江西省赣州市五校协作体2019届高三上学期期中考试数学(理)试题+Word版含答案

赣州市2018-2019学年第一学期五校期中联考
高三数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.已知{}{}
2(1)0,log 0A x x x B x x =->=< 则A B U 等于（ ） A. (0,1)
B. (0,2)
C. )0,(-∞
D. )(,0)(0,-∞+∞U
2.命题“”的否定是( ) A. B. C.
D.
3.“1x >”是“21x
>”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )( ) A ．在(－∞，0)上为减少的 B ．在x ＝0处取极小值 C ．在(4，＋∞)上为减少的 D ．在x ＝2处取极大值
5.
=-⎰
1
21x （ ）
A ．0
B ．
4
π C ．
2
π
D ．1 6．下列求导运算正确的是( ) A ．(cos x )′＝sin x B ．(ln 2x )′＝1
x
C ．(3x )′＝3x log 3e
D ．(x 2e x )′＝
2x e x
7 ．将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将
所得的图象向左平移π
3
个单位，得到的图象对应的解析式为( )
A ．y ＝sin 12x
B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6
D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6
8.三次函数()3
23212
f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区
间()1,3上的最小值是（ ）
A ．83
B ．
116 C ．113
D ．53
9.函数错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

且错误！未找到引用源。

）的图象可
能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.已知sin α＋3cos α
3cos α－sin α
＝5，则tan α的值是( )
A.25 B ．2 C ．－2 D ．－25
11.已知错误！未找到引用源。

是定义在错误！未找到引用源。

上的奇函数，当错误！未找到引用源。

时， 错误！未找到引用源。

，则函数错误！未找到引用源。

的零点的集合为（ ） A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

12. 对于函数错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

，若存在错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，使得错误！未找到引用源。

，则称函数错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

互为“零点密切函数”，现已知函数错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

互为“零点密切函数”，则实数错误！未找到引用源。

的取值范围是( ) A ．[3,4] B.[1,2] C.[-1,3] D.[-3,1]
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知sin(π－θ)＝－23，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－θ)＝ 14.已知幂函数f(x)=２
１－X ,若f(a+1)<f(10-2a),则a 的取值范围是
15.设函数()()()()
⎩⎨
⎧≥<-+=-1,3
1,2log 11
3x x x x f x ,则()()=+-12log 73f f
16．如图，在ABC △中，3sin
23ABC ∠=
，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，43
3
BD =， 则ABC △的面积的最大值为 ．
三．解答题：共70分。

解答题应写出文字说明，证题过程或演算步骤。

17.（10分）已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x 2
+2x.现已画出函数f(x)在y 轴左侧的图象,如图所示.
(1)画出函数f(x)在y 轴右侧的图象,并写出函数f(x)(x∈R)的解析式； (2)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),当a>1时求函数g(x)的最小值.
18.（12分）已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
4 (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上的单调增区间．
19．（12分）已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若csin A ＝3acos C.
(1)求角C；
(2)若c＝21，且sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，求△ABC的面积．
20. （12分）已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m.
(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差；
(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围.
21．（12分）已知函数f(x)＝ln x ，g(x)＝1
2ax ＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x ＝1处相切，求g(x)的表达式；
(2)若φ(x )＝m （x －1）
x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．
22．（12分）设函数
()3f x x ax b
=--，R x ∈，其中,R a b ∈．
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=.
赣州市2018-2019学年第一学期五校期中联考
高三数学（理科）试卷参考答案
一．选择题：
二．填空题：
13. 5
52 14. (3,5) 15. 7 16．
三．解答题：共70分。

解答题应写出文字说明，证题过程或演算步骤。

17.（10分）
解：（1）若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R 上的偶函数, ----（ 补画图正确给3分）
且当x≤0时, f(x)=x 2+2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x 2-2x(x>0),
∴f(x)= --------5分 (3)g(x)=x 2-2x-2ax+2,其图象的对称轴方程为x=a+1,
当a>1时，a+1>2，g(x)=x 2-2x-2ax+2)在[1,2]上单调递减， ----------8分
g(x)在[1,2]上的最小值为g(2)=2-4a 。

----------10分
18. （12分）
解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos
2
ωx
＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.
------4分
因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π
2ω
＝π，故ω＝1. -----6分
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.
------7分
当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π
8
时，f (x )单调递增； 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π8上单调递增。

------------ 12分 19．（12分）
解：(1)根据a sin A
＝
c sin C
，可得c sin A ＝a sin C ， ----------2
分
又因为c sin A ＝3a cos C ，所以a sin C ＝3a cos C ， ---------4分
所以sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝
sin C
cos C
＝3， 因为C ∈(0，π)，所以C ＝π
3. ------------6分
(2)因为sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin(A ＋B )， 所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝5sin 2A ， 所以2sin B cos A ＝5×2sin A cos A . 因为△ABC 为斜三角形，所以cos A ≠0，
所以sin B ＝5sin A . ----------8分 由正弦定理可知b ＝5a ， ① 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
所以21＝a 2＋b 2－2ab ×1
2
＝a 2＋b 2－ab ， ②
由①②解得a ＝1，b ＝5， -----------10分 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝53
4. ---------12分
20. （12分）
解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋12. 当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2.
当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2；当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2. ∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增．-------3分
∴f (x )极小值＝f (－2)＝－16＋m . ，
f (x )极大值＝f (2)＝16＋m . ∴
f (x )
极大值
－f (x )
极小值
＝32.
---------------6分
(2)由(1)知要使函数y ＝f (x )有三个零点，必须⎩⎨
⎧
f (x )极小值＜0，
f (x )极大值＞0，----------10分
即⎩⎨
⎧
－16＋m ＜0，16＋m ＞0，
∴－16＜m ＜16.
∴m 的取值范围为(－16,16)． --------------12分
21．（12分）
解：(1)由已知得f ′(x )＝1
x
，
所以f ′(1)＝1＝1
2a ，所以a ＝2. --------3分
又因为g (1)＝0＝1
2
a ＋
b ，所以b ＝－1，
所以g (x )＝x －1. --------6分 (2)因为φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )＝m （x －1）
x ＋1
－ln x 在[1，＋∞)上是减函
数．
所以φ′(x )＝－x 2＋（2m －2）x －1
x （x ＋1）2
≤0在[1，＋∞)上恒成立． --------9
分
即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1
x
，x ∈[1，＋∞)，
因为x ＋1
x
∈[2，＋∞)，
所以2m －2≤2，m ≤2.
故实数m 的取值范围是(－∞，2]． ----------12分
22．（12分）
解：（1）由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a ='-，下面分两种情况讨论： ①
0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调递增
区间为(),-∞+∞．-----2分
②当0a >时，令()0f x '=，解得x =或x =．
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝⎭
，单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎭
，
⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
．---6分 （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠．由题意，
得()2
00
30f x x a '=-=，即203
a
x =， -----7分
进而()3
00
0023
a
f x x ax b x b =--=--， 又()()3
00
0000082282233
a a f x x ax
b x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠， ---------10分
由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，
因此102x x =-，所以10+2=0x x ． -------- 12分。