圆与圆的位置关系

内容 基本要求
略高要求
较高要求
直线与圆的位置
关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题
能解决与切线有关的问题
切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题
圆与圆的位置关
系 了解圆与圆的位置关系
能利用圆与圆的位置关系解决简单问题
一、圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含．
设两个圆为1O 、2O ，半径分别为1R 、2R ，且12R R ≥，1O 与2O 间距离为d ，那么就有 12d R R >+⇔两圆相离； 12d R R =+⇔两圆相外切；
12d R R =-⇔两圆相内切； 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交； 12d R R <-⇔两圆内含(这里12R R ≠)．
如果两圆1O 、2O 相交于A 、B 两点，那么12O O 垂直平分AB ．
如果两个半径不相等的圆1O 、圆2O 相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线12O O 上，并且直线12O O 上，并且直线12O O 平分两外公切所夹的角和两内公切线所夹的角．
如果两条外公切线分别切圆1O 于A 、B 两点、切圆2O 于C 、D 两点，那么两条外公切线长相等，且AB 、CD 都被12O O 垂直平分．
处理两圆位置关系的基本思路与处理关于直线与圆位置关系问题的基本思路是一致的．
相切两圆的性质
连心线：是指通过两圆圆心的一条直线．
连心线是它的对称轴．两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上． ①通过两圆圆心的直线叫做连心线．
②如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．
知识点睛
中考要求
重、难点：连心线的性质的应用．
易错点：圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间
一、圆与圆的位置关系的判定
【例1】 ⑴(08哈尔滨)已知1O ⊙与2O ⊙半径的长是方程27120x x -+=的两根，且121
2
O O =
，则1O ⊙与2O ⊙ 的位置关系是___________．
⑵(烟台)已知关于x 的一元二次方程()221
04
x R r x d -++=无实数根，其中R r 、分别是12O O 、⊙⊙的
半径，d 为此两圆的圆心距，则12O O 、⊙⊙的位置关系为______________．
【例2】 ⑴(05吉林)已知两圆的半径分别为3cm 和5cm ，圆心距为9cm ，则两圆的公切线有 条；
⑵ (05临沂)两圆半径分别为8和3，外公切线长为9，则两圆的位置关系是 ( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
C B
A
O 2
O 1
【例3】 (2008年威海市)如图，点A B ，在直线MN 上，11AB =厘米，A B ，的半径均为1厘米．A 以
每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为1r t =+(0)t ≥．
⑴ 试写出点A B ，之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式；
重、难点
例题精讲
⑵ 问点A 出发后多少秒两圆相切？
二、两圆位置关系的计算
【例4】 已知两圆半径分别是4，5，公共弦长为6，求两圆的圆心距．
【例5】 如图，1O ⊙与2O ⊙外切于点T ，它们的半径之比为2:3，AB 是它们的外公切线，A B 、
是切点，且
AB =12O O 的值是_____________．
【例6】 如图，已知1O ⊙与2O ⊙外切，外公切线AB 与12O O 、⊙⊙分别相切于A B 、两点，AB 与12O O 的夹角
30P ∠=︒ ，若122O O =，求两圆的半径及外公切线长．
【例7】 已知，如图1O ⊙与2O ⊙外离，AB CD 、两条内公切线交于P 点，若1210O O =，且1O ⊙的半径为2，
2O ⊙
的半径为3，求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数．
N
【例8】 如图，矩形内放置8个半径为1的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形
的一边相切，则该矩形的面积为 ．
【例9】 ⑴ 设1O ⊙和2O ⊙是同一平面上两个相切的半径为1的圆，在这个平面上同时与1O ⊙和2O ⊙相切的
半径为3的圆的个数是_____________．
⑵(09重庆)某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为
5cm 的钢球，
测得上面一个钢球顶部高16cm DC =(钢管的轴截面如图所示)，则钢管的内直径AD 长为________cm ．
【例10】 如图，大圆O ⊙的直径cm AB a =，分别以OA OB 、为直径作1O ⊙和2O ⊙，
并在O ⊙与1O ⊙和2O ⊙的空隙间作两个等圆3O ⊙和4O ⊙，这些圆互相内切或外切，则四边形1423O O O O 的面积为___________2cm ．
【例11】 如图，已知半圆O 的直径为AB ，半径长为
254
，点D 在AB 上，7
4OD =，CD AB ⊥，CD 交半圆'
O 于D ．那么与半圆相切，且与BC ，CD 相切的'O ⊙的半径长为
．
D
【例12】 (07芜湖)如图，3PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶
点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ．则AB = ．
Q
P
D C B
A
【例13】 在直线的同侧画三个圆：切于直线的一圆半径为4，另两圆相等，且各切于直线及其它两圆，则两
等圆的半径为__________．
【例14】 (09浙江余姚)如图，已知圆心为A B C 、、的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切．若A B C 、、⊙⊙⊙
的半径分别为()0a b c c a b <<<、、，则a b c 、、一定满足的关系式为 ( )
A ．2b a c =+
B ．b a c =+
C ．111
c a b =+ D ．111c a b
=+
C
B
A
l
【习题1】 ⑴(09福建莆田)已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程28
209
x x -+=的两根，且
121O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是_________．
⑵ 若A ⊙和B ⊙相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为_______________．
【习题2】 (09山东临沂)1O ⊙和2O ⊙相切，1O ⊙的直径为9cm ，2O ⊙的直径为4cm ．则12O O 的长是
_________．
【习题3】 如图，1O ⊙与2O ⊙外切于点T ，它们的半径之比为2:3，AB 是它们的外公切线，A B 、是切点，
且46AB =，则12O O 的值是_____________．
家庭作业
【习题4】 (09西宁)如图，两个等圆O ⊙与O ⊙′外切，过O 作O ⊙′的两条切线OA OB 、，A B 、为切点，
则AOB ∠=__________．
【习题5】 (2009嘉兴)如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面
积为π9，则弦AB 的长为( ) A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
【习题6】 已知12O O 、
⊙⊙相交于A 、B 两点，两圆半径分别为3cm 和5cm ，且12120O AO ∠=︒，求AB 的长．
【习题7】 (08内蒙赤峰)如图，
1O ，2O ，3O 两两相外切，1O 的半径11r =，
2O 的半径22r =，
2O 的半径33r =，则123O O O △是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．锐角三角形或钝角三角形
【习题8】 一条皮带安装在半径是14和4的两只皮带轮上(皮带紧绷且不相交)，若皮带在两只轮子切点间
的距离是24，那么两轮圆心间的距离是___________．
O 2
O 3
O 1。