圆中的重要模型之圆弧的中点模型(学生版)-初中数学

圆中的重要模型之圆弧的中点模型
当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。

其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。

当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。

目录例题讲解模型
模型1.与垂径定理相关的中点模型
模型2.与圆周角定理相关的中点模型(母子模型)
模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
模型4.与托勒密定理相关的中点模型
习题练模型例题讲解模型
模型1.与垂径定理相关的中点模型
图1
图2图31)条件：如图1，已知点P 是AB
中点，连接OP ，结论：OP ⊥AB ；2)条件：如图2，已知点P 是AB 中点，过点P 作MN ∥AB ，结论：MN 是圆O 的切线；
3)条件：如图3，点P 是AB
中点，连接BP 、AP ，若∠BPN =∠A ，结论：MN 是圆O 切线。

证明：1)根据垂径定理易得：OP ⊥AB ；
2)由1)知：OP ⊥AB ，∵MN ∥AB ，∴OP ⊥MN ，∴MN 是圆O 的切线。

3)由1)知：OP ⊥AB ，∴∠BPO +∠ABP =90°，∵P 是AB 中点，∴AP =BP
，∴∠ABP =∠BAP ，∵∠BPN =∠A ，∴∠BPN =∠ABP ，∴∠BPO +∠BPN =90°，∴MN 是圆O 的切线。

1.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，△BCD 内接于⊙O ，点B 是CD
的中点，CD 是⊙O 的直径．若∠ABC =30°，AC =4，则BC 的长为()
A.5
B.42
C.43
D.52
2.(2023·湖北十堰·九年级校考期中)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是AC 的中点，BD
交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC 交BA 的延长线于点F ．
(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若AF =2，FD =4，求△DFB 的面积．
3.(2023春·福建福州·九年级统考期中)如图，点C 在以AB 为直径的半圆O 上(点C 不与A ，B 两点重合)，点D 是AC
的中点、DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ，连接OF ，过点D 作半圆O 的切线DP 交BA 的延长线于点P ．(1)求证：AC ∥DP ；(2)求证：AC =2DE ；(3)连接CE ，CP ，若AE ∶EO =1∶2，求CE CP 的值．
4.(2023·广东佛山·校联考一模)如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，D 为BE
的中点，连接AE ，BD 并延长交于点C ．连接OD ，在OD 的延长线上取一点F ，连接BF ，使∠CBF =12∠BAC ．
(1)求证：BF 为⊙O 的切线；(2)若AE =4，OF =92
，求⊙O 的直径．模型2.与圆周角定理相关的中点模型(母子模型)
1)条件：如图1，已知点P 是AB
中点，点C 是圆上一点，结论：∠PCA =∠PCB ．
2)条件：如图2，已知点P 是半圆中点，结论：∠PCA =∠PCB =45°．
3)条件：如图3，已知点P 是AB 中点，结论：∠PBA =∠PCA =∠PCB =∠P AB ；△PDA ∽△P AC ；△PDB ∽△PBC ；△CAP ∽△CDB ；△CAD ∽△CPB 。

证明：1)∵P 是AB 中点，∴AP =BP
，∴∠PCA =∠PCB ，
2)∵P 是AB 中点，∴AP =BP ，∴∠PCA =∠PCB ，
∵AB 是直径，∴∠CPB =90°，∴∠PCA =∠PCB =45°，
3)∵P 是AB 中点，∴AP =BP
，∴∠PBA =∠PCA =∠PCB =∠P AB ，
∵∠PCA =∠P AD ，∠APD =∠CP A ，∴△PDA ∽△P AC ；
∵∠PCB =∠APB ，∠BPD =∠CPB ，∴△PDB ∽△PBC ；
∵AC =AC ，∴∠P =∠B ，∵∠PCB =∠ACP ，∴△CAP ∽△CDB ；
∵BC =BC ，∴∠P =∠A ，∵∠ACD =∠PCB ，∴△CAD ∽△CPB 。

5.(2023·广东九年级期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD 的中点，若∠DAB=40°，则∠CBA的度数是()
A.70°
B.40°
C.60°
D.50°
6.(2023·广东佛山·校考三模)如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于点E，AE= 4，ED=8．(1)求证：△ABE∽△ADB；(2)求线段BE的长；(3)延长BC至F，连接FD，使△BDF的面积等于24+243，求∠EDF的度数．
7.(2023·湖北恩施·统考一模)如图，AB是⊙O的直径，C是圆上的一点，D为AC 的中点，过点D作⊙O的切线与BC的延长线交于点F，与BA的延长线交于点G，弦BD、AC交于点E．
(1)求证：AC∥FG；(2)求证：CD2=DE·BD；(3)若DE=2，BE=4，求CF的长．
8.(2023·四川巴中·统考一模)如图，AB是半圆O的直径，D为半圆O上的点(不与A，B重合)，连接AD，点C为BD 的中点，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，连接BF，AC交于点E．
(1)求证：FC 是半圆O 的切线．(2)求证：AC 2=AF ⋅AB ．(3)若AF =3，AC =23，求阴影部分的面积．模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
条件：如图，AB 是直径，点P 是AC
中点，过点P 作PH ⊥AB 交AB 于点H ，连结PB 交AC 于点F 。

结论：AD =PD =FD ，PQ =AC ，AP 2=AD ×AC =AH ×AB =PF ×PB ．
证明：1)∵P 是AC 中点，∴AP =CP ，∵AB 是直径，PH ⊥AB ，∴AP =AQ ，∴AP =AQ =CP .∴∠APD =∠P AD ，∴AD =PD ，
∵AB 是直径，∴∠APB =90°，∴∠P AD +∠PFA =90°，∠APD +∠FPD =90°，∴FPD =∠PFA ，∴FD =PD ，∴AD =PD =FD ，∵AP =AQ =CP ，∴PQ =AC
，∴PQ =AC ，
∵AP =AQ ，∴∠APQ =∠PCA ，∵∠DAP =∠P AC ，∴△P AC ∽△DAP ；∴AP AD =AC AP ，∴AP 2=AD ×AC ，∵AP =AQ ，∴∠APQ =∠ABP ，∵∠HAP =∠P AB ，∴△HAP ∽△P AB ；∴AP AB =AH AP ，∴AP 2=AH ×AB ，∵AP =PC ，∴∠P AC =∠ABP ，∵∠APF =∠BP A ，∴△APF ∽△BP A ；∴AP BP =FP AP ，∴AP 2=PF ×PB ，
9.(2023·湖南长沙·统考一模)如图，已知AB 是⊙O 的直径，DA 与⊙O 相切于点A ，OD 与⊙O 相交于点E ，C 是弧BE 的中点，现有如下几个结论：①BA ⊥DA ，②OC ∥AE ，③∠COE =2∠CAE ，④∠B =∠BAC ，其中正确的个数为()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.(2023·安徽合肥·统考三模)如图，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，点D 是AC 的中点，点E 是AD 的
中点，连接OD 、BD 分别交AC 于点Q 和点P ，连接OE ，则下列结论中错误的是()
A.OD ⊥AC
B.CE =12BD
C.OE ∥BD
D.CD 2=DP ⋅BD
11.(2023·山东济南·统考中考真题)如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，∠ABC =2∠BCP ，点E 是BD
的中点，弦CE ，BD 相交于点E ．
(1)求∠OCB 的度数；(2)若EF =3，求⊙O 直径的长．
12.(2023·浙江舟山·统考三模)如图1，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点F ，点E 为⊙O 上一点，点C 为弧AE 的中点，连接AE ，交CD 于点G ．(1)求证：AE =CD ；(2)如图2，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点Q ，若AF =2，AE =8，求OQ 的长度；(3)在(2)的基础上，点P 为⊙O 上任一点，连接
PF 、PQ ，PF PQ
的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
模型4.与托勒密定理相关的中点模型
图1图2
1)同侧型:
条件：如图1，A为弧BC中点，∠ABC=∠ACB=θ，D为圆上△ABC底边下方一点，结论：BD+CD=2AD ×cosθ；
2)异侧型:
条件：如图2，A为弧BC中点，∠ABC=∠ACB=θ，D为圆上△ABC底边上方一点，结论：BD-CD=2AD ×cosθ；
托勒密定理(补充知识)：圆内接四边形的对角线乘积等于对边乘积的和。

即：AD×BC=BD×AC+DC×AB。

证明：1)同侧型：设AB=AC=m，则BC=2m cosθ。

由托勒密定理可知：AD×BC=BD×AC+DC×AB；即：m×BD+m×CD=2m cosθ×AD；故：BD+ CD=2AD×cosθ。

特别地：
1)当三角形为等边三角形时(即θ=60°)；结论：BD+CD=AD
2)当三角形为等腰直角三角形时(即θ=45°)；结论：BD+CD=
2AD
3)当三角形为120°的等腰直角三角形时(即θ=30°)；结论：BD +CD =3AD
2)异侧型：设AB =AC =m ，则BC =2m cos θ。

由托勒密定理可知：BD ×AC =AD ×BC +DC ×AB ；即：BD ×m =AD ×2m cos θ+CD ×m ；故：BD -CD =2AD ×cos θ。

特别地：
1)当三角形为等边三角形时(即θ=60°)；
结论：BD -CD =AD 2)当三角形为等腰直角三角形时(即θ=45°)；结论：BD -CD =2AD
3)当三角形为120°的等腰直角三角形时(即θ=30°)；结论：BD -CD =3AD
13.(2023·浙江·九年级期中)如图，AC 、BD 为圆内接四边形ABCD 的对角线，且点D 为BDC
的中点；
(1)如图1，若∠CDB =60°、直接写出AD ，AB 与AC 的数量关系；
(2)如图2、若∠CDB =90°、AC 平分∠BCD ，BC =4，求AD 的长度．
14.(2023·云南红河·统考二模)如图，在⊙O 中，CD 为⊙O 的直径，过点C 作射线CE ，∠AOC =120°，点
B 为弧A
C 的中点，连接AB ，OB ，BC ．点P 为弧BC 上的一个动点(不与B ，C 重合)，连接P A ，PB ，PC ，P
D ．(1)若∠ECP =∠PDC ，判断射线C
E 与⊙O 的位置关系；(2)求证：P A =3PB +PC ．
15.(2023·山西阳泉·九年级统考期末)阅读下列材料，并完成相应的任务.
任务：(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？
依据1： 依据2：
(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：(请写出定理名称).
(3)如图(3)，四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC 的长.
习题练模型
1.(2023秋·山西阳泉·九年级统考期末)如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧
BF 的中点，连接AC．若∠BAC=30°，AB=4，则阴影部分的面积为()
A.2π3
B.π
C.4π3
D.5π3
2.(2023·陕西榆林·校联考模拟预测)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，且CD ⊥AB 于点E ，若点E 为OB 的中点，AB =12，则劣弧CD 的长为()
A.12π
B.4π
C.6π
D.3π
3.(2023·陕西宝鸡·统考三模)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，点E 是劣弧BC 的中点，连接BC ，
DE ．若∠ABC =32°，则∠CDE 的度数为()
A.34°
B.29°
C.32°
D.24°
4.(2023·安徽滁州·校考三模)如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心O ，过点C 的切线与边AB 的延长线交于点E ，若点D 是AC 的中点，∠E =50°，则∠CAD 的度数为()
A.30°
B.35°
C.36°
D.45°
5.(2023·湖北十堰·统考模拟预测)如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB =4，AD =6，∠BAD =60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是()
A.43
B.33
C.1033
D.833
6.(2023·四川攀枝花·统考二模)如图，AB 是半圆O 的直径，C ,D 是半圆上两点，点C 是弧BD 的中点，∠DAC =30°，BC =6，则弧BC 的长为()
A.π
B.2π
C.4π
D.6π
7.(2023·新疆博尔塔拉·校考二模)如图，△ABC 内接于半径为25的半圆O 中，AB 为直径，点M 是AC 的中点，连结BM 交AC 于点E ，AD 平分∠CAB 交BM 于点D ，D 为BM 的中点，可得()
①∠ADB =135° ②BC =
1255 ③AD =22 ④tan ∠CAB =34A.①②③ B.①②④
C.①③④
D.②③④8.(2023春·江西宜春·八年级校考期末)如图，在半径为3的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，且∠D =30°，则BC 的长度是．
9.(2023·湖南常德·统考中考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧
长度的“会圆术”，如图．AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在AB
上，CD
⊥AB ．“会圆术”给出AB 长l 的近似值s 计算公式：s =AB +CD 2OA ，当OA =2，∠AOB =90°时，l -s =．(结果保留一位小数)
10.(2023·河南周口·校联考二模)如图所示，扇形OAB 中∠AOB =120°，OB =2，点C 为AB
的中点，点D 为AO 的中点，连接AB ，CD 交于点P ，则阴影部分图形的面积是(结果保留π)．
11.(2023·江苏·九年级假期作业)如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为BAC
的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB •AC ．
12.(2023秋·河北张家口·九年级统考期末)如图，A ,B 是⊙O 上两点，∠AOB =120°，C 为弧AB 上一点．
(1)写出弦AB 对的弧的度数；(2)若C 是劣弧AB
的中点，判断四边形OACB 的形状，并说明理由．
13.(2023·广东广州·九年级校考阶段练习)如图，在半径为2的⊙O中，AB是直径，M是弧AB的中点，
OC⊥OD,△COD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F(点E、F与点A、B、M均不重合)，与⊙O分别交于P、Q两点．
(1)连接OM，求证：△OBE≌△OMF．(2)连接PM、QM，试探究；在△COD绕点O旋转的过程中，
∠PMQ是否为定值？若是，求出∠PMQ的大小；若不是，请说明理由．(3)连接EF，试探究：在
△COD绕点O旋转的过程中，△EFM的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
14.(2023·浙江温州·校考三模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC 中点，BC边上的点E满足
BE=BA，连接DE并延长交⊙O于点F，连结BF．
(1)求证：DE=DC．(2)若FD平分∠BDC，BF=6，sin∠EDC=3
5时，求⊙O半径的长．
15.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是AC 的中点，DE⊥AB于点
E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
(1)求证：AF =DF ．(2)若AF =52,sin ∠ABD =55
，求⊙O 的半径．16.(2023·浙江·九年级假期作业)如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，点C 为AmB 的中点，现有以下
信息：
①AB 为直径；②∠ACD =60°；③∠CEB =105°．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是，结论是
(填写序号)，请说明理由．(2)在(1)的条件下，若AD 的长为43
π，求⊙O 半径．17.(2023·山东·统考中考真题)如图，AB 为⊙O 的直径，C 是圆上一点，D 是BC
的中点，弦DE ⊥AB ，垂足为点F ．(1)求证：BC =DE ；(2)P 是AE 上一点，AC =6,BF =2，求tan ∠BPC ；
(3)在(2)的条件下，当CP 是∠ACB 的平分线时，求CP 的长．
18.(2023·江西九江·统考三模)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 点是AB 弧上的一点，CE ⊥AB 于E ，点D 是BC 弧的中点，AD 交CE 于点F ，交BC 于点G ．
(1)判断△FGC的形状，并证明；(2)若∠CAD=30°，AB=12．①求CF的长．②求阴影部分的面
积．
19.(2023·九年级北京市校考阶段练习)阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：托勒密(Ptolemy)(公元90年~公元168年)，希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密(Ptolemy)定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD=AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE=∠CAD，交BD于点E．
∵AB AC =BE
CD
∴∠ABE=∠ACD∴△ABE∽△ACD
∴AB AC =BE
CD
∴AB•CD=AC•BE
∵AB =AB ∴∠ACB=∠ADE(依据1)
∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC
即∠BAC=∠EAD∴△ABC∽△AED(依据2)
∴AD•BC=AC•ED∴AB•CD+AD•BC=AC•(BE+ED)∴AB•CD+AD•BC=AC•BD 任务：(1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．(请写出)
(3)如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为BD 的中点，求AC的
长．
20.(2023·江苏扬州·九年级校联考阶段练习)阅读下列材料，完成文后任务：
克罗狄斯·托勒密(约公元90年-公元168年)，希腊著名的天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和．
用数学文字表示为：如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，则AB⋅CD+BC⋅AD=AC⋅BD
任务：(1)如图1，当ΔABD为等边三角形时，AC与BC+CD有怎样的数量关系？并说明理由；(2)如图2，已知BD为直径，AD=AB=132
2，BC=5，求AC的长；
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°,∠BCD=90°,AD=3，AB=33，BC=25，则
ΔADC的面积为．。