距离不相等，故结论③错误； 是等腰直角三角形， ， .分析可知当 时，点G到AB的距离最大，最大值为 ，故结论④正确.综上所述，结论①②④正确.
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
二、填空题
11.若反比例函数 的图象过点 ，则k的值等于_________.
12.写出一个无理数x，使得 ，则x可以是_________.（只要写出一个满足条件的x即可）
13.某校共有1000名学生.为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是_________.
福建省2021届中考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1.在实数 ， ，0，-1中，最小的数是( )
A.-1B.0C. D.
2.如图所示图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 ， ， .据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
20.某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元.
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
在 和 中，
， ，
，
点A'，F，B，G都在以FG为直径的 上，
.
（3）证明：设 ，则 ， ， .
由（2）得 .
在 ， ，即 ，
.
设 ，则 ，在 中，由勾股定理，得 ，
， ， ， .
在 中，由勾股定理，得 ，
，
.
， ， .
由（2）知， .
，
，
，
，
.
解析：
25.答案：（1）因为抛物线 与x轴只有一个公共点，
14.如图，AD是 的角平分线.若 ， ，则点D到AC的距离是_________.
15.已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于_________.
16.如图，在矩形ABCD中， ， ，点E，F分别是边AB,BC上的动点，点E不与A，B重合，且 ，G是五边形AEFCD内满足 且 的点.现给出以下结论：
是等腰直角三角形，
.
由（1）得 ，
易证得 ，
，
.
解析：
22.答案：（1）如图（1），四边形ABCD即为所作.
（2）证明：如图（2），延长BC，交AD的延长线于点S，
， 易证得 ，
.
连接PQ并延长，交AD的延长线于点 ，
同理可得 .
，Q分别为AB，CD的中点，
， ，
， ，
即 ，
，
，故点S与 重合，即三条直线AD，BC，PQ相交于同一点.
即 ，因为 ，所以 .
又点 在抛物线上，所以 ， ，
故抛物线的解析式为 .
②如图，由题意设 ， ， ，则 ， .
记直线 为m，分别过M，N作 ， ，垂足分别为E，F，
即 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 .
所以 ，所以 ，即 .
所以 ，
即 .①
令 ，得 ，
由根与系数的关系得 ，② .③
将②③代入①，得 ，
24.如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为 ， 的延长线交BC于点G.
（1）求证： ；
（2）求 的大小；
（3）求证： .
25.已知抛物线 与x轴只有一个公共点.
（1）若抛物线过点 ，求 最小值；
（2）已知点 ， ， 中恰有两点在抛物线上.
①求抛物线的解析式；
选项
逐项分析
正误
A
×
B
×
C
×
D
√
5.答案：B
解析：甲的最终成绩为 （分）；乙的最终成绩为 （分）；丙的最终成绩为 （分）；丁的最终成绩为 （分）.故应推荐的作品是乙.
6.答案：B
解析：由题意得，2019年底森林覆盖率为 ，2020年底森林覆盖率为 ，由此可列方程为 .
7.答案：C
解析： 五边形ABCDE是正五边形， 是等边三角形， ， ， ， ， ， .
11.答案：1
解析：把点 代入反比例函数 中，得 .
12.答案：π（答案不唯一）
解析：本题答案不唯一，如 ， ， ，2.020 020 002……（相邻两个2之间0的个数逐次加1）等.
13.答案：270
解析： .
14.答案：
解析：如图，过点D作 于点E. 平分 ， ， ，即点D到AC的距离是 .
15.答案：4
根据题意，得 .
， 随着m的增大而增大，
当 时，w取得最大值，最大值为49000，
此时 .
答：该公司应零售这种农产品300箱，批发这种农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元.
解析：
21.答案：（1）在等腰直角三角形EDF中， ，
.
，
，
.
（2）如图，连接AE.
由平移可知， ， .
，
.
17.答案：原式
.
解析：
18.答案：证明： ， ，
.
在 和 中，
，
.
解析：
19.答案：解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
所以原不等式组的解集是 .
解析：
20.答案：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，批发这种农产品y箱.
根据题意，得
解得
答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱.
（2）设该公司零售这种农产品m箱，获得总利润w元，则批发这种农产品的数量为 箱.
②设直线 与抛物线交于M，N两点，点A在直线 上，且 ，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C.
求证： 与 的面积相等.
参考答案
1.答案：A
解析：负数小于0和一切正数，故该四个数中，最小的数是-1.
2.答案：A
解析：
3.答案：D
解析：在 中，由余弦的定义，得 .
4.答案：D
解析：逐项分析如下.
A.甲B.乙C.丙D.丁
6.某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是( )
A. B. C. D.
7.如图，点F在正五边形ABCDE的内部， 为等边三角形，则 等于( )
田忌获胜的概率 .
解析：
24.答案：（1）证明：如图，设DE与 相交于点T.
点A与点A'关于DE对称，
垂直平分 ，即 ， .
，F为边AB上的两个三等分点，
，
是 的中位线，
，即 .
（2）如图，连接FG， 四边形ABCD是正方形，
， ， .
， ，
， ，
，
.
又 ，
，
是等腰直角三角形，
.
， ，
.
取FG的中点O，连接 ，OB，
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点.
23.“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马 ， ， ，田忌也有上、中、下三匹马 ， ， ，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下： （注： 表示A马与B马比赛，A马获胜）.一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（ ， ， ）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.
解析：
23.答案：（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜.
此时，比赛的所有可能对阵为： ， ， ， ，共四种.
其中田忌获胜的对阵有 ， ，共两种，故此时田忌获胜的概率为 .
（2）不是.
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是 ；
即 ，解得 ，即 .
所以过点A且与x轴垂直的直线为 .
将 代入 ，得 ，即 .
将 代入 ，得 ，
即 ，
所以 ， ，因此 ，
所以 与 的面积相等.
解析：
① 与 一定互补；
②点G到边AB，BC的距离一定相等；
③点G到边AD，DC的距离可能相等；
④点G到边AB的距离的最大值为 .
其中正确的是_________.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
17.计算： .
18.如图，在 中，D是边BC上的点， ， ，垂足分别为E，F，且 ， .求证： .
19.解不等式组：
8.答案：C
解析：将直线 向右平移一个单位长度，即可得到直线 ，该直线经过原点，故当 时， .
9.答案：D
解析：如图，连接OC，OD，则 . ，PD都是 的切线， .又 ， ， ， ， .在 中， ， ，则 ， .
10.答案：C
解析：由题意可知该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，故该二次函数图象上离对称轴越近的点，其纵坐标越小. ， ， ， ， .若 ，则 或 .当 时， ，故选项A不符合题意.若 ，则 或 .当 或 时， ，故选项B不符合题意.若 ，则 ， ，故选项C符合题意.若 ，则 或 .当 时， ，故选项D不符合题意.故选C.
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表：
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实用性
90
90
95
85
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是( )