华师大版初中数学七年级下册《9.2 多边形的内角和与外角和》同步练习卷

华师大新版七年级下学期《9.2 多边形的内角和与外角和》2019
年同步练习卷
一．解答题（共40小题）
1．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△
DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP＝AD时（如图②）：
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：；
（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：．2．四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）
求证：S△OBC•S△OAD＝S△OAB•S△OCD；
（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．
3．附加题：
如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
4．已知线段AC＝8，BD＝6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1＝，S2＝，S3＝；
（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的
任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．
5．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．
（1）写出表示第四条边长的式子；
（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？
6．我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为a n．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．
（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中a n＝；（用含n的式子表示）
（3）已知＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，则n＝．
7．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n＝3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：
“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
8．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图
①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．
第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案，所以，此类共有P5种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．
第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分制方案．所以，此类共有P4种分制方案．
第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．
所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5＝P5＝14（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝×P6，共有种不同的分割方案．
【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．
【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）
9．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形，……；则n边形可以分割成个三角形．
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为．
（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成个三角形．
10．如图，三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析，
（1）请你计算十边形的对角线有多少条？．
（2）你能总结出n边形的对角线有多少条吗？（用含n的代数式表示）
11．探索规律：
（1）为丰富师生的课余生活，西南片区五所学校联合举行教师篮球赛和学生联谊活动，每校派一支教工篮球队，各派30名学生参加联谊活动．
①如果篮球赛采取单循环比赛（每两支队伍之间只进行一场次的比赛），则篮球赛共需赛
场；
②学生联谊活动：全体同学制作手工小礼品，活动结束，全体同学互赠手工小礼品（数量
刚好足够赠送），问：本次活动共制作了件小礼品；
③如果参加联谊活动的同学有n个人，问活动共制作了件小礼品．
（2）给出下列算式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…，观察上面一系列等式，你能发现什么规律？设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个算式的规律为：．
12．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：
（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．
（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边
数．
13．阅读下列内容，并答题：
我们知道计算n边形的对角线条数公式为，如果有一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程＝20，去分母得n（n﹣3）＝40；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）＝40的整数n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；
（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确吗？为什么？
14．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝100°，AC平分∠BCD，且∠ACB＝40°，∠BAC ＝70°．
（1）AD与BC平行吗？试写出推理过程；
（2）求∠DAC和∠EAD的度数．
15．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A＝130°，∠C＝125°．
（1）求∠B的度数；
（2）当∠D＝°时，AB∥DE．请说明理由．
16．如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1.1：1：0.5：1．求它的四个内角的度数．
17．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD，
（1）求证：∠DEC+∠DCE＝90°；
（2）如图2，若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F＝58°，求∠ABC．18．（1）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，∠A ＝40°，求∠P的度数．
（2）如图2，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角
∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．
①如图2，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用含α，β的代数式表示）
②如图3，若α+β＜180°，请在图3中画出∠P，并直接写出∠P的度数．（用含α，β的
代数式表示）
19．请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．
（1）如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A＝50°，则∠BPC＝°；
（2）如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，直接写出∠BPC与∠A的数量关系．
（3）如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与外角∠FCB的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D＝α．
①写出∠BPC与α的数量关系；
②根据α的取值范围，直接判断△BPC的形状（按角分类）
20．（1）我们在小学已经学过：三角形的三个内角的和等于180°．如图1中，△ABC的内角和∠1+∠2+∠3＝180°，那么在图2中，四边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4＝．（2）我们知道平角等于180°，图1中∠1+∠4＝；
（3）求图1中∠4+∠5+∠6的大小；图2中∠5+∠6+∠7+∠8的大小．
21．动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系
已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．并说明理由
探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由
探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如图（3）所示，请你直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系
22．如图所示中的几个图形是五角星和它的变形．
（1）图甲中是一个五角星形状，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）图甲中的点A向下移到BE上时（如图乙）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？试说明理由
（3）把图乙中的点C向上移动到BD上时（如图丙所示），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？试说明理由．
23．如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．
（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝°；∠E＝°；
（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为．
24．初一（10）班数学学习小组“孙康映雪”在学习了第七章平面图形的认识（二）后对几何学习产生了浓厚的兴趣．请你认真研读下列三个片断，并完成相关问题．
如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
【片断一】
（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝°．
【片断二】
（2）小康说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．
【片断三】
（3）小雪说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．
25．如图，在四边形ABCD中，已知BE平分∠ABC，∠AEB＝∠ABE，∠D＝70°．（1）试说明：AD∥BC；
（2）求∠C的度数．
26．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
27．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
28．已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代数式直接填空）；
（2）如图1，若x＝y＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．
①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存
在．
29．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．
（1）当∠A为70°时，
∵∠ACD﹣∠ABD＝∠
∴∠ACD﹣∠ABD＝°
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1CD﹣∠A1BD＝（∠ACD﹣∠ABD）
∴∠A1＝°；
（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、A n，请写出∠A与∠A n的数量关系；
（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D＝230度，则∠F＝．
（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q﹣∠A1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
30．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
31．如图，六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，∠A＝140°，∠B＝100°，∠E＝90°，求：∠C、∠D、∠F的度数．
32．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．（1）试探究∠1与∠2有何关系，并说明理由．
（2）试探究BE与DF有何位置关系，并说明理由．
33．已知一个n边形的每一个内角都等于150°．
（1）求n；
（2）求这个n边形的内角和；
（3）从这个n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？
34．如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：；（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝度
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠C，∠P，∠D之间的数量关系，并证
明．
35．（1）如图①，△ABC的三边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6分别两两相交，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6等于多少度？
（2）如图②，四边形ABCD的四边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、A7A8分别两两相交，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠7+∠8的度数；
（3）若n边形的n条边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、…、A2n﹣1A2n分别两两相交，求∠A1+∠A2+…+∠A2n＝．
36．阅读下列材料，然后解答后面的问题．
（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．
（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．
求证：∠BCD＝∠B+∠A+∠D．
（3）性质应用：
如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC ＝140°，∠AEC＝102°，则∠B＝°．
37．已知如图，四边形ABCD中∠BAD＝α，∠BCD＝β，BE、DF分别平分四边形的外角∠
MBC和∠NDC
（1）如图1，若α+β＝150°，则∠MBC+∠NDC＝度；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请求出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
38．如图，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．
①如图1，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α、β的代数式表示）
②如图2，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并求得∠P＝．（用α、β的代数
式表示）
39．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE平分∠BAD交CD于点E，过点C 作CF∥AE交AB于点F．
求证：CF平分∠BCD．
40．如图1，一张△ABC纸片，点M、N分别是AC、BC上两点．
（1）若沿直线MN折叠，使C点落在BN上，则∠AMC′与∠ACB的数量关系是（写
出结论即可）．
（2）若折成图2的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．（3）若折成图3的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．（4）将上述问题推广，如图4，将四边形ABCD纸片沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABNM的内部时，∠AMD′+∠BNC′与∠C、∠D之间的数量关系是（写出结论即可）．
华师大新版七年级下学期《9.2 多边形的内角和与外角
和》2019年同步练习卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△
DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP＝AD时（如图②）：
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC＝S△DBC+S△
ABC；
（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC＝S△DBC+S△ABC．．
【分析】（2）仿照（1）的方法，只需把换为；
（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；
（4）综合（1）（2）（3）得到面积和线段比值之间的一般关系；
（5）利用（4），得到更普遍的规律．
【解答】解：（2）∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC
（3）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；
（4）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC
问题解决：S△PBC＝S△DBC+S△ABC．
【点评】注意总结相应规律，类似问题通常采用类比的方法求解．
2．四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）
求证：S△OBC•S△OAD＝S△OAB•S△OCD；
（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．
【分析】（1）根据三角形的面积公式，则应分别分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F．然后根据三角形的面积公式分别计算要证明的等式的左边和右边即可；
（2）根据（1）中的思路，显然可以归纳出：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线
上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．证明思路类似．
【解答】
证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，
则有：S△AOB＝BO•AE，
S△COD＝DO•CF，
S△AOD＝DO•AE，
S△BOC＝BO•CF，
∴S△AOB•S△COD＝BO•DO•AE•CF，
S△AOD•S△BOC＝BO•DO•CF•AE，
∴S△AOB•S△COD＝S△AOD•S△BOC．；
（2）能．
从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．
或S△AOD•S△BOC＝S△AOB•S△DOC，
已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，
求证：S△AOD•S△BOC＝S△AOB•S△DOC．
证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，
则有：S△AOD＝DO•AE，S△BOC＝BO•CF，
S△OAB＝OB•AE，S△DOC＝OD•CF，
∴S△AOD•S△BOC＝OB•OD•AE•CF，
S△OAB•S△DOC＝BO•OD•AE•CF，
∴S△AOD•S△BOC＝S△OAB•S△DOC．
【点评】恰当地作出三角形的高，根据三角形的面积公式进行证明．
3．附加题：
如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
【分析】可以再做五边形的一条中对线，根据它们分割成的两部分的面积相等，都是五边形的面积的一半，导出两个等底的三角形的面积相等，从而得到它们的高相等，则得到五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
【解答】证明：取A1A5中点B3，连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5，
∵A3B1＝B1A4，
∴S△A1A3B1＝S△A1B1A4，
又∵四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4A5的面积相等，
∴S△A1A2A3＝S△A1A4A5，
同理S△A1A2A3＝S△A3A4A5，
∴S△A1A4A5＝S△A3A4A5，
∴△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等，
∴A1A3∥A4A5，
同理可证A1A2∥A3A5，A2A3∥A1A4，A3A4∥A2A5，A5A1∥A2A4．
【点评】此题要能够根据面积相等得到两条直线间的距离相等，从而证明两条直线平行．4．已知线段AC＝8，BD＝6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1＝24，S2＝24，S3＝24；
（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．
【分析】（1）把四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和，然后列式求解即可；（2）猜想，四边形的面积等于互相垂直的对角线乘积的一半，然后根据四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和进行证明．
【解答】解：（1）S1＝×6×3+×6×5＝9+15＝24，
S2＝×6×4+×6×4＝12+12＝24，
S3＝×6×6+×6×2＝18+6＝24；
（2）猜想四边形ABCD面积为24，
理由如下：S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝BD•AO+BD•CO，
＝BD（AO+CO），
＝BD•AC，
＝×8×6，
＝24．
【点评】本题考查了多边形，三角形的面积，把四边形的面积分成两个三角形的面积的和是
解题的关键，利用规则图形的面积求不规则图形的面积是常用的方法之一．
5．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．
（1）写出表示第四条边长的式子；
（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？
【分析】（1）根据题意分别运用代数式表示其它各边，再根据周长进行计算；
（2）注意根据（1）中的式子代入进行计算分析．
【解答】解：（1）根据题意得：第二条边是3a﹣5，第三条边是a+3a﹣5＝4a﹣5，
则第四条边是46﹣a﹣（3a﹣5）﹣（4a﹣5）＝56﹣8a．
答：第四条边长的式子是56﹣8a．
（2）当a＝7cm时不是四边形，
因为此时第四边56﹣8a＝0，只剩下三条边，
三边长为：a＝7cm，3a﹣5＝16cm，4a﹣5＝23，
由于7+16＝23，所以，图形是线段．
答：当a＝7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．
【点评】首先根据第一条边长表示出第二条边，然后表示出第三条边，最后根据周长表示出第四条边．其中要注意合并同类项法则．
（2）中，只需根据（1）中所求的代数式，把字母的值代入计算，然后进行分析图形的形状．6．我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为a n．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．
（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝42，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中a n＝n（n+1）；（用含n的式子表示）
（3）已知＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，则n＝99．
【分析】（1）根据图形变化规律，画出正方形的“扩展图形”即可；
（2）根据图形可知正n边形的“扩展图形”中a n＝n（n+1），依此即可求解；
（3）先拆分，再抵消得到方程﹣＝，解方程即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）图4中a6＝6×7＝42，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中a n＝n（n+1）；（用含n的式子表示）
（3）∵＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，∴﹣＝，
解得n＝99．
故答案为：42，n（n+1）；99．
【点评】此题考查了多边形，图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．
7．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n＝3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【分析】（1）边长＝周长÷边数；
（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值．
【解答】解：（1）a＝20；
（2）此说法不正确．
理由如下：尽管当n＝3、20、120时，a＞b或a＜b，
但可令a＝b，得，即．
∴60n+420＝67n，
解得n＝60，
经检验n＝60是方程的根．
∴当n＝60时，a＝b，即不符合这一说法的n的值为60．
【点评】读懂题意，找到相应量的等量关系是解决问题的关键．
8．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图
①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再。