北京市海淀区2008年高三第二学期期末练习

北京市海淀区2008年高三第二学期期末练习
数学试题（文科）
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项： 1．答卷前将学校、班级、姓名填写清楚. 2．第I 卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 第II 卷各小题用钢笔或圆珠笔将答案直接
写在试题卷上.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．=--)cos()sin(ααπ
（ ）
A ．
α2sin 2
1
B ．－
α2sin 2
1
C ．α2sin
D ．α2cos
2．定义映射B A f →:，若集合A 中元素x 在对应法则f 作用下的象为log 3x ，则A 中元素9的象是
（ ） A ．－2
B ．2
C ．－3
D ．3
3．若a 为实数，则圆1)2()(22=++-a y a x 的圆心所在的直线方程为 （ ）
A ．2x +y=0
B ．x +2y=0
C ．x －2y=0
D ．2x －y=0 4．1+2+22+…+29的值为
（ ）
A ．512
B ．511
C ．1024
D ．1023
5．函数1
2)
2
1()(log )(-==x x g x x f 与在同一直角坐标系中的图象是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ ）
A ．若m ，n 与l 所成的角相等，则m ∥n
B ．若α∥β，α⊂m ，则m ∥β
C ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n
D ．若γ与平面α，β所成的角相等，则α∥β
7．设双曲线14
:22
=-y x C 的右焦点为F ，直线l 过点F ，若直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是
（ ）
A ．2121≥-
≤k k 或 B ．2121>-<k k 或 C ．2121<<-k D ．2
1
21≤≤-k
8．设函数c bx x x x f ++=||)(，给出下列四个命题： ①当c =0时，)(x f y =是奇函数； ②当b =0时，c >0时，方程0)(=x f 只有一个实根；
③函数)(x f y =的图象关于点（0，c ）对称； ④方程0)(=x f 至多有两个实根. 其中正确命题的个数为
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请把答案填在题中横线上. 9．已知向量a =（1，－2），b =（4，2），那么a 与b 夹角的大小是 . 10．已知点A 分有向线段MN 所成的比为－2，且M （1，3），N （
2
3
，1），那么A 点的坐标为 . 11．已知椭圆)0(132
22>=+a y a
x 的一条准线方程为x =4，那么此椭圆的离心率是 . 12．设地球的半径为R ，则地球北纬60°的纬线圈的周长等于 .
13．若圆x 2+y 2－2x =0关于直线y=x 对称的圆为C ，则圆C 的圆心坐标为 ；再把圆C 沿向量a =（1，2）平移得到圆
D ，则圆D 的方程为 .
14．定义运算：)(21,11221
}{,*11N n a a n n a a bc ad d
c b a n n n ∈=+=-=+且满足若数列，则a 3= ，数列{a n }的通项公式为a n = .
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15．（本小题共12分）
设函数)(x f =p ·q ，其中向量p =（sin x ，cos x +sin x ），q =（2cos x ，cos x －sin x ），x ∈R .
（Ⅰ）求)3
(π
f 的值及函数)(x f 的最大值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递增区间.
16．（本小题共14分）
在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC=∠ACB =90°，AB =2，BC =4，SB =42.
（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；
（Ⅱ）求二面角A —BC —S 的大小；
（Ⅲ）求直线AB 与平面SBC 所成角的大小. （用反三角函数表示） 17．（本小题共13分）
甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为3
1
，甲、乙都闯关成功的概率为
61，乙、丙都闯关成功的概率为5
1
，每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分. （Ⅰ）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（Ⅱ）求团体总分为4分的概率；
（Ⅲ）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛. 求该小组参加复赛的概率.
a 1
a 2 a 3
a 4 a 5 a 6
a 7 a 8 a 9 a 10
… … … … …
18．（本小题共13分） 将数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状.
（Ⅰ）若数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，写出图中第5行第5个数；
（Ⅱ）若函数233221)1(,)(r f x a x a x a x a x f n n =++++=且 ，求数列{a n }的通项公式；
（Ⅲ）设T m 为第m 行所有项的和，在（II ）的条件下，用含m 的代数式表示T m .
19．（本小题共14分） 已知O 为坐标原点，点F 的坐标为（1，0），点P 是直线m :x =－1上一动点，点M 为PF 的中点，点Q 满足QM
⊥PF ，且OP ⊥m .
（Ⅰ）求点Q 的轨迹方程；
（Ⅱ）设过点（2，0）的直线l 与点Q 的轨迹交于A 、B 两点，且∠AFB =θ.试问θ能否等于
3
2π
？若能，求出相应的直线l 的方程；若不能，请说明理由.
20．（本小题共14分）
已知函数).(4)(2
3
R a ax x x f ∈-+-=
（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在点P （1，)1(f ）处的切线的倾斜角为
4
π
，求a ； （Ⅱ）设)(x f 的导函数是).(x f '在（I ）的条件下，若]1,1[,-∈n m ，求)()(n f m f '+的最小值； （Ⅲ）若存在a x f x 求使,0)(),,0(00>+∞∈的取值范围.。