人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (75)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线
的性质考试复习题（含答案)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（）
A．mn B．mn C．2mn D．mn
【答案】B
【解析】
作DE⊥AB交AB于点E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴CD=DE=n，
∴S△ABD=AB·DE=mn.
故选B.
32．如图,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是
A．TQ=PQ B．∠MQT=∠MQP C．∠QTN=90°
D．∠NQT=∠MQT
【答案】D
【解析】
【分析】
由SAS易证△MPQ≌△MTQ，则两三角形的对应边、对应角相等，据此作答．
【详解】
∵MQ为∠PMN的平分线，
∴∠PMQ＝∠TMQ，
又∵MT＝MP，MQ＝MQ，
∴△MPQ≌△MTQ（SAS），
∴TQ＝PQ，∠MQT＝∠MQP，∠QTN＝∠P＝90°，
故ABC选项正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质，属于基础题目．
二、解答题
33．（分）尺规作图：请把下面的直角进行三等分．（不写作法，保留作图痕迹．）
【答案】答案见解析
【解析】
试题分析：先BC为一条边作一个等边三角形得到一个60度角，再作60度角的平分线.
解：如图，
34．已知：如图，四边形中，，是的中点，
平分，，求的度数．
【答案】30°
【解析】
试题分析：过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=EC，然后求出CE=EF，再根据到角两边的距离相等的点在角的平分线上可得BE平分∠ABC，最后求出∠ABE 的度数即可.
试题解析：过点作于，
∵，平分，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴CE=EF，
∵，，
∴，
∵，，
∴，∠DAE=60°，
∴，∠DAB=120°，
∴∠ABC=60°，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，根据题意正确添加辅助线，熟练运用相关性质是解题的关键.
35．已知:如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，，BD平分∠ABC，求证：AD＝CD．
【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：在BC上截取BE=BA，连接DE，利用角平分线构造全等三角形，再利用等腰三角形求AD＝CD．
试题解析：
证明：在BC上截取BE=BA，连接DE，
∴BD平分∴ABC，
∴∴ABD=∴EBD，
在∴BAD和∴BED中, ，
∴∴BAD∴∴BED(SAS)，
∴DA=DE，∴A=∴BED，
∴∴BED+∴DEC=180°∴,∴A+∴C=180°，
∴∴C=∴DEC，
∴DE=DC，
∴DC=AD.
点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知平分，过点作，，则.
②截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则≌.
③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知平分，，则；
如图（4），已知平分，，则.
(1) (2) (3)
(4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（5），已知平分，且，则，.
(5)
36．已知:如图，在中，为的中点，交的平分线于点，过点作于交于交的延长线于.求证: .
【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF＝CG．【详解】
证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF＝CG
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及垂直平分线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
37．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE，CD相交于点O，连接AO.求证：
(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：(1)、根据角平分线的性质得出OD=OE，然后证明△BOD和△COE全等，从而得出答案；(2)、根据题意得出△BOD和△COE全等，从而得出OD=OE，然后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案．
试题解析：(1)、∴∴1=∴2 ∴AO平分∠BAC，∴OD=OE，
又∴∴BDO=∴CEO=90°，∴BOD=∴COE，∴∴BOD∴∴COE(ASA)，∴OB ＝OC；
(2)、∴∴BDO=∴CEO=90°，∴BOD=∴COE，OB=OC，
∴∴BOD∴∴COE(AAS)，∴OD＝OE，
又∴CD∴AB，BE∴AC，垂足分别为D、E，∴OA平分∴BAC，即∴1＝∴2．点睛：本题主要考查的就是角平分线的性质定理以及逆定理的应用，三角形全等的证明，属于简单题型．定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．同学们在解答这种问题的时候，如果看到角平分线，除了想到角相等之外，还要考虑到线段相等，这个是一个非常重要的条件．
38．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC．求证：OC平分∠ACD．
【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：过点O作OE⊥AC，根据角平分线的性质得出OE=OB，根据中点的性质得出OE=OD，从而得出角平分线．
试题解析：过点O作OE⊥AC，∴OE=OB 又∵点O为BD的中点
∴OB=OD，
∴OE=OD，∴OC平分∠ACD．
39．如图，已知BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF，CE交于点D．求证：AD平分∠BAC．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据BE=CF，∠BDE＝∠CDF，∠BED＝∠CFD得出△BDE和△CDF全等，从而得出DE=DF，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案．试题解析：证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，
又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC
40．如图，已知OD平分∠AOB，P是OD上一点，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：由已知容易求证△OBD≌△OAD（SAS），可得∠3=∠4，再根据角平分线性质的逆定理，可证PM=PN．
试题解析：∵OD平分∠AOB，
∴∠1＝∠2，
又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD，
∴∠3＝∠4，
又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN.。