福建省漳州市龙海市程溪中学2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期末数
学试卷（文科）
一、选择题
1．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M=（）
A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6}D．{2，4，6}
2．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（）
A．y=﹣3x+1 B．y=|x+2|C．y= D．y=x2﹣4x+3
3．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，5]D．[3，+∞）
4．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）
5．如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（）
A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）
6．当a＞1时，函数和y=（1﹣a）x的图象只可能是（）
A．B．C．
D．
7．函数f（x）=的单调减区间为（）
A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞]C．（﹣5，﹣2）D．[﹣2，1]
8．函数y=的定义域是（）
A．B．C．（，+∞）D．（，+∞）
9．函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）
A．（0，1）B．（1，1）C．（2，0）D．（2，2）
10．若x0是方程2x=的解，则x0∈（）
A．（0.1，0.2）B．（0.3，0.4）C．（0.5，0.7）D．（0.9，1）
11．函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是（）A．f（﹣2）＞f（0）＞f（1）B．f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）C．f（1）＞f（0）＞f （﹣2）D．f（1）＞f（﹣2）＞f（0）
12．若函数y=a x﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则一定有（）A．0＜a＜1且b＜0 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b＞1
二、填空题：
13．若函数g（x）为R上的奇函数，那么g（a）+g（﹣a）=．
14．函数y=3x2+2x+1（x≥0）的最小值为．
15．已知函数是奇函数，则常数a=．
16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈[﹣2，2]）的图象过原点，且在x=±1处的切线的
倾斜角均为，现有以下三个命题：
①f（x）=x3﹣4x（x∈[﹣2，2]）；
②f（x）的极值点有且只有一个；
③f（x）的最大值与最小值之和为零．
其中真命题的序号是．
三、解答题
17．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3+2x2﹣1，求f（x）在R上的表达式．
18．已知p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0．若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
19．二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．20．已知方程|3x﹣1|=k．
（1）画出函数y=|3x﹣1|的图象并求它的单调区间；
（2）讨论方程解的个数．
21．某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的
关系为，且生产x吨的成本为R=50000+200x元．问该厂每月生产多少吨
产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入﹣成本）
22．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
2017-2018学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）
期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M=（）
A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6}D．{2，4，6}
【考点】补集及其运算．
【分析】直接利用补集的定义求出C U M．
【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}，
故选C．
2．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（）
A．y=﹣3x+1 B．y=|x+2|C．y= D．y=x2﹣4x+3
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据一次函数，反比例函数及二次函数的单调性便可判断每个选项函数在（0，2）上的单调性，从而找出正确选项．
【解答】解：一次函数y=﹣3x+1，反比例函数在（0，2）上为减函数；
二次函数y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴该函数在（0，2）上为减函数；
x＞0时，y=|x+2|=x+2为增函数，即y=|x+2|在（0，2）上为增函数．
故选B．
3．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，5]D．[3，+∞）
【考点】二次函数的性质．
【分析】先由f（x）=x2+2（a﹣1）x+2得到其对称，再由f（x）在区间（﹣∞，4]上是减函数，则对称轴在区间的右侧，所以有1﹣a≥4，计算得到结果．
【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x=1﹣a，
∵f（x）在区间（﹣∞，4]上是减函数，开口向上，
则只需1﹣a≥4，
即a≤﹣3．
故选B．
4．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项
【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，
∴A∩（∁R B）=（3，4）
故选B
5．如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（）
A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【分析】先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．
【解答】解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）
∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察
可得f（2）＜f（1）＜f（4），
故选A．
6．当a＞1时，函数和y=（1﹣a）x的图象只可能是（）
A．B．C．
D．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】通过函数的特征，判断对数函数的图象与直线的图象，即可得到选项．
【解答】解：因为a＞1时，函数是增函数，C，D不正确；
直线y=（1﹣a）x的斜率小于0，所以A不正确，B正确．
故选B．
7．函数f（x）=的单调减区间为（）
A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞]C．（﹣5，﹣2）D．[﹣2，1]
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】由题意先求函数的定义域，根据复合函数的单调性的判断方法，求出函数的单调减区间．
【解答】解：函数f（x）=的定义域为：{x|﹣5＜x＜1}，
设g（x）=5﹣4x﹣x2，它的对称轴为：x=﹣2，在x∈（﹣5，﹣2）上是增函数，
函数y=是减函数，所以函数f（x）=的单调减区间为：（﹣5，
﹣2）
故选C
8．函数y=的定义域是（）
A．B．C．（，+∞）D．（，+∞）
【考点】对数函数的定义．
【分析】观察对数的代数式，首先底数要大于零且不等于1，真数要大于零，而真数是一个开偶次方形式，被开方数需要大于零，得到三个不等式，组成不等式组，求这几个不等式的解集的交集，得到结果．
【解答】解：由题意知，2x﹣1＞0 ①
2x﹣1≠1 ②
3x﹣2＞0 ③
综合上面三个不等式得到x＞且x≠1且x＞，
∴函数的定义域是
故选A．
9．函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）
A．（0，1）B．（1，1）C．（2，0）D．（2，2）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据a0=1（a≠0）时恒成立，我们令函数y=a x﹣2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点的坐标．
【解答】解：∵当X=2时
y=a x﹣2+1=2恒成立
故函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，2）
故选D
10．若x0是方程2x=的解，则x0∈（）
A．（0.1，0.2）B．（0.3，0.4）C．（0.5，0.7）D．（0.9，1）
【考点】函数零点的判定定理；函数的零点与方程根的关系．
【分析】令f（x）=2x﹣，由f（0.5）f（0.7）＜0，可得函数f（x）在（0.5，0.7）内存在零点，又函数f（x）单调递增，即可得出x0∈（0.5，0.7）．
【解答】解：令f（x）=2x﹣，
由f（0.5）=＜0，f（0.7）=20.7﹣＞20.6﹣＞﹣＞0，
，可得20.6．
∴f（0.5）f（0.7）＜0，
∴函数f（x）在（0.5，0.7）内存在零点，
又函数f（x）单调递增，
∴x0∈（0.5，0.7）．
故选：C．
11．函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是（）A．f（﹣2）＞f（0）＞f（1）B．f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）C．f（1）＞f（0）＞f （﹣2）D．f（1）＞f（﹣2）＞f（0）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由f（x）是R上的偶函数可得f（﹣2）=2，且2＞1＞0，结合已知在[0，+∞）上单调递增，可比较大小
【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，
∵f（﹣2）=2，且2＞1＞0
∴f（2）＞f（1）＞f（0）
即f（﹣2）＞f（1）＞f（0）
∵f（﹣1）=f（1）
∴f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）
故选B
12．若函数y=a x﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则一定有（）A．0＜a＜1且b＜0 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b＞1
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】根据指数函数的图象和性质，即可确定a，b的取值范围．
【解答】解：根据指数函数的图象和性质可知，要使函数y=a x﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，
则函数为增函数，∴a＞1，
且f（0）＜0，即f（0）=1﹣（b+1）=﹣b＜0，
解得b＞0，
故选：B．
二、填空题：
13．若函数g（x）为R上的奇函数，那么g（a）+g（﹣a）=0．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】直接利用函数的奇偶性的定义求解即可．
【解答】解：函数g（x）为R上的奇函数，那么g（a）+g（﹣a）=g（a）﹣g（a）=0．故答案为：0．
14．函数y=3x2+2x+1（x≥0）的最小值为1．
【考点】二次函数的性质．
【分析】求出函数的对称轴，判断开口方向以及函数的单调性，求解即可．
【解答】解：函数y=3x2+2x+1的开口向上，对称轴为：x=﹣，x≥0时函数是增函数，
函数y=3x2+2x+1（x≥0）的最小值为：3×02+2×0+1=1．
故答案为：1．
15．已知函数是奇函数，则常数a=．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由已知中函数是奇函数，我们根据定义域为R的奇函数图象必要原点，构造出一个关于a的方程，解方程即可求出常数a的值．
【解答】解：若函数是奇函数
由于函数的定义域为R
则=0
即a+=0
解得a=﹣
故答案为：﹣
16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈[﹣2，2]）的图象过原点，且在x=±1处的切线的
倾斜角均为，现有以下三个命题：
①f（x）=x3﹣4x（x∈[﹣2，2]）；
②f（x）的极值点有且只有一个；
③f（x）的最大值与最小值之和为零．
其中真命题的序号是①③．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】先根据已知条件，列出关于a、b、c的方程组并解之得a=0，b=﹣4，c=0，由此得到①是真命题；对函数进行求导数运算，可得在区间[﹣2，2]上导数有两个零点，函数也就有两个极值点，故②为假命题；根据函数为奇函数，结合奇函数的图象与性质可得f（x）的最大值与最小值之和为零，故③为真命题．由此可得正确答案．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈[﹣2，2]）的图象过原点，
∴f（0）=c=0，得f（x）=x3+ax2+bx
对函数求导数，得f'（x）=3x2+2ax+b，结合题意知f'（1）=f'（﹣1）=tan=﹣1
∴3+2a+b=3﹣2a+b=﹣1，解之得a=0，b=﹣4，
对于①，函数解析式为f（x）=x3﹣4x（x∈[﹣2，2]），故①是真命题；
对于②，因为f'（x）=3x2﹣4=3（x+）（x﹣），f'（x）在区间[﹣2，2]上有两个
零点，
故f（x）的极值点有两个，得②为假命题；
对于③，因为函数f（x）=x3﹣4x是奇函数，所以若它在[﹣2，2]上的最大值为f（m）=M，则它在[﹣2，2]上的最小值必为f（﹣m）=﹣M，
所以f（x）的最大值与最小值之和为零，③是真命题．
故答案为：①③
三、解答题
17．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3+2x2﹣1，求f（x）在R上的表达式．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】根据函数奇偶性的性质，分别求出当x=0和x＜0时的解析式即可．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
若x＜0，则﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x3+2x2﹣1，
∴当x＜0时，f（﹣x）=﹣x3+2x2﹣1=﹣f（x），
则当x＜0时，f（x）=x3﹣2x2+1，
即f（x）=．
18．已知p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0．若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．
【分析】先求出p：x＜﹣2或＞10，q：x＜1﹣a或x＞1+a，再由p是q的充分而不必要条
件，列出方程组，从而求出正实数a的取值范围．
【解答】解：p：x＜﹣2或＞10，
q：x＜1﹣a或x＞1+a
∵由p是q的充分而不必要条件，
∴
即0＜a≤3．
19．二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）先设f（x）=ax2+bx+c，在利用f（0）=1求c，再利用两方程相等对应项系数相等求a，b即可．
（2）转化为x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立问题，找其在[﹣1，1]上的最小值让其大于0即可．
【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．
因为f（x+1）﹣f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，所以，∴，
所以f（x）=x2﹣x+1
（2）由题意得x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立．即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立．
设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，其图象的对称轴为直线，所以g（x）在[﹣1，1]上递减．
故只需最小值g（1）＞0，即12﹣3×1+1﹣m＞0，
解得m＜﹣1．
20．已知方程|3x﹣1|=k．
（1）画出函数y=|3x﹣1|的图象并求它的单调区间；
（2）讨论方程解的个数．
【考点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）画出图象，由图象可得，
（2）结合图象，分类讨论即可．
【解答】解：（1）y=|3x﹣1|的图象如图所示，
由图象可知，函数在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
（2）由图象可知，当k＜0时，方程无解，
当k=0，或k≥1时方程有唯一的解，
当0＜k＜1时，方程有2个解．
21．某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的
关系为，且生产x吨的成本为R=50000+200x元．问该厂每月生产多少吨
产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入﹣成本）
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】将实际问题转化成数学最值问题，利用导数求最值
【解答】解：设生产x吨产品，利润为y元，
则y=px﹣R=
=+24000x﹣50000（x＞0）
+24000，
由y'=0，得x=200
∵0＜x＜200时y'＞0，当x≥200时y'＜0
∴当x=200时，y max=3150000（元）
答：该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000（元）
22．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b，c，d，即可求函数f（x）的解析式；
（2）求函数的导数，即可求函数f（x）在定义域上的单调性．
【解答】解：（1）由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，
所以f（x）=x3+bx2+cx+2，则f'（x）=3x2+2bx+c．
由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，
知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，
即f（﹣1）=1，f'（﹣1）=6
∴，
即，
解得b=c=﹣3，
故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．
（2）∵f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．
∴f′（x）=3x2﹣6x﹣3=3（x2﹣2x﹣1）．
由f′（x）=3（x2﹣2x﹣1）＞0，
解得x＞1+或x＜1﹣，此时函数单调递增，
由f′（x）=3（x2﹣2x﹣1）＜0，
解得1﹣＜x＜1+，此时函数单调递减，
即函数的单调递减区间为为（1﹣，1+），
函数的单调递增区间为为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）．
2018年8月30日。