高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.8 空间向量在空间几何体的运用(二)(解析版)

9.8 空间向量在空间几何体的运用（二）
一．两条异面直线所成角的求法
1.几何法
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）
（2）图示
2.向量法：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
二．直线与平面所成角的求法
1.几何法
（1）线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
（2）图示
2.向量法：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角
为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n |
|a ||n |.
三．求二面角的大小 1.几何法
（1）定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 （2）图示
2.向量法
(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →
〉．
(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．
考向一 线线角
【例1】如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .
(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；
(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值． 【答案】见证明
【解析】(1)证明 如图所示，连结BD ，设BD ∩AC ＝G ，连结EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1. 由∠ABC ＝120°， 可得AG ＝GC ＝ 3.
由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC .
在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝
22
. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝
62
. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝
22，可得EF ＝322
，从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，AC ，FG ⊂平面AFC ， 所以EG ⊥平面AFC .
因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .
(2)如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 所在直线为x 轴、y 轴，|GB →
|为单位长度，建立空间直角坐标系
G －xyz ，由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)，F ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－1，0，
22，C (0，3，0)， 所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝
⎛
⎭⎪⎫－1，－3，22.
故cos 〈AE →，CF →
〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33.
【举一反三】
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 和1BC 所成角的大小为（ ）
A ．
3
π B ．
2
π C ．
23
π D ．
3π或23
π 【答案】A
【解析】连接1AD ，1CD
11//BC AD 1D AC ∴∠即为异面直线AC 与1BC 所成角
又11AD AC CD == 13
D AC π
∴∠=
即异面直线AC 与1BC 所成角为：
3
π
本题正确选项：A 2．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒
∠=∠=，则异面直线1AB 与1
BC 所成角的余弦值为（ ）
A
B
C
D
【答案】B
【解析】设棱长为1，1AA c
=，AB a =，AC b = 由题意得：12a b ⋅=
，12b c ⋅=，1
2
a c ⋅= 1AB a c =+，11BC BC BB
b a
c =+=-+
()()
221111
11122
AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=
-++= 又()
22123AB a c a a c c =
+=+⋅+=
()
2
2221222
2BC b a c b a c a b b c a c =
-+=++-⋅+⋅-⋅
=
111111
cos ,66
AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>=
=
=⋅
即异面直线1AB 与1BC
所成角的余弦值为：
6
B 考向二 线面角
【例2】.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝BC ＝3，AD ＝CD ＝1，∠ADC ＝120°，点
M 是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上，且PN ＝14
PB .
(1)证明：MN ∥平面PDC ；
(2)求直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值． 【答案】见解析
【解析】(1)证明 因为AB ＝BC ，AD ＝CD ，所以BD 垂直平分线段AC . 又∠ADC ＝120°，所以MD ＝12AD ＝12，AM ＝3
2
.所以AC ＝ 3.
又AB ＝BC ＝3，所以△ABC 是等边三角形，所以BM ＝32，所以BM
MD ＝3，
又因为PN ＝14PB ，所以BM MD ＝BN
NP ＝3，所以MN ∥PD .
又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以MN ∥平面PDC . (2)因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ， 又BD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .
由(1)知MN ∥PD ，所以直线MN 与平面PAC 所成的角即直线PD 与平面PAC 所成的角， 故∠DPM 即为所求的角．
在Rt △PAD 中，PD ＝2，所以sin ∠DPM ＝DM DP ＝1
22＝1
4
，
所以直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为1
4.
【举一反三】
1．如图，在几何体1111ACD A B C D -中，四边形1111ADD A CDD C ，为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，
11B A ⊥平面11ADD A ，1111,2AD CD AA A B ====，E 为棱1AA 的中点.
（Ⅰ）证明：11B C ⊥平面1CC E ；
（Ⅱ）求直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值.
. 【解析】（Ⅰ）因为11B A ⊥平面11ADD A ，所以111B A DD ⊥，
又11111111DD D A B A D A A ⊥⋂=，，所以1DD ⊥平面1111D C B A ， 又因为11//DD CC ，所以1CC ⊥平面1111D C B A ，11
B C ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B C ⊥，
因为平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，平面11ADD A ⋂平面111CDD C DD =，111C D DD ⊥，
所以11C D ⊥平面11ADD A ，
经计算可得1111B E BC EC 从而222
1111B E B C EC =+，所以在11B EC 中，111B C C E ⊥，
又11CC C E ⊂，平面1111CC E CC C E C ⋂=，，所以11B C ⊥平面1CC E .
（Ⅱ）如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得()()()10001,0,00,2,2A C B ，，，，， ()()11,2,10,1,0C E ，.
∵1(1,1,1)(1,2,1)CE B C =--=--，， 设平面1B CE 的一个法向量(,,)m x y z =
则100m B C m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，，
即200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩，，
消去x 得20y z +=， 不妨设1z =，可得()3,2,1m =--， 又()111,0,1B C =-，
设直线11B C 与平面1B CE 所成角为θ，
于是111111
sin cos ,14||m B C
m B C m B C θ⋅==
=
=⋅，
故直线11B C 与平面1B CE
. 2．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，
124AA AD AB ===．
（1）证明：AE ⊥平面ECD ．
（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析.(2)
9
【解析】（1）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，则1AA CD ⊥ .
又CD AD ⊥，1AA AD A =，
所以CD ⊥平面11AA D D ，所以CD AE ⊥.
因为1AA AD ⊥，1AA AD =，所以11AA D D 是正方形，所以AE ED ⊥. 又CD
ED D =，所以AE ⊥平面ECD .
（2）因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，底面ABCD 是矩形，所以以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,0,0,0,4A A ,()()2,4,0,0,2,2C E ，
()2,4,0AC = , ()0,2,2AE = ,()1
2,4,4AC =- 设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =
由n AC ⊥，n AE ⊥，可得240,220x y y z +=+=， 令1z =，则()2,1,1n =-，
设直线1A C 与平面EAC 所成的角为α，
则116sin 9
A C n A C n
α⋅=
=
. 所以直线1A C 与平面EAC
考向三 面面角
【例3】如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⊥AC 1.
(1)求AA 1的长；
(2)若BP ＝1，求二面角P －A 1C －A 的余弦值． 【答案】见解析
【解析】(1)以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，
设AA 1＝t ，则A (0,0,0)，C 1(0,4，t )，B 1(3,0，t )，C (0,4,0)， 所以AC 1
—
→
＝(0,4，t )，B 1C →
＝(－3,4，－t )，
因为B 1C ⊥AC 1，所以AC 1—→·B 1C —→＝0，即16－t 2
＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4.
(2)因为BP ＝1，所以P (3,0,1)，又C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，故A 1C —→＝(0,4，－4)，A 1P —→
＝(3,0，－3)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面PA 1C 的法向量， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ⊥A 1C —→，
n ⊥A 1P —→，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
4y －4z ＝0，
3x －3z ＝0，取z ＝1，解得y ＝1，x ＝1，∴n ＝(1,1,1)为平面PA 1C 的一个法向量，
显然，AB →
＝(3,0,0)为平面A 1CA 的一个法向量， 则cos 〈n ·AB →
〉＝n ·AB →|n |·|AB →|＝331＋1＋1
＝33，
据图可知，二面角P －A 1C －A 的余弦值为
33
.
【举一反三】
1．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为菱形，8AC =，6BD =，O 为对角线AC 与BD 的交点，PO ⊥底面ABCD 且4PO =
（1）求异面直线PA 与BC 所成角的余弦值；
（2）求平面APC 与平面PCB 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1
）
5
；（2
）17
【解析】
底面ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥
又PO ⊥底面ABCD ，,AO BO ⊂底面ABCD PO AO ∴⊥，PO BO ⊥ 以O 为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系
则()0,0,4P ，()4,0,0A ，()0,3,0B ，()4,0,0C -
（1）设θ为异面直线PA 与BC 所成的角，又()4,0,4PA =-，()4,3,0BC =--
cos 5
4PA BC PA BC
θ⋅
-∴=
=
=
⋅ ∴异面直线PA 与BC
（2）
BO ⊥平面APC ∴平面APC 的法向量取()10,1,0n =
设平面PCB 的法向量为()2,,n x y z =，又()0,3,4PB =-，()4,3,0BC =--
则22340430
n PB y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令3z =，则4y =，3x =- ()23,4,3
n ∴=- 设α为两个平面所成的锐二面角的平面角，则：12
12
4cos 17
134
n n n n α⋅=
=
=
⨯
∴平面APC 与平面PCB 所成锐二面角的余弦值为：17
考向四 角的运用
【例4】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，Q 为AD 的中点．
()I 若PA PD =，求证：AD PB ⊥；
()II 若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角M BQ C --大小为60︒，并求出
PM
PC
的值．
【答案】见解析
【解析】()I 证明：PA PD =，Q 为AD 的中点，PQ AD ∴⊥， 又底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，BQ AD ∴⊥， 又PQ
BQ Q =，AD ∴⊥平面PQB ，
又
PB ⊂平面PQB ，AD PB ∴⊥；
（Ⅱ）解：平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PQ AD ⊥， PQ ∴⊥平面ABCD ．
以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系如图．
则由题意知：(0Q ，0，0)，(0P ，0，(0B 0)，(2C -0)，
设(01)PM PC λλ=<<，则(2M λ-))λ-，
平面CBQ 的一个法向量是(0n =，0，1)， 设平面MQB 的一个法向量为(m x =，y ，)z ，
则2)03
m QM x y z m QB y λ
λλ⎧=--=⎪⎨==⎪⎩，取z =，则33(2m λλ-=，
二面角M BQ C --大小为60︒，
∴
1||
2||||
1(
m n m n ==⨯
，
解得13λ=，此时1
3
PM PC =．
【举一反三】
1.如图， 已知长方形ABCD 中，AB =AD =M 为DC 的中点 ． 将ADM ∆沿AM 折起，
使得平面ADM ⊥平面ABCM
．
（1） 求证：AD BM ⊥；
（2） 若点
E 是线段DB 上的一动点， 问点E 在何位置时， 二面角
E AM D --【答案】见解析 【解析】证明： （1）
长方形ABCD 中，AB =AD =
，M 为DC 的中点，
2AM BM ∴==，BM AM ∴
⊥⋯
平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM
⋂平面ABCM AM =，BM ⊂平面ABCM
BM ∴⊥平面ADM
AD ⊂平面ADM AD BM ∴⊥⋯
（2） 取AM 中点O 为原点，OA 为x 轴，OD 为z 轴， 建立如图所示的直角坐标系， 设DE DB λ=，则平面AMD 的一个法向量(0n =， 1 ，0)，⋯（7分）
(1ME MD DB λλ=+=-，2λ，1)λ-，(2AM =-， 0 ，0)，
设平面AME 的一个法向量(m x =，y ，)z ，
则20(1)2(1)0
m AM x m ME x y z λλλ⎧=-=⎪⎨=-++-=⎪⎩， 取1y =，得(0m =， 1 ，2)1
λ
λ-，⋯（10分）
二面角E AM D --
的余弦值为
5
，
cos ,||||
1(m n
m n m n ∴<>=
=
=+
， 解得1
2
λ=
，故E 为BD 的中点时， 二面角E AM D --⋯（11分）
2．四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，侧面底面，，
是中点，点在侧棱上．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若是中点，求二面角的余弦值； （Ⅲ）是否存在，使平面？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【答案】见解析
ABCD PAD ⊥
ABCD 60BCD ∠=︒PA PD ==E BC Q PC AD PB ⊥Q PC E DQ C --Q //PA DEQ PQ
PC
【解析】证明：（Ⅰ）取中点，连接，，． 因为，所以．
因为菱形中，，所以． 所以． 因为，且，平面，所以平面．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，， 因为侧面底面，且平面底面，
所以底面．
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系． 则，
因为为中点，所以． 所以， 所以平面的法向量为．
因为， 设平面的法向量为，
则，即． 令
．
AD O OP OB BD PA PD =PO AD ⊥ABCD 60BCD
∠=︒AB BD =BO AD ⊥BO
PO O =BO PO ⊂POB AD ⊥POB AD PB ⊥BO AD ⊥PO AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PO ⊥ABCD O O xyz -(1,0,0),((0,0,1),(D E P C ---Q PC 1()2Q -31(0,3,0),(0,
)2
DE DQ ==DEQ 1(1,0,0)n =31
(1,3,0),(0,
)22
DC DQ =-=DQC 2(,,)n x y z =2200
DC n DQ n ⎧=⎪⎨=⎪⎩0
1
02
x y z ⎧-+=+=x =
1,y z ==2(3,1,n =
所以．
由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为． （Ⅲ）设
由（Ⅱ）可知． 设，，，则， 又因为，
所以，即．
所以在平面中，， 所以平面的法向量为， 又因为平面，所以， 即，解得23
λ=． 所以当2
3
λ=
时，//PA 平面DEQ ．
1．如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠= ，沿BD 将ABD ∆ 翻折，得到三棱锥A BCD - ，则当三棱锥A BCD -体积最大时，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（ ）
12121221
cos ,7||||
n n n n n n <>=
=E DQ C --7
(01)PQ PC λλ=(2,3,1),(1,0,1)
PC PA =--=-(Q x y )z (,,1)PQ x y
z =-(2,)PQ PC λλλ==-
-21x y z λλ=-⎧⎪
=⎨⎪=-+
⎩
(2,1)Q λλ--+DEQ (0,3,0),(12,1)DE DQ λλ==--DEQ 1(1,0,21)n λ
λ=--//PA DEQ 10PA n =(1)(1)(21)0λλ-+--=
A ．
58
B ．
23
C ．
1316
D ．
14
【答案】D
【解析】当三棱锥A BCD -体积最大时，平面ADB 平面BDC ，
边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ︒
∠=BD 1
取DB 中点O ，连接AO,OC ，则AO ⊥平面BDC ，OC
平面ADB ，
以O 为原点，分别OB,OC,OA 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系
则131D
,0,0,A 0,0,,B ,0,0222，3C 0,,0
13
13,0,,,,02
2
22
AD
BC 设异面直线AD 与BC 所成角为θ
1||
14
cos
11
4
||||AD BC AD BC 即异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为14
故选D 。

2．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA AD ==，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则异面直线1AA 与EF 所成的角的正切值为_____．
【解析】如图，设1AD =，则122AB AA AD ===.
∵E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，∴1BE =，1BC =，1CF =，CE
∵11//AA CC ，∴EFC ∠为异面直线1AA 与EF 所成的角，则tan CE
EFC CF
∠=
=
3．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AB AD ==2CA CB CD BD ====.
（1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离。

【答案】（1）见解析（2
3
【解析】（1）证明：连接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD，∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD．
在△AOC
中，由题设知1
AO CO
==
，AC＝2，
∴AO2+CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．
∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD．
（2）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在△OME
中，
11
1
222
EM AB OE DC
====，
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴
1
1
2
OM AC
==，
∴
1
11
4
cos OEM
+-
∠==
∴异面直线AB与CD
所成角大小的余弦为
4（3）解：设点E到平面ACD的距离为h．
E ACD A CDE V V --=，
1
1
3
3
ACD CDE
h S AO S ∴=
．．．，
在△ACD 中，2CA CD AD =
==
，，
∴122ACD
S
==，
∵AO ＝1
，2122CDE
S
=
=
，
∴12
CDE ACD
AO S h S ⋅=
=
=，
∴点E 到平面ACD 的距离为
7
．
4．如图所示，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，22PD DC AD ===，AD DC ⊥，
45BCD ∠=︒．
（Ⅰ）设PD 的中点为M ，求证：//AM 平面PBC ； （Ⅱ）求PA 与平面
PBC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角B PC D --的正弦值．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）证明：建立如图所示空间直角坐标系，设BC =，
又22PD CD AD ===，
则(1A ，0，0)，(B a ，2a -，0)，(0C ，2，0)，(0P ，0，2)，(0M ，0，1)．
(,2,2)PB a a =--，(0,2,2)PC =-，
设平面PBC 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，
则(2)20220
n PB ax a y z n PC y z ⎧=+--=⎪⎨
=-=⎪⎩，令1z =，得(1n =，1，1)，
而(1AM =-，0，1)，∴0AM n =，即AM n ⊥， 又AM ⊂/平面PBC ， 故//AM 平面PBC ； （Ⅱ）解：
(1PA =，0，2)-，设PA 与平面PBC 所成角为α，
由直线与平面所成角的向量公式有sin |cos ,||155PA n α=<>==⨯ （Ⅲ）解：平面PBC 的一个法向量为(1n =，1
，1)， 由题意可知，平面PCD 的一个法向量为(1,0,0)m =，
cos ,||||33
m n m n
m n ∴<>=
=
=
． 可得二面角B PC D --的正弦值为
3
5．如图，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，1AB BC PA ===，3AD =，E 是PB 的中点．
（1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1C ，1，0)，
(0D ，3，0)，(0P ，0，1)，1(2E ，0，1
)2
，
1(2AE ∴=，0，1
)2，(0BC =，1，0)，
(1BP =-，0，1)．
0AE BC ∴=，0AE BP =，
所以AE BC ⊥，AE BP ⊥． 所以AE BC ⊥，AE BP ⊥． 因为BC ，BP ⊂平面PBC ，且BC BP B =，
所以AE ⊥平面PBC ．
（2）解：设平面PCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则0n CD =，0n PD =．
因为(1CD =-，2，0)，(0PD =，3，1)-，所以20
30x y y z -+=⎧⎨-=⎩
．
令2x =，则1y =，3z =．
所以(2n =，1，3)是平面PCD 的一个法向量． 8⋯分 因为AE ⊥平面PBC ，所以AE 平面PBC 的法向量． 所以cos AE <，57
14
||||AE n n AE n >=
=
．
根据图形可知，二面角B PC D --的余弦值为14
-
． 10⋯分
6．如图，几何体PDBAC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，BDC ∆为等腰直角三角形，BDC ∠为直角，平面BDC ⊥平面ABC ，2PA AC ==，M 为PB 的中点． （1）求证：//DM 平面ABC ； （2）求二面角B DM C --的余弦值．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：取BC 中点O ，连接DO ，连接AO ，
，BDC ∆为等腰直角三角形，BDC ∠为直角，平面BDC ⊥平面ABC ，
DO ∴⊥面ABC ，
，ABC ∆为正三角形，AO BC ∴⊥，
故以O 为原点，建立空间直角坐标系（如图所示）．
2PA AC ==，(1B ∴，0，0)，(1C -，0，0)，(0A
，0)，
(0D ，0，1)，(0P
2)
，1(2M ，
1(2DM =，又面ABC 的法向量为(0,0,1)OD =
由0DM OD =，可得OD DM ⊥．且DM ⊂/面ABC ，
//DM ∴平面ABC ；
（2）可得(1,0,1)DC =--，(1,0,1)DB =-， 设面BDM 的法向量为(,,)m x y z =．
由1020m DM x y m DB x z ⎧
=+
=⎪⎨⎪=-=⎩
，可得(3,
m =-， 设面DMC 的法向量为(,,)n a b c =
由1020n DM a n DC a c ⎧
=+=⎪⎨⎪=--=⎩
，可得(3,1,n =-， 1
cos ,7
7m n <>=
=⨯，
∴二面角B DM C --的余弦值为
17
． 7．如图所示， 三棱锥A BCD -中，
平面ABC ⊥平面BCD ，ABC ∆是边长为 4 的正三角形，BCD ∆是顶角120BCD ∠=︒的等腰三角形， 点P 为BD 的上的一动点 ．
（1） 当3BD BP =时， 求证：AP BC ⊥；
（2） 当直线AP 与平面BCD 所成角为60︒时， 求二面角P AC B --的余弦值 ．
【答案】见解析
【解析】（1） 证明；取BC 中点为M ，连接MA ，MP ， 由ABC ∆为正三角形知BC AM ⊥， 在BCD ∆
中，BD =
13BP BD =
=， 在BMP ∆中， 由余弦定理可得2224
2cos303
MP BM BP BM BP =+-︒=， 从而222416
433
MP BM BP +=+
==，即BC MP ⊥， BC ∴⊥平面AMP ，
于是BC AP ⊥，即AP BC ⊥；
（2） 解： 由 （1） 知AM ⊥平面BCD ，则AP 与平面BCD 的夹角为60APM ∠=︒， 在直角APM ∆中， 可得2PM =，则点P 为线段BD 的中点，
以点M 为坐标原点，MB ，MQ ，MA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 （由 （1） 知点Q 为靠近B 的三等分点） ，
则点(0,0,(2,0,0),(2,0,0),(0,
,0)3
A B C Q -，
从而(2,0,AC =--
，(2,0,AB =-
，(BQ =-，
于是13
(22
AP AB BP AB BD AB BQ =+=+
=+=--， 设平面PAC 的一个法向量为(,,)m x y z =，
则00m AC m AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即0
x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，不妨取1z =，得(3,1,1)m =
-，
又平面ABC
的一个法向量为MQ =，
从而23cos ,5||||23
5
MQ m MQ m MQ m
<>===，
故二面角P AC B -- 8.如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π
2
，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是线段AD 的中点，O 是
AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2所示．
(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；
(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求直线BD 与平面A 1BC 所成角的正弦值．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：在题图1中，连接CE ，
因为AB ＝BC ＝
1
，AD ＝2，E 是AD 的中点，
∠BAD ＝π
2，所以四边形ABCE 为正方形，四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ⊥AC .
在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，
又OA 1∩OC ＝O ， 从而BE ⊥平面A 1OC .
又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由(1)知BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，
所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，又平面A 1BE ⊥平面BCDE ，所以∠A 1OC ＝π
2，
所以OB ，OC ，OA 1两两垂直．
如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则B ⎝
⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－22，0，0， A 1⎝
⎛
⎭⎪⎫0，0，
22，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，22，0， 得BC →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22，
由CD →＝BE →
＝(－2，0,0)， 得D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，
22，0. 所以BD →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32
2，22，0.
设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 直线BD 与平面A 1BC 所成的角为θ， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·BC →＝0，
n ·A 1C →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋y ＝0，
y －z ＝0，
取x ＝1，得n ＝(1,1,1)． 从而sin θ＝|cos 〈BD →
，n 〉|＝
25×3
＝3015
， 即直线BD 与平面A 1BC 所成角的正弦值为
3015
.
9.．如图， 四棱锥中， 侧面为等边三角形， 且平面底面，
，． （1） 证明：：；
（2） 点在棱上， 且，若二面角大小的余弦值为
，求实数的值 ．
【答案】见解析
【解析】（1） 证明： 取的中点，连，，
为等边三角形， 且是边的中点，
，
平面底面，且它们的交线为，
平面， ，
，且，
平面， ．
（2） 分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，
，
，即：，
设，且是平面的一个法向量，
，
P ABCD -PAD PAD ⊥ABCD 1
12
AB BC AD ==
=90BAD ABC ∠=∠=︒PD AB ⊥M PC PM PC λ=M AB D -
-7
λAD O OC OP PAD ∆O AD PO AD ∴
⊥PAD ⊥ABCD AD PO ∴⊥ABCD BA PO ∴⊥BA AD ⊥AD PO O =AB ∴⊥PAD PD AB ∴⊥OC OD OP x y z O xyz
-(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)A B P C -
-(1,0,3),PC OP =
-=∴(,0,)PM PC λλ
==
∴()OM OP PM λ
=+=
()M λ(,,)
m x y z
=m
ABM (1,0,0),()AB AM λ==
， 取，
而平面的一个法向量为，
， ， ，
．
10．如图， 在四棱锥中， 平面平面，底面是平行四边形， 且
，．
（1） 求证：；
（2） 若底面是菱形，与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值 ．
【答案】见解析
【解析】（1） 证明： 过作，垂足为，连接， 平面平面，且平面平面，
∴0)0
x x y z λλ=⎧⎪⎨+-=⎪
⎩(0,3m λ=
ABD OP =
∴2cos ,3
3(1)m OP λ<>==
-
∴1533
λλ==
或01λ<<∴13
λ=
P ABCD
-PBC ⊥ABCD ABCD
4
BCD π
∠=
PD BC ⊥PC PD =ABCD PA ABCD 6
π
PAD PBC P PE BC ⊥E DE PBC ⊥ABCD PBC
⋂ABCD BC =
平面， ，
又，，，
平面，则，
在中， 由，得，
在与中，
，，，
；
（2） 解： 法一、
，平面，平面， 平面，
设平面平面直线，则，
平面，，，
是平面与平面所成锐二面角的平面角， 平面，
故是直线与平面所成角， 即，
设，则，，
设，则，，
，即，
故，则， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为； 法二、
平面，平面，
故是直线与平面所成角， 即，
且，， 设，则，，
在中， 设，则，，
在中，，则，
PE ∴⊥ABCD PE DE ∴⊥PD BC ⊥PE BC ⊥PD
PE P =BC ∴⊥PDE DE BC ⊥Rt DEC ∆4
BCD π
∠=DE EC =Rt PED ∆Rt PEC ∆PE PE =DE EC =PED PEC ∴∆≅∆PD PC ∴=//BC AD BC ⊂/ADP AD ⊂ADP //BC ∴ADP PBC
⋂PAD =l //l BC BC ⊥PDE l PE ∴⊥l PD ⊥DPE ∴∠PAD PBC PE ⊥ABCD PAE ∠PA ABCD 6
PAE π
∠=PE a
=AE =
2PA a =DE m =EC m
=DC =
∴222
))m =+m a =4
DPE π
∠
=
cos 2
DPE ∠=
PAD
PBC 2
BC ⊥PDE PE ⊥ABCD PAE ∠PA ABCD 6
PAE π
∠=DE BC ⊥DE PE ⊥PE a
=AE =
2PA a =DEC ∆DE m =EC m
=DC =EDA ∆
∴222
))m =+m a =
以为坐标原点， 分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则， 0 ，，，， 0 ，， 则平面的法向量， 设平面的法向量，
，，
，即，故取，得， 设平面与平面的夹角为， 则，
故平面与平面
．
11．在四棱锥中，底面是一直角梯形，底面，，，
，，是上的点，且．
（1）若，求异面直线与所成角的大小； （2）当为何值时，二面角的余弦值为
． E ED DB EP x y z (D a 0)(,0)A a (0P
)a PBC (1,0,0)a =PAD (,,)b x y z =(,,)AP m m =-(0,,0)AD =∴00a AP a AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩0
mx mz ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩1z =(1,0,1)b =PBD PAC θcos 2||||2
a b a b θ=
==PAD PBC P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 90BAD ∠=︒//AD BC 1AB BC ==2AD AP ==E PD (01)PE PD λλ=<<1
2
λ=
AE CD λC AE D --11
【答案】见解析
【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，1，，，2，，，0，， 由时，知，1，，，1，，，1，， 设异面直线与所成角为， 则
，
所以异面直线与所成角的大小为．
（2）由，
，0，，，，2，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，
， 由已知面，所以平面的一个法向量，0，，
所以，解得或．
因为，所以．
A A
B x AD y AP z (0A 0)(1B 0)(1
C 0)(0
D 0)(0P 2)1
2
λ=
(0E 1)(0AE =1)(1CD =-0)AE CD θ||1
cos 2
||||22AE CD AE CD θ=
=
=60︒(0,2,2)(0,2,2)PE PD λλλλ==-=-(0AE AP PE =+=2)(0+2λ2)(0PE PD λλλ-===2)(0-=2λ22)λ-ACE (n
x =y )z 0
2(22)0
AC n x y AE n y z λλ⎧=+=⎪⎨=+-+=⎪⎩1x =(1n =1-)1λλ-AB ⊥ADE ADE (1m =0)cos ,||||
11n m
n m n m <>=
=
=
+34λ=32λ=01λ<<34
λ=
12．如图，为正三角形， 且，，将沿翻折 ．
若点的射影在上， 求的长；
（Ⅱ） 若点的射影在内， 且直线与平面所成角的正弦值为
，求的长 ．
【答案】见解析
【解析】 （1） 过作交于，则平面． 取中点，连接，，
平面，平面，
，
是正三角形，，
又，，平面，
平面，．
又，为的中点，为的中点 ．
，，，
，
；
（2） 以为原点， 以为轴，
以为轴，
以平面的过的垂线为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：
设二面角为，则
，， 0 ，，， 0 ，，， 2 ，．
，， 2 ，，
，
设平面的法向量为，，，
则，令，得， 0 ，． ABC ∆2BC CD ==CD BC ⊥ABC ∆BC ()I A BD AD A BCD ∆AB ACD 15
AD A AE BD ⊥BD E AE ⊥BCD BC O AO OE AE ⊥BCD BC ⊂BCD AE BC ∴⊥ABC ∆BC AO ∴⊥AE
A O A =AE AO ⊂AOE BC ∴⊥AOE BC OE ∴⊥BC CD ⊥O BC E ∴BD 2BC CD ==112
OE CD ∴==AO =BD =DE ∴=AE =2AD ∴=
=O BC x BE y BCD O z D BC A --θ(0A θ)θ(1B -0)(1C 0)(1D 0)∴(1BA =θ)θ(0CD =0)(1CA =-θ)θACD (n x =y )z 203cos 3sin 0
n CD y n CA x y z θθ⎧==⎪⎨=-++=⎪⎩1z =(3sin n θ=1)
， 解得
，
，又， 2 ，．
13．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB ∥DC ，2AD DC AP
===，1AB =，点E 为棱PC 中点。

（1）证明：BE 平面PAD ；
（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.
【答案】（1）见解析（23【解析】（1）如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM ．
2|cos ,|15
23n BA sin θ∴<>=
=
+sin θ=
(0A ∴12(1D 0)||AD ∴==
∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM
1
2
=DC，
又由已知，可得EM∥AB，且EM＝AB，
∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．
∵AM⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE∥平面ADP．
（2）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∵BD =（﹣1，2，0），PB =（1，0，﹣2），
设平面PBD的法向量m =（x，y，z），
由
m BD
m PB
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
，得
20
20
x y
x z
-+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
令y＝1，则m =（2，1，1），
则直线BE与平面PBD所成角θ满足：
sin
θ
6
m BE
m BE
⋅
===⋅
故直线BE 与平面PBD
． （3）∵BC =（1，2，0），CP =（﹣2，﹣2，2），AC =（2，2，0），
由F 点在棱PC 上，设CF =λCP =（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故BF BC CF =+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF ⊥AC ，得BF •AC =2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）＝0， 解得λ34
=
， 即BF =（12-
，12，3
2
）， 设平面FBA 的法向量为n =（a ，b ，c ），
由00n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0113
02
22a a b c =⎧⎪
⎨-++=⎪⎩ 令c ＝1，则n =（0，﹣3，1）， 取平面ABP 的法向量i =（0，1，0）， 则二面角F ﹣AB ﹣P 的平面角α满足：
cos
α1010
i n i n
⋅=
=
=
⋅，
故二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值为：
10
14．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2
PDA π
∠=，
平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.
（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ；
（Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；
（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB ，求线段DH 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）
56π
；（3）32
. 【解析】（1）
平面ADPQ ⊥平面ABCD ，
平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，
PD ADPQ ⊂平面，PD AD ⊥，
∴直线PD ⊥平面ABCD .
由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系， 则可得：()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C ，
()()()2,0,0,2,0,1,0,0,2A Q P .
依题意，易证：()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-，∴ 0QB AD ⋅=，
又
直线QB ⊄平面PDC ，∴ //QB PDC 平面.
（2）
()()2,2,2,=0,22PB PC =--，
.
设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量，
则11
00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩.
不妨设11z =，可得()10,1,1n =. 设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的法向量，
又
()()2,2,2,2,0,1PB PQ =-=-，
则2200
n PB n PQ ⎧⋅=⎪
⎨
⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩.
不妨设22z =，可得()21,1,2n =，
∴ 121212
3
cos<,n n n n n n ⋅>=
=
⋅ 又二面角C PB Q --为钝二面角，
∴二面角C PB Q --的大小为
56
π
. （3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,
AH h =-，又()2,2,2PB =-，
又cos<,15PB
AH >=234h
=⋅+，
∴ 2625240h h -+=，解得32h =
或8
3
h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为
3
2
.
15．已知正方形的边长为4,,E F分别为,
AD BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60的二面角，点M在线段AB上．
（1）若M为AB的中点，且直线MF，由,,
A D E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线//
OD平面EMC；
（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60；若存在，求此时二面角M EC F
--的余弦值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
1 0,
4±.
【解析】（1）因为直线MF⊂平面ABFE，
故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，
所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上（如图所示）
因为AO
BF ，M 为AB 的中点，所以OAM MBF ∆≅∆，
所以OM MF =，AO BF =，所以点O 在EA 的延长线上，且2AO = 连结DF 交EC 于N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是EC 的中点 连结MN ，因为MN 为DOF ∆的中位线，所以MN
OD ，
又因为MN ⊂平面EMC ，所以直线OD 平面EMC .
（2）由已知可得，EF AE ⊥，EF DE ⊥，所以EF ⊥平面ADE ，
所以平面ABEF ⊥平面ODE ，取AE 的中点H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以(1,0,0)E -
，D
，(0,C ，(1,4,0)F -，
所以ED =
，(1,EC =，
设(1,,0)(04)M t t ≤≤，则(2,,0)EM t =，
设平面EMC 的法向量(,,)m x y z =
，则20
0040x ty m EM m EC x y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩
， 取2y =-，则x t =
，z =
8,2,3t m t -⎛
=- ⎝， DE 与平面EMC 所成的角为60
2=
，
2
=
，所以2430t t -+=，解得1t =或3t =，
所以存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60，
取ED 的中点Q ，则QA 为平面CEF
的法向量，因为1,0,22Q ⎛- ⎝⎭，
所以3,0,2QA ⎛= ⎝⎭
，,m t ⎛
=- ⎝， 设二面角M EC F --的大小为θ，
所以
||
|cos |||||
3QA m QA m θ⋅=
=
=
⋅
因为当2t =时，cos 0θ=，平面EMC ⊥平面CDEF ， 所以当1t =时，θ为钝角，所以1cos 4
θ=-
. 当3t =时，θ为锐角，所以1cos 4
θ=
. 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，且22CD AB AD ==，
AB AD ⊥，PA PD =
，点E 为PC 的中点，点F 为AD 的中点.
（1）证明：//EF 平面PAB ；
（2）若PE PF EF ==，求二面角B EF C --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】（1）证明：设BC 中点为点G ，连接,FG EG ，易知//,//FG AB EG PB ， 所以//FG 平面PAB ，//EG 平面PAB ，则平面//EFG 平面PAB ，
所以//EF 平面PAB ；
（2）∵PA PD =，点F 为AD 中点，∴PF AD ⊥.又在PFC ∆中，点E 为PC 的中点，PE PF EF ==， ∴PF FC ⊥，∴PF ⊥平面ABC
，且FC =
.不妨设2AB =，则4DC =，1FD =，
∴FC =
PF =
， 以点F 为原点，,,FA FG FP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()1,2,0B
，1,2E ⎛- ⎝⎭
，
易知平面EFC 的法向量为()04,1,0n =，
设平面BEF 的法向量为(),,n x y z =
，则20,120,2
6x y x y z +=⎧
⎪
⎨-++=⎪
⎩ 取51511,,,1918z n ⎛⎫
=
=- ⎪
⎪⎝⎭
. 04101cos ,n n ⎛⋅
⋅+⋅ =
=
=
二面角B EF C --17．如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°,A 1A =4,C 1C =1,AB =BC =B 1B =2.
（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1;
（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的余弦值； （Ⅲ）求平面AB 1C 1与平面ABC 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）√
130
13
；（Ⅲ）1
2
【解析】（Ⅰ）如图，以AC 为中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x,y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O −xyz .
由题意知各点坐标如下：
A(0,−√3,0),B (1,0,0),A 1(0,−√3,4),B 1(1,0,2),C 1(0,√3,1)
因此AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√3,2),A 1B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√3,−2),A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2√3,−3) 由AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅A 1B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0得AB 1⊥A 1B 1， 由AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0得AB 1⊥A 1C 1， 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.
（Ⅱ）设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ，由（Ⅰ）可知AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2√3,1)，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√3,0)，BB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,2)， 设平面ABB 1的法向量n
⃑ =(x,y,z ). 由{n ⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0,n ⃑ ⋅BB 1
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0, 即{x +√3y =02z =0, 可得n ⃑ =(−√3,1,0)
所以sinθ=|cos⟨AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ ⟩|=|AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
⋅n ⃑ ||AC 1
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=√3913
. 则余弦值为√
130
13
.
（Ⅲ）由上述条件可知AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√3,2)，AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2√3,1) 设平面AB 1C 1的法向量为m
⃑⃑ =(a,b,c ). 由{m ⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,m ⃑⃑ ⋅AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0, 即{a +√3b =02√3b +z =0, ，可得m ⃑⃑ =(−√3,1,−2√3) 平面ABC 的法向可取BB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,2)
设平面AB 1C 1与平面ABC 的夹角为 β， 则cosβ=|cos <m
⃑⃑ ,BB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ >|=|m ⃑⃑⃑ ⋅BB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |
|m
⃑⃑⃑ |⋅|BB 1
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=
4√3
8
=
√32，所以正弦值为12
. 18．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，
1AB AF ==，点P 在线段DF 上.
（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；
（2）若二面角D AP C --，求PF 的长度.
【答案】（1）见解析；（2）
3
【解析】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥， 又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF
平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，
∴AF ⊥平面ABCD .
（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D
，()0,0,1F ，
∴()0,2,1FD =-，()1,2,0AC =，()1,0,0AB = 由题知，AB ⊥平面ADF ，
∴()1,0,0AB =为平面ADF 的一个法向量，
设()01FP FD λλ=≤<，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-，
设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00
m AP m AC ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，
∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩
，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，
∴
cos ,1m AB m AB m AB
⋅===
⋅，得1
3
λ=或1λ=-（舍去），
∴5PF =
19．如图所示，
在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ︒∠=，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =.
（1）求证：//DE 平面ACF ；
（2）求异面直线EO 与AF 所成角的余弦值； （3）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解；（23【解析】（1）
如图，连接OF ，因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ， 可得O 点为BD 的中点，又F 为BE 的中点，所以OF 为BDE
的中位线，
可得OF ∥DE,又OF ACF ,DE 不在平面ACF 内， 可得//DE 平面ACF ；
（2）如图连接C 点与AD 中点位x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴建立空间直角坐标系， 设菱形ABCD 的边长为2，可得CE=2，
可得E(0，0，2)，1
2
,1,0),F(0,1,1),
可得：31
(
,,2)
22
EO =-,(1)AF =--,设异面直线EO 与AF 所成角为θ，
可得11(0(2)(1)
cos ==20(
EO
AF EO AF θ+⨯+-⨯-⋅==，
（3）可得可得
n 0(DB ⋅=
,(0,2,2)BE =,设平面EBD 的一个法向量为n ，
可得n 0DB ⋅=，n 0BE ⋅=,可得n 的值可为，由(1)AF =-- 可得AF 与平面EBD
所成角的正弦值为
n n AF AF
⋅
=
=
=. 20．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 中点，
3BC =.
(1)求证：AF BD ⊥；
(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；
(3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？若存在，求
BN
BD
的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（
1）见解析（214
3）线段BD 上存在点N,使得直线//CE 平面AFN ，且2=3BN BD ，详见解析. 【解析】(1)证明：因为ADEF 为正方形， 所以AF AD ⊥．。