陕西省黄陵中学2018-2019学年高二(普通班)上学期期末考试数学(文)试题

陕西省黄陵中学2018-2019学年高二上学期期末考试
数学试题（文科）
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为
A ∀n∈N, 2n>2n
B ∃n∈N, 2n≤2n
C ∀n∈N, 2n≤2n
D ∃n∈N, 2n=2n
2．已知向量a＝(－1,3)，b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k的值是()
A k＝3
B k＝－3
C k＝1
3 D k＝－
1
3
3. 设a, b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( ).
A 若a≠-b,则|a|≠|b|
B 若a=-b,则|a|≠|b|
C 若|a|≠|b|,则a≠-b
D 若|a|=|b|,则a=-b
4．命题“若a>0，则a2>0”的否定是()
A 若a>0，则a2≤0
B 若a2>0，则a>0
C 若a≤0，则a2>0
D 若a≤0，则a2≤0
5. “a＞0”是“a＞0”的
A 充分不必要条件B必要不充分条件
C 充要条件 D既不充分也不必要条件
6. 已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.则下面结论正
确的是( )
A 命题“p∧q”是真命题
B 命题“p∧⌝q”是假命题
C 命题“⌝p∨q”是真命题
D 命题“⌝p∧⌝q”是假命题7．若命题“p q
∧”为假，且“p
⌝”为假，则（）
A p或q为假
B q假
C q真 D不能判断q的真假8．若椭圆焦点在x轴上且经过点(－4，0)，c＝3，则该椭圆的标准方程为()
A x2
16＋
y2
8＝1 B
x2
16＋
y2
7＝1
C x2
9＋
y2
16＝1 D
x2
7＋
y2
16＝1
9．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()
A 2
B 2 2
C 4
D 4 2
10．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于1
2，则椭圆C
的方程是()
A x2
3＋
y2
4＝1 B
x2
4＋
y2
3
＝1
C x2
4＋
y2
2＝1 D
x2
4＋
y2
3＝1
11. 已知双曲线x2
n－
y2
12－n
＝1(0<n <12)的离心率为3，则n的值为( )
A 4
B 8
C 2
D 6
12．若点O和点F分别为椭圆x2
4＋
y2
3＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任
意一点，则OP →·FP →
的最大值为( )
A 2
B 3
C 6
D 8
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ________． 14.命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题是________________
15.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|＝2，则
|BF|＝________． 16. 给出下列结论：
(1)当p 是真命题时，“p 且q ”一定是真命题； (2)当p 是假命题时，“p 且q ”一定是假命题； (3)当“p 且q ”是假命题时，p 一定是假命题； (4)当“p 且q ”是真命题时，p 一定是真命题． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题(本大题共6小题，70分) 17．(本小题满分10分)
已知向量a ，b,|a |＝1，|b |＝2，(2a ＋3b )·(b －2a )＝12. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |. 18．(本小题满分12分)
若a ，b ，c ∈R ，写出命题“若ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 19．(本小题满分12分)
已知命题p ：函数y ＝x a 是增函数，命题q ：∀x ∈R ，ax 2 －ax ＋1＞0恒成立．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围． 20．(本小题满分12分)
已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝3
2.求椭圆E 的方程． 21．(本小题满分12分)
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点(3，－2)，离心率e＝
5 2；
(2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，
－10)．
22.(本小题满分12分)
已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程．
黄陵中学高二普通班数学（文）期末考试试卷答案
一、选择题（60分）
＝－4×1×2×cos θ－4×1＋3×4 ＝－8cos θ＋8＝12， ∴cos θ＝－1
2， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π
3.
(2)由(1)知a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3＝1×2×(－1
2)＝－1. ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－2＋4＝3， ∴|a ＋b |＝ 3.
解：逆命题：若方程ax ＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，则
ac <0，是假命题．
否命题：若ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有两个不相等
的实数根，是假命题．
逆否命题：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有两个不相等的实数根，
则ac ≥0，是真命题．
解：若命题p 真⇒a ＞1，若命题q 真，
则⎩⎨⎧a ＞0，a 2－4a ＜0或a ＝0⇒0≤a ＜4. 因为p ∧q 假，p ∧q 真， 所以 命题p 与q 一真一假．
当命题p 真q 假时，⎩⎨⎧a ＞1，
a ＜0或a ≥4⇒a ≥4.
当命题p 假q 真时，⎩⎨⎧a ≤1，
0≤a ＜4，⇒0≤a ≤1.
所以 所求a 的取值范围是[0，1]∪[4，＋∞)
解：因为椭圆焦点在
x 轴上，
所以设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1，半焦距为
c (a >0，b >0，c >0)．
由题意知F (0，1)为椭圆的短轴的上顶点， 所以b ＝1，
又由c
a ＝32，a 2＝
b 2＋
c 2，
得a ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆E 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为x2 a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)．
因为双曲线过点(3，－2)，则9
a2－2
b2＝1.①
又e＝c
a＝
a2＋b2
a2＝
5
2，故a
2＝4b2.②
由①②得a2＝1，b2＝1
4，故所求双曲线的标准方
程为x2－y2
1
4
＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为
y2
a2－
x2
b2
＝1(a＞0，b＞0)．
同理可得b2＝－17
2，不符合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－y2
1
4
＝1.
(2)由2a＝2b得a＝b，所以e＝1＋b2
a2＝2，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(4，－10)，
所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6.
所以双曲线的标准方程为x2 6－
y2
6＝1.
解：因为过焦点的弦长为36，
所以 弦所在的直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线的斜率为k ，
且与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点． 因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)． 所以 直线的方程为y ＝k (x －1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，
整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)． 所以 x 1＋x 2＝2k 2＋4
k 2
.
所以 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4
k 2＋2.
又|AB |＝36，所以 2k 2＋4k 2＋2＝36，所以 k ＝±2
4.
所以 所求直线方程为y ＝
24(x －1)或y ＝－2
4
(x －1)．。