高考一轮物理能力提升(考点 重点 方法)4-5万有引力定律与天体运动

第五课时万有引力定律与天体运动
【教学要求】
1．理解万有引力定律，知道其内容及适用条件；
2．会运用万有引力定律分析有关天体运动问题。

【知识再现】
一、开普勒定律
1．开普勒第一定律
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在所有椭圆的_____________．
2．开普勒第二定律
对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
3．开普勒第三定律
所有行星的轨道的___________跟___________的比值都相等，即__________．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都是_________ 的，引力的大小跟这两个物体的_______成正比，跟它们的___________成反比．
2．表达式：_______________
其中G=6．6 7×10—11N ·m 2/kg 2
，叫引力常量． 3．适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体的大小时，公式也可以使用。

对于均匀的球体，r 是两球心间的距离。

4．应用：
（1）天体质量M 、密度ρ的估算：
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T ，由r T m r Mm G 2224π=得M=2324GT
r π，ρ===33
4R M V M π_________，R 为天体的半径。

当卫星沿天体表面绕天体运行时，r=R ，则ρ=_________。

（2）发现未知天体
万有引力定律适用于计算质点间的引力．具体有以下两种情况：①两物体间的距离远远大于物体本身的线度，两物体可视为质点，例如行星绕太阳的旋转；②两个均匀的球体间，其距离为两球心的距离。

【应用1】如图所示，阴影
区域是质量为M 、半径为R 的球体挖去一个小圆球后的剩余部分．所挖去的小圆球的球
心o ′和大球体球心间的距离是R/2．求球体剩余部分对球体外离球心o 距离为2R 、质量为m 的质点P 的引力。

完整的大球对球外质点P 的引力：2214)2(R
Mm G R Mm G F ==
将挖去的球补上，则
半径为R/2的小球的质量 重点突破
考点剖析
M R M R R M 8
13
)2(34)2(34333==='ππρπ 补上的小球对质点P 的引力
2
22250254)2/5(R Mm G R m M G R m M G F ='='= 因而挖去小球的阴影部分对P 质点的引力 2222110023504R Mm G R Mm G R Mm G
F F F =-=-= 答案： 2
10023R Mm G
万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体，才可将其看作是质量全部集
中在球心的一个质点。

地面附近的物体由于受到
地球的吸引而产生的力叫做重力。

对于放在地面上的物体
从效果上讲，万有引力使物体压
紧地面的力就是我们所说的重力。

由此可以看出重力是由于万有引力产生的，但严格地讲
物体的重力并不等于地球对物体的万有引力。

因为地球围绕地轴自转，地球表面上的物体
就随地球在围绕地轴做匀速圆周运动，而所需的向心力也是由万有引力来提供，因而重力
只是地球对物体万有引力的一个分力，另一个分力提供物体绕地轴做圆周运动的向心力，如图所示。

因为地球上的所有物体的角速度相同，所以物体随地球做圆周运动的向心力F 向=m ω2r 随纬度变化而变化，从赤道到两极不断减小。

在赤道处，物体的万有引力F 以及分解的
向心力F 向和重力mg 刚好在一条直线上，有F=F 向+mg ，所以mg=F-F 向=R m r
Mm G 22自ω-，因为地球自转角速度ω自很小，即：R m r Mm G 22自ω〉〉所以认为万有引力等于重力即mg R
Mm G =2(一般情况下不考虑自转带来的影响)；但是假设自转加快，即ω自变大，由mg=F-F 向=R m r Mm G 22自ω- 知物体的重力将变小。

当R m r Mm G 22自ω=的时候，万有引力全部充当向心力，即不再有挤压地面的效果，亦即mg=0，也就没有重力一说了。

【应用2】地球赤道上有一物体随地球一起自转做圆周运动，所受的向心力是F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度可忽略)所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则 （ ）
A ．F 1=F 2>F 3
B ．a 1=a 2=g>a 3
C ．v =v =v>v 3
D ．ω1=ω3<ω2
题中涉及三个物体，要比较三者有关物理量，可以通过同步卫星作为桥梁。

首先比较随地球自转的物体与同步卫星，随地球一起自转物体向心加速度为a 1=ω12R ，线速度为v 1=ω1R ，所需向心力为F 1=m ω12
R ，地球的同步卫星的向心加速度a 3=ω32r ，线速度v 3=ω3r ，所需向心力F 3=m ω32r ，因为r>R 、ω1=ω3，所以a 1< a 3、v 1 <v 3、F 1<F 3；再比较
近地卫星和同步卫星，两者均是万有引力提供向心力，即F 向=2
r Mm G ，同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，所以F 2>F 3。

根据a=F 向/m 可得a 2=g >a 3。

又由a=ω2
r 可知ω3<ω2。

而近地卫星的线速度等于第一宇宙速度，即v 2=v 。

综上所述： F 2>F 3>F 1， a 2=g>a 3>a 1， v 2=v>v 3 >v 1，ω1=ω3<ω2
答案：D
处理该类问题需要区分是地球上随地球一起自转的物体还是绕地球转动的人造卫星。

如果
是前者则是万有引力的一部分提供向心力，如果是后者则是万有引力提供向心力。

【例1】宇航员在月球表面附近自h 高处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L ．已知月球半径为R ，若在月球上发射一颗卫星，使它在月球表面附近绕月球作圆周运动．若万有引力恒量为G ，求：
（1）该卫星的周期；
（2）月球的质量。

（1）设月球表面附近的重力加速度为g 月
对做平抛的小球： 竖直方向 22
1t g h 月= ① 水平方向 L=v 0t ②
R T
m mg 224π=月 ③ 由①②③解得T =Rh h v L
20π
（2）由①②解得：2202L
hv g =月 又：月mg R
Mm G =2 解得：22202GL
R hv M = 计算天体质量的方法
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

mg R
Mm G =2故M=gR 2/G (2)利用环绕天体：应知环绕天体的周期T （或线速度v ）和卫星的轨道半径r
r T m r Mm G 2224π=得M=2324GT
r π
两颗靠得很近且间距不变，绕同一中心做匀速圆周运动的星称为双星。

解决双星问题应该从两点入手：第一，两星之间的万有引力提供了它们做匀速圆周运动的向心力；第二，两星绕同一点做圆周运动，且它们的角速度相等。

【例2】
在天体运动中，将两颗彼此距离较近，且相互绕行的行星称为双星。

已知两行星质量分别为M 1和M
2，它们之间距离为L ，求各自运转半径和角速度为多少
?
方法探究
该点为o ，如图所示，M l oM 2始终在一直线，M l 和M 2角速度相等，它们之间万有引力提供向心力。

对M 1：R M L
M M G 21221ω= 对M 2：)(22221R L M L
M M G -=ω 联立得：2
12M M L M R +=
ω=321/)(L M M G +
双星问题中，万有引力表达式中的r 应该是两星之间的距离，而不是轨道半径。

这一点特
别需要引起注意。

【例3】（2007年广东卷）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。

其中有两个岩石颗粒A 和B 与土星中心距离分别为r A ＝8.0×104 km 和r B ＝1.2×105
km 。

忽略所有岩石颗粒间的相互作用。

（结果可用根式表示）
（1）求岩石颗粒A 和B 的线速度之比；
（2）求岩石颗粒A 和B 的周期之比；
（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N ，推算出他在距土星中心3.2×105 km 处受到土星的引力为0.38 N 。

已知地球半径为6.4×103 km ，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
（1）设土星质量为M 0，颗粒质量为m ，颗粒距土星中心距离为r ，线速度为v ，根据牛顿第二定律和
万有引力定律：r
mv r m GM 220= 解得：r
GM v 0=
对于A 、B 两颗粒分别有： A A r GM v 0=和B B r GM v 0=
得： 2
6=B A v v （2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T ，则： T=2πr/v
对于A 、B 两颗粒分别有： 2πA A A r T v =和2πB B B
r T v = 得： 9
62=B A T T
（3）设地球质量为M ，地球半径为r 0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m 0，在地球表面重力为G 0，距土星中心r 0/＝3.2×105 km 处的引力为G 0/
，根据万有引力定律： 20
00r GMm G =和/000/20GM m G r = 解得：M 0/M=95
比值类问题是天体运动这一章较为常见的题型。

这类问题具有一个较为明显特征：题目常
会出现两组天体系统，而且遵循相同的规律。

求解该类问题只需找出某组系统的规律就行，同理可得另外一组的规律，然后再利用比例关系求解。

1．1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km 。

若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同，已知地球半径R=6400 km ，地球表面重力加速度为g ．这个小行星表面的重力加速度为（ ）
A ．400g
B ．4001g
C ．20g
D ．20
1g
2．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。

已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。

设每个星体的质量均为m 。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
3．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

现有一中子星，它的自转周期为T=1/30s 。

问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定不致因自转而瓦解。

计算时星体可视为均匀球体。

(引力常数G=6.67×1 0-11N ·m 2/kg 2)
答案：1、D
2、（1）线速度：R Gm R v 25=周期为：Gm R T 543π=； （2）R r 3
1512⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3、1.27×1014kg/m 3 成功体验。