高中数学 苏教版必修一 分数指数幂(一)

本 课
①3 a3＋3 b3＝a＋b；
时 栏
②( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab；
目 开
③4 a2＋b24＝a2＋b2；
关
④ a＋b2＝a＋b.
解析 当 a＋b<0 时，④中的式子不成立．
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练一练•当堂检测、目标达成落实处
2．下列说法中：①16 的 4 次方根是 2；②4 16的运算结果是±2；
解 (1) －102＝|－10|＝10；
本
4
(2)
3－π4＝|3－π|＝π－3；
课
时 栏
3
(3)
3a－33＝3a－3.
目
开
关
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研一研•问题探究、课堂更高效
探究点二 利用根式的性质化简或求值 例 2 化简：( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3＝__a_－___1__.
时 栏
当 1≤x<3 时，
目 原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
开
关
∴原式＝－ －24x－12≤－x3<<3x <1 .
小结 此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方部
分化为完全平方的形式，结合根式性质求解．
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跟踪训练 3 本例中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则 结果又是什么？
本 课
n
±
a(a>0)；负数没有偶次方根，0
的任何次方根都是
0.
时 栏
2．掌握两个公式：(1)(n a)n＝a；(2)n 为奇数，n an＝a，n 为偶
目 开 关
数，n an＝|a|＝a－a
a≥0 .
a<0
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
课 时
当 n 为偶数时，正数的 n 次实数方根有两个，它们互为相反
栏 目
数，这时，正数 a 的正的 n 次实数方根用符号n a表示，负的
开
关 n 次实数方根用符号－n a表示，它们可以合并写成±n a(a>0)
形式；
0 的 n 次实数方根等于 0(无论 n 为奇数，还是为偶数)； 式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
栏 目
方根_____只__有__一__个_____．
开
关
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填一填·知识要点、记下疑难点
2．一般地，如果一个实数 x 满足 xn＝a(n>1，且 n∈N*)，那么称 x
为 a 的___n__次__实__数__方__根___．当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方
根是一个___正__数___，负数的 n 次实数方根是一个__负__数____，这时，
与 x 的函数关系是什么呢？
答 y＝2x.
问题 3 正整数指数幂的意义是什么？
本 课
答 an(n∈N＋)的意义为：an＝
时
栏
目
开
关
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问题 4 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几 个，立方根呢？ 答 如果 x2＝a，那么 x 称为 a 的平方根．如果 x3＝a，那么 x 称为 a 的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的
解析 由题意知 a－1≥0，即 a≥1. 本 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
课 时 栏 目 开 关
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小结 根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，应注
意两者运算顺序是否可换，如对m an仅当 a≥0 时，恒有m an＝
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
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3．已知 x5＝6，则 x＝____5 _6___. 解析 由根式的定义知，x5＝6，x＝5 6.
本 课 时 栏 目 开 关
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1．根式的概念：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次实数方根，
其中 n>1，且 n∈N*.n 为奇数时，x＝n a，n 为偶数时，x＝
a≤1 .
a>1
时
栏
目
开
关
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探究点三 有限制条件的根式的化简
例 3 设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值．
解 原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|
∵－3<x<3，∴当－3<x<1 时，
本 课
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
[问题情境] 我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有
本 四次方根、五次方根，…，n 次方根呢？答案是肯定的，这
课 时
就是我们要研究的问题：指数概念的扩充．
栏
目
开
关
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探究点一 根式
问题 1 某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4
个，4 个分裂成 8 个，……如果分裂一次需要 10 min，那
么，1 个细胞 1 h 后分裂成多少个细胞？
本 课
答
因 1 h＝6×10 min，
时 栏
所以当 x＝6 时，
目 开
y＝26＝64，即 1 个细胞 1 h 后分裂成 64 个细胞．
关
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问题 2 假设细胞分裂的次数为 x，相应的细胞的个数为 y，则 y
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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谢谢欣赏！
本 平方根有两个，它们互为相反数，如 4 的平方根为±2，负数
课
时 没有平方根，一个数的立方根只有一个，如－8 的立方根为
栏
目 －2；零的平方根、立方根均为零．
开
关 问题 5 类比 a 的平方根及立方根的定义，如何定义 a 的 n 次实 数方根？ 答 一般地，如果一个实数 x 满足 xn＝a(其中 n>1，且 n∈N*)， 那么称 x 为 a 的 n 次实数方根．
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
表
示
，
它
们
可
以
合
并
写
成
关 __±_n__a___(a>0)形式；0 的 n 次实数方根等于 0(无论 n 为奇数，
还
是
为
偶
数
)
；
式
子
n
____a____
叫
做
根
式
，
其
中
n
叫做
___根__指__数_____，a 叫做____被__开__方__数______．
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的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想.
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1．如果 x2＝a，那么 x 称为 a 的____平__方___根_______；如果 x3＝a，
本 那么 x 称为 a 的____立__方__根____．根据平方根、立方根的定义，
课 时
正实数的平方根有___两_____个，它们互为相反数，一个数的立
开
关 (4) a－b2＝|a－b|＝b－a.
小结 对于式子n an，要特别注意 n 的奇偶性，当 n 为奇数时n an ＝a；当 n 为偶数时，n an＝|a|，否则容易导致错误的产生．
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跟踪训练 1 求下列各式的值： (1) －102；(2)4 3－π4；(3)3 3a－33(a≤1)．
解 原式＝ x－12－ x＋32
＝|x－1|－|x＋3|.
本
课 时 栏
∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0， ∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
目
开
关
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1．如果 a，b 是实数，则下列等式一定成立的是_①__②__③___(写出
所有正确命题的序号)．
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问题 7 根据 n 次方根的意义，可得：(n a)n＝a，即(n a)n＝a 肯定成立，n an表示 an 的 n 次方根，等式n an＝a 一定成立吗？ 如果不一定成立，那么n an等于什么？
本 答 n 为奇数，n an＝a，
课 时 栏 目
n 为偶数，n an＝|a|＝a－a
2019/8/29
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问题 6 类比平方根、立方根，猜想：当 n 为奇数时，一个数的 n
次方根有多少个？当 n 为偶数时呢？ 答 当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方根是一个正数，负数
的 n 次实数方根是一个负数，此时 a 的 n 次实数方根只有一
本 个，记为 x＝n a；
本 课
m
(
a)n，若
a<0，则不一定．
时
栏
目
开
关
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1， a≤1 跟踪训练 2 化简3 a3＋4 1－a4的结果是__2_a_－__1_，__a_>_1__．
本 课
解析
3 a3＋4 1－a4＝a＋|1－a|＝12， a－1，
填一填
本
课
研一研
时
栏
目
练一练
开
关
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3.1.1 分数指数幂(一)
【学习要求】
1．理解 n 次方根与根式的概念；
本 课
பைடு நூலகம்
2．正确运用根式运算性质化简、求值；
时 栏
3．了解分类讨论思想在解题中的应用．
目 开
【学法指导】
关 通过类比、归纳，感知根式概念的形成过程，进一步认清根式
与绝对值的联系，提高归纳、概括的能力，了解由特殊到一般
a 的 n 次实数方根只有一个，记作 x＝___n_a____；当 n 为偶数时，
本 课
正数的 n 次实数方根有___两_____个，它们互为____相__反__数____，这
时 栏
n
时，正数 a 的正的 n 次实数方根用符号____a____表示，负的 n
目 开
次
实
数
方
根
用
符
号
n
__-__a____
a≥0 .
a<0
开
关
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例 1 求下列各式的值： (1)( 3)2；(2)3 －83；(3)4 －24； (4) a－b2(a<b)．
解 (1)( 3)2＝3；
本 课
3
(2)
－83＝－8；
时
栏 目
4
(3)
－24＝|－2|＝2；
③当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R 都有意义；④当 n
为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时才有意义．其中正确命
本
题的序号是___③__④___．
课 时
解析 ①错，∵(±2)4＝16，
栏 目
∴16 的 4 次方根是±2；
开 关
②错，4 16＝2，而±4 16＝±2.
③④正确．