华龙区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

华龙区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，
﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos2﹣sin cos﹣的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
2．有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（）A．3，6，9，12，15，18 B．4，8，12，16，20，24
C．2，7，12，17，22，27 D．6，10，14，18，22，26
3100“光盘”行动，得到所示联表：
2.706
3.841 6.635
附：K2=，则下列结论正确的是（）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
B．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
4．若函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）
A．2或0 B．0 C．﹣2或0 D．﹣2或2
5． 已知函数(5)2()e 22()2x
f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
，则(2016)f -=（ ）
A ．2
e B ．e C ．1 D ．
1
e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
6． 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a
必过；④在吸烟
与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某
人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7． 圆2
2
2
(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2
2
13
y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ） A
B ．2 C
D
．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．
8． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2
cos α的值为（ ）
A
．
124+
B
．124
- C. 34 D ．0 9． 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为
36p ， 则正方体棱长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 10．已知x ，y
满足，且目标函数z=2x+y 的最小值为1，则实数a 的值是（ ） A ．1
B
．
C
．
D
．
11．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）
A ．只有减区间没有增区间
B ．是f （x ）的增区间
C ．m=±1
D ．最小值为﹣3
12．如图所示，程序执行后的输出结果为（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
二、填空题
13．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）
14．已知圆C 的方程为22230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB
最小则直线的方程是 ．
15．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
16．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线2
1y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<
恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
17．已知函数f （x ）=，g （x ）=lnx ，则函数y=f （x ）﹣g （x ）的零点个数为 ．
18．在矩形ABCD 中，
=（1，﹣3），，则实数k= ．
三、解答题
19．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，其余人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，其余人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为休闲方式与性别有关系．独立性检验观察值计算公式
，独立性检验临界值表：
20．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．
（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；
（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．
21．
22．已知函数f （x ）
=sin2x+（1﹣2sin 2
x ）．
（Ⅰ）求f （x ）的单调减区间；
（Ⅱ）当x ∈[
﹣
，
]时，求f （x ）的值域．
23．已知函数()()2
1+2||02
()1()102
x x x x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．
（1）画出函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域；
（2）根据图像求不等式3
(x)2
f ≥的解集（写答案即可）
24．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；
（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．
华龙区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 A
【解析】解：∵|BC|=1，点B 的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC=，
又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos （
﹣α）=
，﹣sin （
﹣α）=﹣
，
∴sin （
﹣α）=
．
∴cos α=cos[﹣（
﹣α）]=cos
cos （
﹣α）+sin sin （
﹣α）
=
+
=，
∴sin α=sin[﹣（﹣α）]=sin
cos （
﹣α）﹣cos sin （
﹣α）
=﹣=．
∴cos 2
﹣sin cos ﹣=（2cos
2
﹣1）﹣sin α=cos α﹣sin α
=
﹣
=，
故选：A ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
2． 【答案】C
【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验， 采用系统抽样的间隔为30÷6=5， 只有选项C 中编号间隔为5，
故选：C ．
3． 【答案】C
【解析】解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15． 则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100．
代入K 2
=
，
得k 2
的观测值k=
．
因为2.706＜3.030＜3.841．
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
即在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关” 故选C ．
【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，此题是基础题．
4． 【答案】D
【解析】解：由题意：函数f （x ）=2sin （ωx+φ），
∵f （
+x ）=f （﹣x ），
可知函数的对称轴为x=
=
，
根据三角函数的性质可知，
当x=时，函数取得最大值或者最小值．
∴f （
）=2或﹣2
故选D ．
5． 【答案】B
【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ．
6． 【答案】C
【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；
对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x ，变量x 增加一个单位时，y 应平均减少5个单位，②错误；
对于③，线性回归方程y=bx+a 必过样本中心点，正确；
对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关
系时，
我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误； 综上，其中错误的个数是2． 故选：C ．
7． 【答案】C
8．【答案】B
【解析】
考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.
9．【答案】C
10．【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知A（a，a），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解
得：a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．【答案】B
【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，
则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，
当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件，
作出函数f（x）的图象如图：
则函数在上为增函数，最小值为﹣2，
故正确的是B，
故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
12．【答案】B
【解析】解：执行程序框图，可得
n=5，s=0
满足条件s＜15，s=5，n=4
满足条件s＜15，s=9，n=3
满足条件s＜15，s=12，n=2
满足条件s＜15，s=14，n=1
满足条件s＜15，s=15，n=0
不满足条件s ＜15，退出循环，输出n 的值为0．
故选：B ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n 的值是解题的关键，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 （0，2）
【解析】解：令x=0，得y=a 0
+1=2 ∴函数y=a x
+1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点 （0，2）
故答案为：（0，2）． 【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求
函数的图象必过的定点
14．【答案】30x y -+= 【解析】
试题分析：由圆C 的方程为22230x y y +--=，表示圆心在(0,1)C ，半径为的圆，点()1,2P -到圆心的距
()1,2P -在圆内，所以当AB CP ⊥时，AB 最小，此时
11,1CP k k =-=，由点斜式方程可得，直线的方程为21y x -=+，即30x y -+=.
考点：直线与圆的位置关系的应用. 15．【答案】12π 【解析】
考
点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键． 16．【答案】②③ 【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,
A B A B AB k k -=(,)A B ϕ∴=
<
②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；1212(,)x x x x A B ϕ=
=
，
1211,(,)A B ϕ==因为1(,)
t A B ϕ<
恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 17．【答案】 3
【解析】解：令g （x ）=f （x ）﹣log 4x=0得f （x ）=log 4x
∴函数g （x ）=f （x ）﹣log 4x 的零点个数即为函数f （x ）与函数y=log 4x 的图象的交点个数， 在同一坐标系中画出函数f （x ）与函数y=log 4x 的图象，如图所示， 有图象知函数y=f （x ）﹣log 4 x 上有3个零点． 故答案为：3个．
【点评】此题是中档题．考查函数零点与函数图象交点之间的关系，体现了转化的思想和数形结合的思想，体现学生灵活应用图象解决问题的能力．
18．【答案】 4 ．
【解析】解：如图所示，
在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，
∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），
∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，
解得k=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）
（2）
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为休闲方式与性别有关系﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过k2的观测值与临界值的比较解决的
20．【答案】
【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…
（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点
则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，
又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD
又OC=OB，所以△BOD≌△COD
∴∠OCD=∠OBD=90°
即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…
（其他方法亦可）
21．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20
根据平均数值公式求解即可．
（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，
求解数学期望即可．
【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：
=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；
则X～B（3，），
X=0，1，2，3；
P（X=0）=×（）3=；
P（X=1）=×（）2×=；
P（X=2）=×（）×（）2=；
P（X=3）=×（）3=，
∴X的分布列为：
0 1 2 3
即E（X）=0×=．
【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+（1﹣2sin2
x）=sin2x+cos2x
=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），
由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
故f （x ）的单调减区间为：[k π+，k π+]（k ∈Z ）；
（Ⅱ）当x ∈[﹣
，
]时，（2x+）∈[0，
]，2sin （2x+
）∈[0，2]，
所以，f （x ）的值域为[0，2]．
23．【答案】（1）图象见答案，增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域：(],2-∞；（2）[]3,1--。

【解析】
试题分析：（1）画函数()f x 的图象，分区间画图，当0x ≤时，()2
122
f x x x =--，此时为二次函数，开口向下，配方得()()()2
1142222
f x x x x =-
+=-++，可以画出该二次函数在0x ≤的图象，当0x >时，()1()12x f x =-，可以先画出函数1
()2
x y =的图象，然后再向下平移1个单位就得到0x >时相应的函数图
象；（2）作出函数()f x 的图象后，在作直线3
2
y =，求出与函数()f x 图象交点的横坐标，就可以求出x 的
取值范围。

本题主要考查分段函数图象的画图，考查学生数形结合思想的应用。

试题解析：（1）函数()f x 的图象如下图所示：
由图象可知：增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域为：(],2-∞。

（2）观察下图，()3
2
f x ≥
的解集为：[]3,1--。

考点：1.分段函数；2.函数图象。

24．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，
∴f'（x）=3x2+6ax+b，
又∵f（x）在x=﹣1时有极值0，
∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，
即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，
解得：a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，
令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，
又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．。