湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高三上学期数学周练(三)B卷

三、填空题
13．函数 y lg cos x
3 2
的定义域为
.
14．在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PA 底面 ABCD ，且 PA 2 ， E 为 PC 的
中点，则 P 到平面 BDE 的距离为
．
15．已知点 M 为抛物线 y x 2 上任意一点，点 N 为圆 x2 y2 2 y 3 0 上任意一点，点 P 1, 2 ，则
0
，
q
1 ，当
n
为奇数时
Sn
单调增，则
Sn
无最大值，
当 q
1
时 Sn
a1 q 1
qn 1
，
a1 q 1
0
，
q
1
,
Sn
单调增,
则 Sn 无最大值；
必要性：当 q 1 时， Sn na1 ，又 a1 0 ，则 Sn 无最大值. 可得“ a3 a1”不是“ Sn 无最大值”的必要条件； 由此可知“ a3 a1”是“ Sn 无最大值”的充分不必要条件.故选：A.
武汉市第二中学2024 届高三上数学周练（三）B 卷
一、单选题
1．复数 z (1 i)2 （ i 为虚数单位）的虚部为（ ）
1 i
A．1
B．－1
C． i
D． i
2．已知集合 A {x∣2a x a 1}， B {x∣ 2 x 3} ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 3,1
【详解】由 f (x) aex ln x x ， x 0, ，
x
f
x
a
xex ex x2
1 x
1
aex (x 1) x2
ex x(x 1) x2ex
ex x2
(x
1)
a
x ex
，
当
a
0
时， a
x ex
0
恒成立，所以在
x (0,1)
上
f
¢(x) >
0
，
f
(x)
单调递增，
在 x (1, ) 上 f x 0 ， f (x) 单调递减，
B．平面 ACD 平面 ABC
C．平面 ABC 平面 BCD
D．平面 ACD 平面 BCD
7．设函数 f x 2 x 1 log3(x 1)2 ，不等式 f ax f x 3 在 x 1, 2 上恒成立，则实数 a 的取值范围是
（）
A．
,
5 2
B． , 2
C．
1,
5 2
D．
5．A
【详解】充分性：设等比数列an的公比为 q，
a3 a1， a1 0 ， a1q2 a1 ， q2 1 可得 q 1 或 q 1 ，
又 Sn
a1
1qn 1 q
a1 q n 1 ，
q 1
当
q
1 时，若
n
为奇数，
Sn
a1 q 1
qn 1
a1 qn
1 q
1a1q，
a1 1 q
（其中 a 0,0 p 1）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为
1 2
，且相互独立，事件
Ai 表示一个家庭有 i 个孩子 (i
0,1, 2,3)
，
事件 B 表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
(1)若
p
1 2
，求
a
，并根据全概率公式
P(B)
n
i 1
P B∣Ai
3 0 交 M 于 A，
B
两点，P
为
AB
的中点，且
OP
的斜率为
1 2
.
(1)求椭圆 M 的方程;
(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD AB ，求四边形 ACBD 面积的最大值.
22．已知函数
f
(x)
1 x
x
a
ln
x
存在两个极值点
x1 ，
x 2
，且
x2
x1
0
．
(1)求 a 的取值范围；
对于 C：取 BD 的中点 O ，连接 AO ，因为 AB AD ，所以 AO BD ，
因为平面 ABD 平面 BCD ，平面 ABD 平面 BCD BD ， AO 平面 ABD ，
所以 AO 平面 BCD ，作 AE BC 与 E 点，连接 OE ，因为 OE 平面 BCD ， 所以 AO OE ，若平面 BCD 平面 ABC ，平面 BCD 平面 ABC BC ，
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．如图，在直角梯形 ABCD 中，A 90, AD//BC, AD AB 1BC 1 ，将△ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD
2
平面 BCD．在四面体 A BCD 中，下列说法正确的是（ ）
A．平面 ABD 平面 ABC
(2)若 f (x2 ) f (x1) ka 3 ，求正实数 k 的取值范围．
{#{QQABKQIEogggAAIAAAgCEQGQCAMQkAGAAIoGBBAAoAAAgBFABCA=}#}
试卷第 4页，共 4页
2024 届高三上数学周练（三）B 卷参考答案
1．B 2．A 3．D 4．C
x2
y2 3
1的左、右焦点，过
F2 的直线
与双曲线的右支交于 A, B 两点，记△AF1F2 的内切圆 O1 的面积为 S1 ，△BF1F2 的内
切圆O2 的面积为 S2 ，则（ ）
A．圆 O1 和圆 O2 外切 C． S1 S2 2
B．圆心O1 一定不在直线 AO 上
D． S1 S2 的取值范围是2 ,3
3．已知 m 0
，
n
B． 3,1
0 ，空间向量
a
m,
4,
C3． 与b1,01,
n,
2
D． 垂直，则
1,1
mn 的最大值为（
）
A．
3 2
B． 3
C． 9
D．
9 4
4．已知 (ax 2)(x 1)4 的展开式中 x3 的系数为 2 ，则实数 a （ ）
A．2
B． 1
C．1
D． 2
5．已知等比数列an的前 n 项和为 Sn ，其中 a1 0 ，则“ a3 a1”是“ Sn 无最大值”的（ ）
所以 x
2
ax 1
x
2
，即 1
1 x
a
1
3 x
，即
1
1 x
max
a
1
3 x
min
，
又因为函数
y
1
1 x
在
x 1, 2 上单调递增，所以当
x
2
时，
1为函数
y
1
3 x
在
x 1, 2 上单调递减，所以当
x
2 时， 1
3 x
max
5 2
，所以
3 2
a
5 2
，
8．A
P
Ai
求
P
B
；
(2)是否存在
p
值，使得
E
X
5 3
，请说明理由.
{#{QQABKQIEogggAAIAAAgCEQGQCAMQkAGAAIoGBBAAoAAAgBFABCA=}#}
试卷第 3页，共 4页
21．在平面直角坐标系
xOy
中，过椭圆
M：
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的右焦点的直线
x
y
3 2
,
5 2
8．已知 f x aex ln x x 存在唯一极小值点，则 a 的范围是（ ）
x
A．
a
1 e
B．
a
1 e
C． a e
D． a e
二、多选题
9．如图，某高速服务区停车场中有 A 至 H 共 8 个停车位（每个车位只能停一辆车），现有 2 辆黑色车
和 2 辆白色车要在该停车场停车，则（ ）
{#{QQABKQIEogggAAIAAAgCEQGQCAMQkAGAAIoGBBAAoAAAgBFABCA=}#}
答案第 1页，共 8页
由 g x 2 | x | 2log3 | x | g x ，所以函数 y g x 为偶函数， 当 x 0 时， g x 2x 2log3x 为单调递增函数，当 x 0 时， y g x 为单调递减函数， 因为 f ax f x 3 在 x 1, 2 上恒成立，所以 g ax 1 g x 2 ， 根据函数 g x 的奇偶性与单调性得，| ax 1|| x 2 | ，又因为 x 1, 2 ，
6．B
【详解】对于 B：因为在直角梯形 ABCD 中， AD//BC，AD AB 1BC 1，A 90 ，
2
在△BCD 中， BD 2，BC 2，DBC 45 ，由余弦定理，得 DC 2 ，
所以 BD2 DC2 BC2 ，可得 BD CD ，又平面 ABD 平面 BCD ，
且平面 ABD 平面 BCD BD ， CD 平面 BCD ，
故 CD 平面 ABD ， AB 平面 ABD ，则 CD AB ，又 AD AB ， CD AD D ， CD、AD 平面 ACD ，
所以 AB 平面 ACD ，又 AB 平面 ABC ，所以平面 ACD 平面 ABC ，故 B 正确；
8 3
，
n
2 an1
n2
2n n
2
Sn
．
(1)求
a1 ，并证明数列
n 1 n
Sn
是等比数列；(2)若 bn
n 1 n2
Sn
，求数列 bn 的前
n
项和 Tn
．
19．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 AB 2 ，E 为 A1B 的中点，平面 A1BC 平面 ABB1A1 ．
(1)求函数 f (x) 的单调递增区间；
(2)若对任意的
x
π 4
,
π
，不等式
f
(x)
m
3 恒成立，求实数
m
的取值范围
{#{QQABKQIEogggAAIAAAgCEQGQCAMQkAGAAIoGBBAAoAAAgBFABCA=}#}
试卷第 2页，共 4页
18．已知数列an
的前
n
项和为
Sn
，
S2
A．4 辆车的停车方法共有 1680 种
B．4
辆车恰好停在同一行的概率是
1 35
C．2 辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有 300 种
D．相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的概率是
1 5
ABCD EFGH
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABKQIEogggAAIAAAgCEQGQCAMQkAGAAIoGBBAAoAAAgBFABCA=}#}
所以 f (x) 没有极小值点，只有极大值点，不合题意，
当a
0 时，令
g(x)
x ex
，
x 0, ，
g ( x )
ex xex (ex )2
1 x ex
，令 g(x)
0得
x
1，
(1)求证： AE BC ； (2)若A1BC 的面积为 2 2 ，试判断在线段 A1C 上是否存在点 D，使得二面角
A
BD
C
的大小为
2π 3
．若存在，求出
A1D A1C
的值；若不存在，说明理由．
20．根据社会人口学研究发现，一个家庭有 X 个孩子的概率模型为：
X1 23
0
P
a p
a
a 1 p
a(1 p)2
对于 A：若平面 ABD 平面 ABC ，平面 ABD 平面 ABC AB ， AD 平面 ABD ，
又 AD AB ，所以 AD 平面 ABC ，而 AC 平面 ABC ，所以 AD AC ，
由 B 知 CD 平面 ABD ， AD 平面 ABD ，所以 AD CD ， 在△ADC 中， DAC CDA 90 ，显然不可能，故 A 错误；
12．已知点 A，B 是函数 f x x3 2x2 axaR 图象上不同的两点，则下列
结论正确的是（ ）
A．若直线
AB
与
y
轴垂直，则
a
的取值范团是
,
4 3
B．若点 A，B 分别在第二与第四象限，则 a 的取值范围是 ,0
C．若直线
AB
的斜率恒大于
1，则
a
的取值范围是
7 3
,
D．不存在实数 a，使得 A，B 关于原点对称
4
4
MP MN 的最小值为
.
16．已知函数
f
(
x)
x2 ln
x,
2ex 2, (x 0)
(
x
0)
，若存在实数
a
b
c
，满足
f
(a)
f
(b)
f
(c) ，则 af
(a) bf
(b) cf
(c)
的最小值为
．
四、解答题
17．已知函数 f (x) 2 3 sin x cos x 2cos 2x 1 ．
在△ABD 中， BAD ADB 90 ，显然不可能，故 D 错误.故选：B.
7．D
【详解】解：设 g x f x 1 ，即 g x 1 f x ，
因为 f x 2 x 1 log3(x 1)2 ，所以 f x 2 x 1 2log3 x 1 ，所以 g x 2 x 2log3 x ，
10．函数
f
x
sin
x
A
0,
0,
π 2
的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（
）
A．函数 f x 的周期为 π
B．直线
x
π 6
是函数
f
x
图象的一条对称轴
C．函数
f
x
的单调递增区间为
5π 12
kπ, π 12
kπ
k
Z
D．函数
f
x
π 12
是偶函数
11．如图所示，已知 F1, F2
分别为双曲线
AE 平面 ABC ，所以 AE 平面 BCD，因为 OE 平面 BCD ，所以 AE OE ，
在△AOE 中， AOE AEO 90 ，显然不可能，故 C 错误； 对于 D：若平面 BCD 平面 ACD ，平面 BCD 平面 ACD CD ， BD 平面 BCD ，
且由 B 知 BD CD ，所以 BD 平面 ACD ，因为 AD 平面 ACD ，所以 BD AD ，