二项分布和其具体应用(理)

③当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，两颗骰子的点数之和
大于 8 的结果有 5 个．
故 P(AB)＝356.
5 (2)由(1)知 P(B|A)＝PPAAB＝316＝152.
3
【方法探究】 条件概率的求法 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝PPAAB.这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件 数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件 数，即 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB. 提醒：在等可能事件的问题中，求条件概率第二种方法 更易理解．
故ξ的分布列是
ξ0
1
2
3
P
1 27
2 9
4 9
8 27
法二：记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程分别为事件 Di，i＝1,2,3.
由已知：D1，D2，D3 相互独立，且 P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝21＋61＝32， 所以 ξ～B(3，32)，
即 P(ξ＝k)＝C3k(23)k(31)3－k，k＝0,1,2,3. 故 ξ 的分布列是
事 件 A 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 为 P(X ＝ k) ＝
Cnkpk(1－p)n－k (k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X
服从二项分布，记作 X～B(n，p)
，并称p为成功概
率．
2．如何判断一个试验是不是独立重复试验？ 提示：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不 发生．
二项分布和其具体应用(理)
点击考纲 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布． 3.能解决一些简单的实际问题.
关注热点 1.相互独立事件、n次独立重复试验的概率及条件概率是 高考重点考查的内容． 2.三种题型均有可能出现，在解答题中常和分布列的有 关知识结合在一起考查，属中档题目.
ξ0
1
2
3
P
1 27
2 9
4 9
8 27
【方法探究】 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复 地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中， 每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生， 并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)二项分布满足的条件 ①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发 生． ④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
2．事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B) ，则称事件 A与事件B相互独立．
1．如何判断事件是否相互独立？ 提示：(1)利用定义：事件A、B相互独立⇔P(AB) ＝P(A)·P(B)． (2)利用性质：A与B相互独立，则A与，与B，与也 都相互独立．
(3)具体背景下： ①有放回地摸球，每次摸球结果是相互独立的． ②当产品数量很大时，不放回抽样也可近似看作独立重 复试验．
由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5) ＝＋＋ ＝0.648.
(2)X的可能取值为2,3. 由于各局比赛结果相互独立，所以 P(X＝2)＝P(A3A4＋B3B4) ＝P(A3A4)＋P(B3B4) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＝＋ ＝， P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－＝0.48.
3．独立重复试验 (1)在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立 重复试验． (2)如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也都相互独立．
4．二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每
次试验中事件A发生k的概率为p，那么在n次独立重复试验中，
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3) ＝6×12×13×16＝16. (2)法一：设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数 为 η，由已知，η～B(3，31)，且 ξ＝3－η，
所以 P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C33(31)3＝217， P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C32(31)2(23)＝29， P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C31(31)(23)2＝49， P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C30(32)3＝287.
事件
表示
概率
A、B 同时发 AB
生
P(A)P(B)
A、B 都不发 生
AB
P( A )P( B )
A、B 恰有一 (A B )∪( A B)
个发生
P(A)P( B )＋ P( A )P(B)
事件
表示
概率
A、B 中至少
P∪(AB)
有一个发生
P( A )P(B)＋P(A)P(B)
【思路导引】 (1)甲获得这次比赛胜利当且仅当甲先胜 2局故分三类．
(2)X的取值为2、3. 【解析】 记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj 表示事件：第j局已获胜，j＝3,4,5. (1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利． 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜 利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5，
1．有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在 这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概 率．
解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件 AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：
P(B|A)＝，P(A)＝0.9. 根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝＝，即这粒种 子能成长为幼苗的概率为0.72.
解 析 ： P ＝ C53×(0.80)3×(0.20)2 ＋ C54×(0.80)4 ＋ (0.80)5≈0.94.
答案：
5．有 1 道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12， 乙能解决的概率为31，2 人试图独立地在半小时内解决它．则 2 人都未解决的概率为____________，问题得到解决的概率 为________．
5 答案：D
2．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，
那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( )
4
2
A.9
B.9
4
2
C.27
D.27
解析：所求概率 P＝C31·(31)1·(1－31)3－1＝49.
答案：A
3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为，
乙被录取的概率为，两人是否被录取互不影响，则其中至少
X的分布列为
E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3) ＝＋ ＝2.48.
【方法探究】 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方 法主要有
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计 算．
(2)已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为
P(A)、P(B)，则有
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率(注：结果可用 分数表示)．
解析：(1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件 为 Ai(i＝1,2,3,4)，则 P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25，P(A4) ＝15，故该选手进入第四轮才被淘汰的概率 P＝P(A1A2A3 A 4) ＝P(A1)P(A2)P(A3)P( A 4)＝45×35×25×45＝69265.
(2009·全国卷Ⅰ)甲、乙二人进行一次围棋比赛， 约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局 中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互 独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率； (2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X 的分布列及数学期望．
3．如何判断一个随机变量是否服从二项分布？ 提示：(1)这个随机变量是不是n次独立重复试验中某事 件发生的次数． (2)这个事件在每次试验中发生的概率是不是确定的．
1．已知 P(AB)＝230，P(A)＝53，则 P(B|A)等于( )
9
1
A.50
B.2
9
1
C.10
D.4
3
解析：P(B|A)＝PPAAB＝230＝230×53＝14.
A、B 中至多 (A B )∪( A B)∪( A
有一个发生
B)
P(A)P( B )＋ P( A )P(B)＋ P( A )P( B )
2．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正 确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手 能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、 25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．
解析：设“半小时内甲独立解决该问题”为事件 A，“半 小时内乙独立解决该问题”为事件 B，那么两人都未解决该 问题就是事件 A B ，
∴P( A B )＝P( A )·P( B )＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝(1－21)×(1－13)＝13.
“问题得到解决”与“问题没得到解决”是对立事件， ∴1－P( A B )＝1－13＝23.
(2)寻找ξ与选择民生工程项目的人数η的关系，据η服从 二项分布，可求ξ的分布列．
【解析】 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、 民生工程和产业建设工程分别为事件 Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3. 由题意知 A1，A2，A3 相互独立，B1，B2，B3 相互独立，C1， C2，C3 相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3 且 i，j，k 互不 相同)相互独立，且 P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，P(Ck)＝16.
1．条件概率及其性质
(1)条件概率的定义
PAB
设 A，B 为两个事件，且 P(A)>0，称 P(B|A)＝ PA 为
在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率．
(2)条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典 概型概率公式，即 P(A|B)＝nnABB.
(3)条件概率的性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0P(B|A)1 . ②如果B和C是两个互斥事件，即 P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设 工程的人数，求ξ的分布列．
【思路导引】 (1)3 名工人选择的项目所属类别互不相 同的情况有 A33 种．在每种情况下，每名工人做某一个基础 设施工程项目的概率为12，做某一个民生工程项目的概率为 13，做某一个产业建设工程项目的概率为16，并且他们相互独 立．
(2)该选手至多进入第三轮考核的概率 P′＝P( A 1＋A1 A 2＋A1A2 A 3)＝P( A 1)＋P(A1)P( A 2)＋ P(A1)P(A2)P( A 3) ＝15＋45×25＋45×35×35＝110215.
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程， 分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三 类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16，现在 3 名工 人独立地从中任选一个项目参与建设．
答案：31
2 3
抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的 点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点 数之和大于8的概率．
【思路导引】 (1)利用古典概型的概率公式求解． (2)代入条件概率公式求解． 【解析】 (1)①P(A)＝26＝13. ②∵两个骰子的点数之和共有 36 个等可能的结果，点 数之和大于 8 的结果共有 10 个． ∴P(B)＝1306＝158.
有一人被录取的概率为( )
A．0.12
B．
C．0.46
D．
解 析 ： 至 少 有 一 人 被 录 取 的 概 率 P ＝ 1 － (1 － 0.6)(1 －
0.7)＝1－＝1－＝0.88.
答案：D
4．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为，现有5人接 种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________．