高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式试题新人教A版选修4_5.doc

三排序不等式
课后篇巩固探究
A组
1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()
A.S≤S'≤S″
B.S≥S'≥S″
C.S≥S″≥S'
D.S≤S″≤S'
.
2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
D.P<Q
x≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.
3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()
A.ax+cy+bz
B.bx+ay+cz
C.bx+cy+az
D.ax+by+cz
a<b<c,x<y<z,
由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,
得顺序和ax+by+cz最大.故选D.
4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是()
A.a1b1+a2b2
B.a1a2+b1b2
C.a1b2+a2b1
a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,
∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.
且a1b1+a2b21b2+a2b1.
又1=a1+a2∴a1a2
∵0<a1<a2,∴a1a2同理b1b2
∴a1a2+b1b2
∴a1b1+a2b21a2+b1b2,
∴a1b1+a2b2最大.
5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()
A.大于零
B.大于或等于零
C.小于零
D.小于或等于零
a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,
得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.
因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,
所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.
所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,
即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.
6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.
2+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.
1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和1
7.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是.
,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.
S2
1≥
8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.
a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,
由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,
三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).
因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,
所以2(a3+b3+c3)≥6abc,
即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).
9.设a,b均为正数,
a≥b>0,则a2≥b2>0,
由不等式性质,0.
则由排序不等式,
10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c
a≥b≥c>0.
由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.
根据排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①
又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.
再根据排序原理,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②
由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.
两边同除以abc,得a+b+c当且仅当a=b=c时,等号成立).
B组
1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()
A.M≥0
B.M≤0
C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关
D.不能确定
a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则
a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.
又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,
∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca
≥a3bc+b3ac+c3ab.
∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.
2.若0<α<β<γF=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos αα+sin 2β+sin 2γ),则()
A.F>0
B.F≥0
C.F≤0
D.F<0
0<α<β<γ
所以0<sin α<sin β<sin γ,0<cos γ<cos β<cos α,
由排序不等式可知,
sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ,
而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos αα+sin 2β+sin 2γ)
=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.
3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为()
A.420元
B.400元
C.450元
D.570元
1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为
5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,当t1<t2<t3<t4<t5时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值为
5×4+4×5+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.
4.导学号26394058在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,试比较
.
解不妨设a≥b≥c,则有A≥B≥C.
由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,
aA+bB+cC≥aB+bA+cC,
aA+bB+cC≥aC+bB+cA.
将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.
5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.
x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤x n,
所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥1·x n+x·x n-1+…x+x n·1,
即1+x2+x4+…n+1)x n.①
又x,x2,…,x n,1为序列1,x,x2,…,x n的一个排列,
所以1·x+x·x2+…+x n-1x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1,
因此x+x3+…n≥(n+1)x n, ②
①+②,得1+x+x2+…n+1)x n.③
当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥x n,①②仍成立,
故③也成立.综上,原不等式成立.。