23.4 概率计算举例

第23章 第二节 《事件的概率》
§23.4概率计算举例
学习目标
经历画树形图求概率的过程，进一步巩固画树形图分析等可能事件的方法，并能计算简单事件的概率，提高分析问题、解决问题的能力；学会转化分析与几何图形和等可能试验有关的概率问题，经历对图形的分析和研究的过程，培养思维的条理性，提高利用数形结合解决问题的能力；体验用数学眼光看待身边的事物，逐步养成用数学方法分析问题的能力和习惯；通过解决生活中的概率问题，树立概率意识，认识机会和风险，规则的公平性与决策的合理性。

知识概要
1.用直接列举法求概率的一般步骤
(1)列举出一次试验的所有可能的结果，计数为n ；
(2)数出事件所有可能出现的结果m ；
(3)代入概率的计算公式：n
m A P =)(。

2.用画树形图法求概率的一般步骤：
(1)把所有可能发生的试验结果用树形图表示出来；
(2)把所求事件发生的可能结果都找出来；
(3)代入概率的计算公式：所有可能出现的结果数
果数事件所有可能出现的结=)(A P 。

3.用面积法求概率
对于受几何图形面积影响的随机事件，在一个平面区域内的每个点，事件发生的可能性都是相
等的，如果所有可能发生的区域的面积为S ，所求事件发生的区域面积为S '，那么S
S A P '=)(。

经典题型精析
(一)利用列举法、树形图求概率
例1.从2,6,8这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被4整除
的概率是多少? 1/3
随堂练习：一人把分别写有“20”、“10”、“世博”的3张相同卡片，字面朝下随意放在桌面上；另一人再把这3张卡片排成一行，从左到右恰好排成“2010世博”或者“世博2010”的概率是( )
A .61
B .41
C .31
D .2
1
例2.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛。

(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲乙两位同学的概率； 1/6
(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率。

1/3
随堂练习：三位同伴进饭店用餐，把每人自带的雨伞交给服务员放在一起保管。

如果离店时服务员把他们的雨伞
随意还给各人，那么三位同伴恰好拿到各自的雨伞概率是多少? 1/6
例3.某校举行以“助人为乐，乐在其中”为主题的演讲比赛，比赛设一个第一名，一个第二名，两个并列第三名。

前四名中七、八年级各有一名同学，九年级有两名同学，小蒙同学认为前两名是九年级同学的概率是2
1，你赞成他的观点吗?请用列表法或画树形图法分析说明。

1/6 不赞成
(二)利用树形图判断游戏的公平性
游戏是否公平，就是要看参与游戏的成员获胜的概率是否相等。

当游戏分两步以上时，一般用树形图分析比较合适。

例4.小英和小明姐弟二人准备一起去观看端午节龙舟赛。

但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二
人采用游戏的方式来确定谁去看龙舟赛。

游戏规则是：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同。

游戏时先由小英从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小明从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色。

如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同．则小英赢，否则小明赢。

(1)请用树状图或列表的方法表示游戏中所有可能出现的结果；
(2)这个游戏对游戏双方公平吗?请说明理由。

例5.某校举办艺术节，其中A 班和B 班的节目总成绩并列第一，学校决定从B A 、两班中选派一个班代表学校
参加全省比赛，B 班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为5,3,2,1的四张牌给A 班班长，将数字为8,7,6,4的四张牌留给自已，并按如下游戏规则进行：A 班班长和B 班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A 班去；如果和为奇数，则B 班去。

(1)请用树状图或列表的方法求A 班去参赛的概率．
(2)B 班班长设计的游戏规则公平吗?若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则。

随堂练习：在一个不透明的口袋中装有3个带号码的球，球号分别为2,3,4，这些球除号码不同外其它均相同。

甲、乙两同学玩摸球游戏，游戏规则如下：
先由甲同学从中随机摸出一球，记下球号，并放回搅匀，再由乙同学从中随机摸出一球，记下球号。

将甲同学摸出的球号作为一个两位数的十位上的数，乙同学的作为个位上的数。

若该两位数能被4整除，则甲胜，否则乙胜.
问：这个游戏公平吗?请说明理由。

不公平
例6.为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏：口袋中有编号分别为1,2,3
的红球三个及编号为4的白球一个，四个小球除了颜色和编号不同外，没有任何的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛。

甲先摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸一个球。

如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分，如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则乙得0分；得分高的获得入场卷，如果得分相同，游戏重来．
(1)运用列表或画树状图求甲得1分的概率； 1/2
(2)这个游戏是否公平？请说明理由． 不公平
(三)利用面积计算概率
在几何概型中，我们可以利用面积来求概率。

我们用事件的面积去除总面积可得出事件A 的概率)(A P 。

例7.小明家里的阳台地面，水平铺设着仅黑白颜色不同的18块方砖，他从房间里向阳台抛小皮球，小皮球最终
随机停留在某块方砖上．
(1)求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率；
(2)上述哪个概率较大?要使这两个概率相等，应改变第几行第几列的哪块方砖颜色?怎样改变?
随堂练习：在如图所示的游戏转盘中，DF CE 、是直径，转动转盘，求指针落在蓝色区域的概率(当指针落在扇
形边界时统计在逆时针方向相邻的扇形内)。

例8.如图，已知等边ABC ∆的面积为1，E D ,分别为AC AB ,的中点，若向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在
阴影区域的概率是(不考虑落在线上的情形) ( )
A .41
B .21
C .43
D .3
2
随堂练习：如图，在33⨯正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，
则所得黑色图案是轴对称图形的概率是( )
A .
61 B .31 C .21 D .3
2
例9.某商人制成了一个如图所示的转盘游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针
指向字母“A ”，则收费2元；若指针指向字母“B ” ，则奖3元；若指针指向字母“C ” ，则奖1元．一天，前来寻开心的人转动转盘80次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大?为什么?
巩固提升
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A .一颗质地均匀的骰子已经连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，
那么第2001次一定抛出5点
B .某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖
C .天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨
D .抛掷一枚圆钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
2.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球 ( )
A .28个
B .30个
C .36个
D .42个
3.小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后读拿给对方看，他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏( )
A .对小明有利
B .对小亮有利
C .游戏公平
D .无法确定对谁有利
4.小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于6，则小晶赢；若点数之和等于7，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负，那么( )
A .小晶赢的机会大
B .小红赢的机会大
C . 小晶、小红赢的机会一样大
D .不能确定
5.“五一”期间，张先生驾驶汽车从甲地经过乙地到丙地旅游，甲地到乙地有2条公路，乙地到丙地有3条公路，每条公路的长度如图所示(单位：km )，张先生任选一条从甲地到丙地的路线，这条路线正好是最短路线的概率为( )
A .61
B .51
C .41
D .3
1
(第5题) (第6题) (第10题)
6.一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在如图所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样)，那么小鸟停在黑色方格中的概率是( )
A .21
B .31
C .41
D .5
1
二、填空题
7.甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5,6,7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若积为偶数，则乙获胜，这个游戏_________.(填“公平”或“不公平”)
8.小兰和小青两人做游戏，有一个质量分布均匀的六面体骰子，骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6，如果掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢；如果掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么游戏规则对______有利．
9.口袋中有15个球，其中白球有x 个，绿球有x 2个，其余为黑球。

甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜；则当 x ______时，游戏对甲、乙双方都公平．
10.在如图所示矩形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影区域的概率为____________。

11.如图，有两个转盘，每个转盘都分为3个相同大小的扇形区域，分别用序号1,2,3标出，现转动两个转盘，等
转盘停止运动时，指针指向每个区域的可能性相等(不计指针与两个区域交线重合的情形)，将所得区域的序号相乘，比较所得积为奇数或偶数的概率大小。

有人说，因为两个转盘中奇数序号都比偶数序号多，显然所得积为奇数概率大，你同意他的看法吗?____________(填“同意”、“不同意”或“概率大小不确定”)。

三、解答题
12.一个不透明的袋子中，装有红黑两种颜色的小球(除颜色不同外其他都相同)，其中一个红球，两个分别标有
A,的黑球。

B
(1)小李第一次从口袋中摸出一个球，并且不放回，第二次又从口袋中摸出一个球，则小李两次都摸出黑球的
概率是多少?试用树状图或列表法加以说明；
(2)小张第一次从口袋中摸出一个球，摸到红球不放回，摸到黑球放回。

第二次又从口袋中摸出一个球，则小
张第二次摸到黑球的概率是多少?试用树状图或列表法加以说明．
13.如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标
有相应的数字。

小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜。

如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止。

(1)请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率；
(2)你认为该游戏规则是否公平?若游戏规则公平，请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游
戏规则．
14.小军与小玲共同发展了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏，他们用四种字母做成10只棋子，其中A棋1只，
B棋2只，C棋3只，D棋4只．“字母棋”的游戏规则为：①游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋不放回；②A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；③相同棋子不分胜负。

(1)若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少?
(2)已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少?
(3)已知小玲先摸一只棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率
最大?
参考答案：
1.D
2.A
3.C
4.B
5.A
6.B
7.不公平
8.小兰
9.3 10.
4
1 11.不同意12.(1)31(2)4313.(1)21(2)不公平 14.(1)103(2)94(3)B。