弧度制2

M∩ N
＝________．
kπ π 解析：由－π< － <π， 2 3 4 8 得－ <k< . 3 3 因为 k∈Z，所以 k＝－1，0，1，2， 所以
5 π π 2 M∩N＝－6π，－3，6，3π.
5 π π 2 答案：－6π，－3，6，3π
4．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725° ；(2)－60° ＋360° ·k(k∈Z)．
2． 把角 750° 化成 α＋2kπ(0≤α＜2π， k∈Z)的形式， 则 α＝( π A． 6 π C． 12 π B． 3 2π D． 3
)
π 25π π π 解析：选 A.因为 750° ＝750× ＝ ＝4π＋ ，所以 α＝ . 180 6 6 6
3． 设集合
kπ π M＝αα＝ 2 －3，k∈Z， N＝{α|－π<α<π}， 则
180 270 (3)1.5＝1.5× π ° ＝ π ° .
2π 2 (4)－ ＝－ ×180° ＝－40° . 9 9
探究点二
用弧度制表示终边相同的角
把－1 480° 写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π， 并判断它是第几象限角？
[解]
π 74π 16π －1 480° ＝－1 480× ＝－ ＝－10π＋ ，其中 180 9 9
3.已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 60° ，求 扇形的弧长和面积．
π 解：已知扇形的圆心角 α＝60° ＝ ，半径 r＝10 cm，则弧长 l 3 π 10π 1 1 10π 50π ＝ α· r＝ ×10＝ (cm)，于是面积 S＝ lr＝ × ×10＝ 3 3 2 2 3 3 (cm2)．
正负 1rad r
其中 : 1、l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2r 3、圆心角为周角时，l 2r，则 2 r r 4、圆心角为平角时，l r，则 r
360 2 rad
180 π α· ° ＝n· rad. π ；n° 180
1.将下列角度与弧度进行互化： 2 (1)10° ；(2)－10° 30′；(3)1.5；(4)－ π. 9 π π 解：(1)10° ＝10× rad＝ rad. 180 18
(2)－10° 30′＝－10.5° 21 π ＝－ × rad 2 180 7π ＝－ rad. 120
扇形的弧长和面积的求解策略 1 1 2 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是 S＝ lR＝ αR (其中 l 2 2 是扇形的弧长，α 是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的 计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵 活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
1．半径为 π cm，圆心角为 120° 的扇形的弧长为( π A． cm 3 2π C． cm 3 π2 B． cm 3 2π2 D． cm 3
)
2π 2π 2π 解析： 选 D.因为 120° ＝ ， 即|α|＝ ， 所以弧长 l＝|α|· r＝ · π 3 3 3 2π2 ＝ (cm)．故选 D. 3
第一章
三角函数
1．1.2
弧度制
曲中彩
第一章
三角函数
1.了解弧度制是角的另外一种度量方法． 2.能进行 弧度与角度的互化，体会角的集合与实数集合之间的一一对 应关系．3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．
1
初1rad
2.弧度制
把长度等于半径长的弧所 对的圆心角叫做1弧度的角 l l | | R R
0
180 rad
0
180 180 1rad 57.30 57 18
1


rad 0.01745rad
正角
一一对应
正实数 零 负实数
(1)、角与实数一一对应：
l (2)、求弧长：
r
扇
零角 负角
(3)、求扇形的面积： S
证 明
7 答案：(1)－8π＋ π 4
π 7π 13π (2) ， ， 9 9 9
探究点三 的面积为________ cm2.
扇形的弧长与面积的计算
(1)已知扇形的圆心角为 120° ，半径为 3 cm，则此扇形 (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的 弧度数．
[解 ]
(1)设扇形弧长为 l，
π 7π 解析： (1)因为－1 125° ＝－4×360° ＋315° ， 315° ＝315× ＝ ， 180 4 7π 所以－1 125° ＝－8π＋ . 4
π (2)因为角 α 的终边与角 的终边相同， 3 π 所以 α＝2kπ＋ (k∈Z)， 3 α 2kπ π 所以 ＝ ＋ (k∈Z)． 3 3 9 α 2kπ π 又 0≤ <2π，故 0≤ ＋ <2π(k∈Z)，所以当 k＝0，1，2 时， 3 3 9 α π 7π 13π 有 ＝ ， ， 满足条件． 3 9 9 9
π 2π 因为 120° ＝120× rad＝ (rad)， 180 3 2π 2 3π 所以 l＝αR＝ × 3＝ (cm)． 3 3 1 1 2 3π 所以 S＝ lR＝ × × 3＝π(cm2)．故填 π. 2 2 3
(2)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)， 弧长为 l， 半径为 R， l＋2R＝10，① 依题意有1 lR＝4.② 2 ①代入②得 R2－5R＋4＝0，解之得 R1＝1，R2＝4. 当 R＝1 时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad 舍去． 2 1 当 R＝4 时，l＝2(cm)，此时，θ＝ ＝ (rad)． 4 2 1 综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad. 2
答案：一或三
探究点一
角度制与弧度制的互化
将下列角度与弧度进行互化： 7π 11π (1)20° ；(2)－15° ；(3) ；(4)－ . 12 5
解：（1 ） .20 0
0
20 . 180 9
（2） . - 15 -15

180
-

12
.
7 7 180 0 （3） . （ ） 105 0 12 12
S扇 S圆 2 1 1 2 2 r r l r 2 2 2
1 l r 2
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 弧度指的是 1 度的角．( ) )
(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(
(3)不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长 短有关．(
答案：(1)×
)
(2)√ (3)×
2．75° 的弧度数是( π A． 3 5π C． 6
) 5π B． 12
5π D． 7 π 5π 解析：选 B．75° ＝75× ＝ rad. 180 12
3 4．(1)18° ＝________rad；(2) π＝________． 10 π 答案：(1) (2)54° 10 π 5．若 α＝kπ＋ ，k∈Z，则 α 是第________象限角． 4
(4). 11 11 180 0 ( ) 396 0 5 5
角度制与弧度制的互化原则
180 π (1)原则： 牢记 180° ＝π rad， 充分利用 1° ＝ rad 和 1 rad＝ π ° 180
进行换算． (2) 方法：设一个角的弧度数为 α ，角度数为 n ，则 α rad ＝
20 2 16 34 所以所求角的集合为－ 9 π，－9π， 9 π， 9 π.
用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时， 其中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍． (2)还要注意角度制与弧度制不能混用．
2.(1)将－1 125° 表示成 2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z 的形式为________． π α (2)已知角 α 的终边与角 的终边相同，则在[0，2π)内与角 的终 3 3 边相同的角为________．
5π 5π 解：(1)－1 725° ＝75° －5×360° ＝－5×2π＋ ＝－10π＋ ， 12 12 是第一象限角． π π (2)－60° ＋360° ·k＝－ ×60＋2π·k＝－ ＋2kπ(k∈Z)，是 180 3 第四象限角．
五、作业 P 习题 7 . 8 . 9 . 10 10
16π 16π 0≤ <2π，因为 是第四象限角，所以－1 480° 是第四象限 9 9 角．
[变设问]若本例的条件不变，在[－4π，4π)范围 内找出与 α 终边相同的角的集合．
16 解：与 α 终边相同的角为 2kπ＋ π(k∈Z)． 9 16 由－4π≤2kπ＋ π<4π 知 9 k＝－2，－1，0，1.