考点07 等腰三角形的性质和判定(解析版)

考点07 等腰三角形的性质和判定
一．选择题（共10小题）
1．（2020·吉林长春外国语学校月考）如图，在△ABC中，BF、CF分别平分△ABC和△ACB，过点F作EG△BC分别交于点AB、AC于点E、G．若AB=9，BC=10，AC=11，则△AEG的周长为（）
A．15B．20C．21D．19
【答案】B
【解析】
解：△EG△BC，
△△EFB＝△FBC，△GFC＝△FCB，
△BF、CF分别平分△ABC和△ACB，
△△EBF＝△FBC，△GCF＝△FCB，
△△EBF＝△EFB，△GFC＝△GCF，
△EF＝EB，FG＝GC，
△△AEG的周长＝AE+EF+FG+AG＝AE+EB+AG+GC＝AB+AC＝9+11=20
故选：B．
2．（2020·黄石经济技术开发区教研室月考）在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD
将这个三角形的周长分为15和12
两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A ．7
B ．7或11
C ．11
D ．7或10 【答案】B
【解析】
解：设这个等腰三角形的腰长为a ，底边长为b.
△D 为AC 的中点，
△AD ＝DC ＝12AC ＝12
a. 根据题意得31521122a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或31221152
a a
b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得107a b =⎧⎨=⎩
或811a b =⎧⎨=⎩ 又△三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．
△这个等腰三角形的底边长为7或11.
3．（2020·淮阳第一高级中学期末）在Rt ABC 中，45A ∠=︒，90C ∠=︒，点D 在BC 边上(不与点C ，B 重合)，点P 、点Q 分别是AC ，AB 边上的动点，当DPQ 的周长最小时，PDQ ∠的度数是( )
A．70°B．90°C．100°D．120°
【答案】B
【解析】
作D关于AC的对称点E，作D关于AB的对称点F，连接EF交AC于P，交AB于Q，
则此时△DPQ的周长最小，
△△AGD=△ACD=90°，△A=45°，
△△EDF=135°，
△△E+△F=45°，
△PE=PD，DQ=FQ，
△△EDP=△E，△QDF=△F，
△△CDP+△QDG=△E+△F=45°，
△△PDQ=135°-45°=90°，
故选：B．
4．（2020·陕西渭滨二模）如图，D为△ABC内一点，CD平分△ACB，BD△CD，△A=△ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（）
A．1B．1.5C．2D．4
【解析】
延长BD与AC交于点E，
△△A=△ABD，
△BE=AE，
△BD△CD，
△BE△CD，
△CD平分△ACB，
△△BCD=△ECD，
△△EBC=△BEC，
△△BEC为等腰三角形，△BC=CE，
△BE△CD，
△2BD=BE，
△AC=5，BC=3，
△CE=3，
△AE=AC-EC=5-3=2，
△BE=2，
△BD=1．
5．（2020·黑龙江甘南期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则△CDM周长的最小值为（）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【解析】
解：连接AD，
△△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
△AD△BC，
△S△ABC＝1
2
BC•AD＝
1
2
×4×AD＝16，解得AD＝8，
△EF是线段AC的垂直平分线，
△点C关于直线EF的对称点为点A，△AD的长为CM+MD的最小值，
△△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+1
2
BC＝8+
1
2
×4＝8+2＝10．
故选：C．
6．（2020·全国）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE ＝5，则重叠部分的面积为()
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【解析】
解：△长方形纸片ABCD按图中那样折叠，
△△1=△2，
而△1=△3，
△△2=△3，
△ED=EB=5，
△矩形ABCD中，△A=90°
△重叠部分△BDE的面积=1
2
DE×AB=
1
2
×5×4=10．
故选：C.．
7．（2020·辽宁文圣期末）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB=AE，BC=EF，
△B =△E ，AB 交EF 于点D ．下列结论：△△EAB =△F AC ；△AF =AC ；△F A 平分△EFC ；△△BFE =△F AC 中，正确的有( )个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】 解:在△AEF 和△ABC 中，
AB AE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△△AEF △△ABC (SAS)，
△△EAF =△BAC ，AF =AC ，△C =△EF A ，
△△EAB =△F AC ，△AFC =△C ，
△△EF A =△AFC ，
即F A 平分△EFC ．
又△△AFB =△C +△F AC =△AFE +△BFE ，
△△BFE =△F AC ．
故△△△△正确．
故选：D ．
8．（2020·河南洛宁期中）如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=BE ，则△A
的
度数为（）
A．30°B．45°C．22.5°D．60°【答案】B
【解析】
△DE＝BE，
△△EBD＝△EDB，
设△EBD＝△EDB＝α，
△△AED＝△EBD＋△EDB＝2α，
△AD＝DE，
△△A＝△AED＝2α，
△△BDC＝△A＋△ABD＝3α，
△BD＝BC，AB＝AB，
△△ABC＝△C＝△BDC＝3α，
△3α＋3α＋2α＝180°，
△α＝22.5°，
△△A＝45°．
故选：B．
9．（2020·山东沂水期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，30A ∠=︒，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则CBD ∠的度数为（ ）
A ．45︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．75︒
【答案】A
【解析】 解：△AB=AC ，△A=30°，
△△ABC=△ACB=75°，
△AB 的垂直平分线交AC 于D ，
△AD=BD ，
△△A=△ABD=30°，
△△BDC=60°，
△△CBD=180°-75°-60°=45°．
故选：A ．
10．（2020·山东鄄城期末）如图，在等腰直角△ABC 中，
△ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且△DOE=90°，DE 交OC 于点P ，则下列结论：△图中全等的三角形只有两对；△△ABC 的面积等于四边形CDOE 面积的2倍；△OD=OE ；△CE+CD=BC ，其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】 解：结论△错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC△△BOC ，△AOD△△COE ，△COD△△BOE ． 由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB ，易得△AOC△△BOC ．
△OC△AB ，OD△OE ，
△△AOD=△COE ．
在△AOD 与△COE 中，
AD OCE 45OA OC
AOD COE O ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， △△AOD△△COE （ASA ）．
同理可证：△COD△△BOE ．
结论△正确．理由如下：
△△AOD△△COE ，
△S △AOD =S △COE ，
△S 四边形CDOE =S △COD +S △COE =S △COD +S △AOD =S △AOC =S △ABC ，
即△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍．
结论△正确，理由如下：△△AOD△△COE ，
△OD=OE ；
结论△正确，理由如下：
△△AOD△△COE ，
△CE=AD ，
△AB=AC ，
△CD=EB ，
△CD+CE=EB+CE=BC ．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C ．
二．填空题（共5小题）
11．（2020·四川甘孜期末）如图，DE 是ABC ∆的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分BAC ∠．若32B =︒∠，则C ∠＝__________．
【答案】84°
【解析】
解：△DE 是AB 边的垂直平分线，
△EA=EB ，
△△ABE=△BAE ，
△△B=32°，
△△BAE=32°．
又AE 平分△BAC ，
△△BAC=2△BAE =64°．
△△C=180°-△BAC -△B=84°，
故答案为： 84°．
12．（2020·上海市松江区九亭中学期中）如图，在ABC ∆中，高AD 与高BE 相交于点H ，且BH AC =，那么ABC ∠=________度
【答案】45．
【解析】
解：AD BC BE AC ⊥⊥，
CAD ACD DBH ACD ∴∠+∠=∠+∠
CAD DBH ∴∠=∠
90BH AC ADC BDH =∠=∠=︒，
BDH ADC ∴∆∆≌
AD BD ∴=，
又△ADC=90°
△△ABD 为等腰直角三角形
45ABC ∴∠=︒．
故答案为：45．
13．（2020·山西左权期末）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，BD AD AC ==，E 为CD 的中点，若18,CAE ∠=︒则B 为______________________．
【答案】36°．
【解析】
△AD=AC，点E是CD中点，△AE△CD，
△△AEC=90°，
△△C=90°−△CAE=72°，
△AD=AC，
△△ADC=△C=72°，
△AD=BD，
△△B=△BAD=1
2
△ADC=36°，
△△B=36°，
故答案为：36°．
14．（2020·江苏南通田家炳中学月考）已知如图，在∆ABC中，∠BAE=∠CAE,BE⊥AE 于点E，若∠ABC=3∠ACB,则AB,AC,BE之间的数量关系____________．
【答案】
1
()
2
BE AC AB
=-
【解析】
如图，延长BE交AC于点F，
△AE△BE，
△△AEB=△AEF=90△，
在△AEB中，△△ABE+△BAE+△AEB=180△，△△ABE=90△-△BAE，
同理，△AFE=90△-△FAE，
△△BAE=△FAE，
△△ABE=△AFE，
△AB=AF，
△AE△BE，
△BF=2BE，
△AC-AB=AC-AF=CF，
△△AFB是△BCF的外角，
△△AFB=△FBC+△C
△△ABC=3△C
△△ABC=△ABF+△CBF=△AFB+△CBF，△3△C=△AFB+△CBF=2△CBF+△C
△△CBF=△C
△BF=CF
△AC-AB=BF=2BE，即
1
()
2
BE AC AB
=-
故答案为：
1
()
2
BE AC AB
=-．
15．（2020·陕西咸阳·天王学校）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC 为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中△ABM=△NBC ＝90°，连接MN，则BD与MN的数量关系是_____．
【答案】2BD=MN
【解析】
解：2BD=MN ，理由是：
如图，延长BD 到E ，使DE=BD ，连接CE ，
△点D 是BC 中点，
△AD=CD ，又DE=BD ，△ADB=△CDE ，
△△ABD△△CED ，
△△ABD=△E ，AB=CE ，
△△ABM=△NBC=90°，
△△ABC+△MBN=180°，
即△ABD+△CBD+△MBN=180°，
△△E+△CBD+△BCE=180°，
△△BCE=△MBN ，
△△ABM 和△BCN 是等腰直角三角形，
△AB=MB ，BC=BN ，
△CE=MB ，
在△BCE 和△NBM 中，
CE BM BCE MBN BC NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△△BCE△△NBM （SAS ），
△BE=MN ，
△2BD=MN ．
故答案为：2BD=MN ．
三．解析题（共5小题）
16．（2020·浙江青田期末）如图，在ABC ∆中，,=⊥AB AC AD BC 于D
（1）若52C BAC ∠=∠，求BAD ∠的度数
（2）若点E 在AB 上，EF//AC 交AD 的延长线于点F
求证：AE=FE
【答案】（1）50°；（2）见解析
【解析】
解：（1）△AB=AC ，AD△BC 于点D ，
△△BAD=△CAD ，△ADC=△ADB=90°，
△52C BAC ∠=∠，
设△C=2x ，△BAC=5x ，
则△B=2x ，
则2x+2x+5x=180，
解得：x=20，
△△BAC=100°，
△△BAD=50°；
（2）△AB=AC ，AD△BC 于点D ，
△△BAD=△CAD ，
△EF△AC ，
△△F=△CAD ，
△△BAD=△F ，
△AE=FE ．
17．（2020·黑龙江哈尔滨一模）如图1，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC CB =，点D 在BC 边上，过点C 作AD 的垂线与过B 点垂直BC 的直线交于点E ．
（1）求证：CD BE =；
（2）如图2，若点D 为线段BC 的中点，连接DE 交AB 于F ，请直接写出图中所有的等腰直角三角形．
【答案】（1）详见解析；（2）（2）ACB ∆，BDE ∆，BDF ∆，BEF ∆
【解析】
（1）△AC BC =，BC BE ⊥
△90CBE ∠=︒，
△90ECB E ∠+∠=︒，且90ECB ADC ∠+∠=︒
△ADC E ∠=∠，且AC=BC
ACB CBE ∠=∠，
△ADC EBC ∆∆≌(AAS)
△CD=BE
（2）
△点D 为线段BC 的中点
△CD=BD=BE ，且△DBE=90︒
△△DBE 是等腰直角三角形，
△△BDE=△BED=45︒
△△ACB=90︒，AC=CB
△△ABC 是等腰直角三角形，△ABC=45︒
△△BDE=△BED=45︒=△ABC=△EBF
△DF=BF=EF ，BF△DE
△△DBF ，△BFE 是等腰直角三角形．
故ACB ∆，BDE ∆，BDF ∆，BEF ∆是等腰直角三角形
故答案为：ACB ∆，BDE ∆，BDF ∆，BEF ∆
18．（2020·吉林市舒兰市）如图，已知60BAC ∠=︒，80B ∠=︒，DE 垂直平分AC 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ．
（1）求BAD ∠的度数；
（2）若10AB =，12BC =，求ABD ∆的周长．
【答案】（1）20︒；（2）22．
【解析】
（1）△180BAC B C ︒∠+∠+∠=，
△180C BAC B ︒∠=-∠-∠=1806080︒︒︒--=40︒，
△DE 垂直平分AC ，
△DA=DC ，
△40DAC C ︒∠=∠=，
△BAD BAC DAC ∠=∠-∠=604020︒︒︒-=；
（2）由（1）知：DA=DC ，
△ABD
∆的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=10+12=22，
△ABD
∆的周长为22．
19．（2020·上海市静安区实验中学）如图：已知∠BAC=30°，AT平分∠BAC，TE△AC．△是等腰三角形；
（1）求证：AET
⊥，垂足为点D，AE=4cm，求TD的长．
（2）若TD AC
【答案】（1）见解析；（2）2cm
【解析】
解：（1）△AT平分∠BAC．
△△EAT=△TAD．
△TE△AC．
△△TAD=△ETA．
△△EAT=△ETA．
△AET
△是等腰三角形．
（2）过点T作TF⊥AB，垂足点F,
⊥．
△AT平分∠BAC，TF⊥AB，TD AC
△据角平分线定理可得DT=TF．
△在RT△TFE中，ET=4cm，△FET=30°，则TF=2cm,
△TD=2cm．
20．（2020·辽宁文圣期末）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD=CD，CE平分△ACB．
（1）如图1，试说明BE
1
2
=CF．
（2）如图2，若点M在边BC上(不与点B重合)，MN△AB于点N，交BD于点G，△BMN
1 2 =
△ACB，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．
【答案】（1）证明见解析；（2）BN
1
2
=MG，答案见解析．
【解析】
（1）△BD△AC，CE△AB，
△△ADB=△BDC=△AEC=90°，
△△A+△ABD=90°，△A+△ACE=90°，△△ABD=△ACE．
在△ABD和△FCD中，
ADB FDC BD CD
ABD FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， △△ABD △△FCD (ASA)，
△AB =CF ．
△CE 平分△ACB ，
△△ACE =△BCE ．
在△ACE 和△BCE 中，
ACE BCE CE CE
AEC BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， △△ACE △△BCE (ASA)
△AE =BE ，
△BE 12=AB 12
=CF ； （2）BN 12
=MG ， 理由如下：如图，过点M 作MH △AC ，交AB 于H ，交BD 于P ，
△BD =CD ，BD △CD ，
△△DBC =△DCB =45°．
△MH △AC ，
△△PMB =△DCB =△PBM =45°，△BPM =△BDC =90°， △BP =PM ．
△△BHP +△HBP =90°，△BHP +△HMN =90°， △△HBP =△HMN ．
在△BHP 和△MGP 中， 90HBP GMP BP PM
BPH GPM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， △△BPH △△MPG (ASA)， △GM =BH ．
△△BMN 12
=△ACB =22.5°， △△BMN =△HMN =22.5°． 在△BMN 和△HMN 中， BMN HMN MN MN
BNM HNM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， △△BMN △△HMN (ASA)， △BN =NH ，
△BN 12=BH 12
=MG ．。