第三章 杆件横截面上的应力

z
计算任一点的正应力时，可不考虑M、y的正负，一律以绝
y 对值代入。M为正，梁中性轴下边纤维受拉，中性轴以下部分
均为正的正应力，而中性轴以上部分纤维受压，均为负的正应 力；M为负时，应力正负号则相反。
M
max
M z y max Mz Iz Wz
Wz I z / ymax 抗弯截面模量。
目录
例题3-4 已知E轴所传递的功率P1＝14kW, H轴、 C轴所传递的功率 P2= P3=P1/2。n1=n2=120r/min，z1=36，z3=12；d1=70mm， d 2=50mm, d3=35mm。求:各轴横截面上的最大切应力。 解：1、计算各轴的功率与转速
3
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW z1 n3＝n1 ＝360r/min z3

本章重点
杆件基本变形时横截面上应力的计算
第一节 应力、应变极其相互关系
问题的提出
一、正应力、切应力
1. 应力 内力的集度（单位面积上的内力）
F
C
2.一点处的应力 平均应力 令
F4
A
F3
一点处应力
F pm A
F dF p lim A 0 A dA
p
τ
σ
p 垂直于截面的分量σ －－正应力
16 716.2 D2 3 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10


实心轴
d2＝0.5D2=23 mm M x 16M x max1 40MPa 3 WP1 πd1
2
d1=45 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1 d12 1 45 10 3 2 ＝ .28 1 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
dA M
A
x
d d 2 G dA G dx I P M x dx A
Mx Ip
d M x dx GI P
目录
Mx
Mx Ip
max
令
Mx Mx R Ip Ip R
抗扭截面系数
max
Mx Mx I p R Wp
平行于截面的分量τ－－切应力
+
_
3. 应力的单位

+


_

应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
目录
二、正应变、切应变

C C’ E E’ D
F
A
1.变形
线变形 角变形
C D CD
DCE DCE
2.线(正)应变 一点处沿某一方向微小 线段的相对变形。 平均线应变
极惯性矩Ip恒为正值，具有长度的四次方的量纲。
Ip

A
2 d A A x 2 y 2 )dA I y I x （
4.惯性积
I xy

A
xy d A
惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零 如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则图形对包含此对称轴的
任一对正交轴的惯性积必为零。
o1
m
o2
n
目录
中性轴
二、横截面上的正应力
F
F
1.几何方面
m n
y d d
d
2.物理方面
m
n
中性轴
M
M
3.静力等效
y E E

y
m
n o
dA
z
y
FN A dA
E

E
A
ydA 0 zydA 0 y 2 dA A
EI Z
y max

200 109
0.0005 Pa 100MPa 1
目录
三、截面的几何性质 1.静矩
S x ydA , S y xdA
A A
静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。 设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ，
xc
xdA S
A
y
A
A
,
yc
第三章 杆件横截面上的应力
第三章 杆件横截面上的应力
第一节 应力、应变极其相互关系 第二节 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上 的正应力 第三节 圆轴扭转时横截面上的切应力 第四节 矩形截面杆扭转时横截面上的切应力 第五节 梁纯弯曲时横截面上的正应力 第六节 梁横力弯曲时横截面上的应力 第七节 组合变形时横截面上的应力
( x) FN ( x) / A( x)
目录
二、圣维南原理
将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的 应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处（距离约等于截面
尺寸），该影响非常微小。
F
F
目录
目录
三、应力集中的概念 应力集中：几何形状不连续处应力局部增大的现象。
d/2
r
目录
三、胡克定律
1.单元体
边长为无穷小量的正六面体
y
σ
dy
y

σ
x
dy

dx dz
x
z
2. 胡克定律
dx
dz
z
单元体仅受正应力σ ，或切应力τ ，且材料处于线弹性范围，则
E ， =G
E：弹性模量，G：切变弹模。
目录
第二节 直杆轴向拉伸(压缩)时横截面上的正应力
一、横截面上的正应力 1.实验观察—平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为 平面且仍垂直于轴线。
A A
i：惯性半径
惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲。 组合图形对某轴的惯性矩
Ix
I
i 1
n
xi
, Iy
I
i 1
n
yi
2．计算惯性矩的平行移轴公式
I x I xC a 2 A 2 I y I yC b A
目录
3.极惯性矩
Ip

A
2 d A
P2
目录
第四节 矩形截面杆扭转时横截面上的切应力
纯扭转，截面上只有切应力
目录
第五节 梁纯弯曲时横截面上的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩，没有剪力。 a
=F _
F _ Fa 梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
F
=F +
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
一、实验现象和平面假设
10
目录
例题3-2 图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；
斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截
A面杆。 1
45°
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆， 水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象
Fy 0
B
FN 1 sin 45 F 0 FN 1 cos 45 FN 2 0
试求1-1、2-2、3-3截面上的应力。
A
1 B 1 F2
2 C 2 F3
25 kN
3D 3 F4
+
解（1）作出轴力图， F FN1=10kN， N2=-10kN， N3=25kN F （2）求应力
F1
10 kN
+ _
10 kN
FN 1 10 103 11 Pa=50MPa 6 A 200 10 3 FN 2 10 10 2 2 Pa=-50MPa 6 A 200 10 FN 3 25 103 3 3 Pa=125MPa 6 A 200 10
目录
例3-6 试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1 。
中性轴 中性轴
bh 2 Wz 6
Wz
d3
32
Wz
d3
32
(1 4 )
目录
例3-5 把直径为 d 1mm 的钢丝绕在直径为D=2m的卷筒上，试计算钢 丝中产生的最大应力。设
E 200 GPa 。
解 取钢丝作为研究对象，
d D
1.0005m 1m
max E

C
2
F
x
0
FN 1
y
F
FN 1 28.3kN
FN 2 20kN
FN 2 45° B
F
x
FN 1 28.3 103 1 90MPa A1 202 106 4
FN 2 20 103 2 2 89MPa 6 A2 15 10
目录
第三节 圆轴扭转时横截面上的切应力
目录
五、 切应力互等定理

y
根据力偶平衡理论
平衡吗？
( dydz )dx ( dxdz )dy



dy
x
dz
dx
在相互垂直的两个平 面上，切应力必成对 出现，两切应力的数 值相等，方向均垂直 于该平面的交线，且 同时指向或背离其交 线。
z
因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。 不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。 若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪切状态。 所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的。
F F
1、变形前互相平行的纵向直线、
变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
m n
m
n
2、变形前垂直于纵向线的横向线,
变形后仍为直线，且仍与弯曲了
的纵向线正交，但两条横向线间 相对转动了一个角度。
平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为平面。
中性层
m
中性轴：
n
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
演示
设想拉（压）杆由纵向纤维组成，根据平面假设，拉（压）杆所有
纵向纤维的伸长（缩短）是相同的。从而推得，拉（压）杆横截面上只
有正应力，且各点的正应力相等，即横截面上正应力均匀分布。 正应力σ 和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。
FN A
若杆截面沿轴线缓慢变化，横截面上的正应力为x的函数。
目录
例题3-3 已知离合器传递的功率P＝7.5kW, 转速n =100r/min,轴的最大
切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相 同。求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。 解：M
x
P M e 9550 716 .2N m n Mx 16M x 40MPa 空心轴 max2 3 4 WP 2 πD2 1

A
ydA A
Sx A
S x yC A , S y xC A
若xC = 0、yC= 0，则Sy = 0、Sx = 0。可见，若某轴
通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。
目录
二、惯性矩和惯性积 1.惯性矩
I x y 2dA ix 2 A , I y x 2dA i y 2 A
r
F
d/2
r
D
F
F
D
d
F
构件几何形状不连续 应力集中与杆件的尺寸和所用的材料无关，仅取决于截面突
变处几何参数的比值。
F
max nom
r d
max
F
nom
r d or d D
应力集中系数 α=
max 平均
目录
2 例题3-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN；A=200mm ；
一、实验现象和平面假设 平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为形状、大小、 互相之间的距离不变的平面。
由平面假设可推断，横截、横截面上的切应力 1.几何方面 取微段dx 2.物理方面
d dx
G
3.静力等效
d G dx
2、计算各轴的扭矩
M1=Mx1=1114 N· m
M2=Mx2=557 N· m
M3=Mx3=185.7 N· m
3、计算各轴的横截面上的最大切应力
M x1 16 1114 Emax Pa 16.54MPa 3 -9 WP1 π 70 10 M x3 M x2 Cmax 21.98MPa Hmax 22.69MPa WP3 W
目录
三、 Ip 与 Wp 的计算 实心轴
目录
空心轴
令
则
目录
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
目录
四、薄壁圆筒切应力的计算 当 d D 0.9时，空心圆轴可视为薄壁圆筒

A
R0dA R0 dA 2πR02 M x
A
Mx Mx 2 2π R0 2 A0
D’
A’
C D CD m CD
C D CD 一点处线应变 lim D C CD
3.角（切）应变 一点处微体直角的改变量
平均角应变 m DC E 2
lim DC E 一点处角应变 D C 2 E C
五

o
d
M y AzdA

A
m
dx
n
z
y

Mz
结论

A
ydA
E


1.中性轴过截面形心
2.
dx
y
MZ EI Z
1
3.
Mzy Iz
目录
M
M
中性轴
y
m
n
Mzy z Iz
o
MZ:横截面上的弯矩 y:点到中性轴的距离 IZ:截面对中性轴的惯性矩
o
dA

m
dx
n