局部多孔质气体静压圆盘止推轴承压力分布的有限元计算

ｍ—
ａｌｉｚｅｄ ｂｙ Ｍａｔｌａｂ ｐｒｏｇｒａｍ ｔｉｏｎ Ｗｎｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｂｙ
ｒｅｄｕｃｅ
ｔｈｅ鲥ｄ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ
ｔｉｍｅ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｒｉｎｇ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕ－
ｍｅａｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ鲥ｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ．
划分的合适与否，所需时间长短，都对整个计算过 程有着重要的影响。本文直接在Ｃａｒｔｅｓｉａｎ
Ｃｏｏｒｄｉ．
ｎａｒｅｓ中对气体静压圆盘止推轴承的Ｒｅｙｎｏｌｄｓ气体
润滑方程进行有限元计算。
１
件求解通常采用有限体积方法，所需计算时间比
有限元求解长。不同的计算方法适用于不同的情 况。目前对气体静压轴承压力分布的研究更多采 用的是有限元计算方法。有限元法研究域网格
由下向上，由左向右，共有ｍ个单元，／７，个节点。
稳定状态下气膜内的压力分布为坐标菇，Ｙ的函 数，气膜区域利用三角形面单元来离散。由图２ｂ 可以看出，力区域的边界ｓ．为对称边界，边界ｓ。为 大气边界，边界％为局部多孔质圆柱塞的边界，区 域Ａ。为局部多孑Ｌ质圆柱塞的求解域。
一个中心角为∥，ｌ。＝１Ｔ／６的扇形区力作为计算
！墨墅！Ｑ塑二兰！鱼兰
ＣＮ４１一１１４８／ＴＨ
轴承２００９年１２期
Ｂｅａｒｉｎｇ ２００９，Ｎｏ．１２
●产品设计与应用◆
局部多孔质气体静压圆盘 止推轴承压力分布的有限元计算
于雪梅１，孙雅洲２，卢泽生２
（１．淮海工学院，江苏 连云港２２２００５；２．哈尔滨工业大学，哈尔滨１５０００１）
摘要：直接在Ｃａｒｔｅｓｉａｎ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ中对气体静压圆盘止推轴承的Ｒｅｙｎｏｌｄｓ气体润滑方程进行有限元计算，针对 局部多孔质直径大小的不同，采用两种不同的网格划分方法，并通过Ｍａｔｌａｂ编程实现了网格的自动细分，在此 基础上，通过利用Ｇａｌｅｒｋｉｎ加权残差原理对气膜内压力分布进行了求解。分析表明，网格的自动细分减少了网 格划分的时间，便于获得合适的网格数量，使轴承压力分布的计算得到进一步简化。 关键词：气体静压圆盘止推轴承；多孔质；压力分布；有限元；网格划分 中图分类号：ＴＨｌ３３．３６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１０００—３７６２（２００９）１２—０００１—０４
ｅ至＝ｌ∥（笪Ｏｘ型０孑＋蒡警］嘶
＝一∑ｆｆ（（Ｍ＇８力ｄ蟊ｄｙ＋ｆ∑手ｑ裔ｙａｒ。
”‘。‘ ”１写
（７）
对于三角形单元，最简单的压力分布表示为
厂２焘［（口ｃ＋ｂｉｉ＋ｃｔ刃正＋（ｑ＋ｑｉ＋
ｑ刃Ｚ＋（口。＋６。ｉ＋ｃ。歹）厶］
（８）
式中：口ｉ，ｂｔ，ｃｔ为系数，口；＝弓死一瓦元；６ｉ＝歹；一
五；ｃ；＝霸一互；ｉ√，ｍ为三角单元的逆时针顶点编
叫驴《｜，１）
ｊ＝Ｎｔｌｆ‘
㈣，
０１３）
１０一ｎｌ，高度Ｈ＝６×１０—１＇１１，局部多孔质圆柱塞的 个数为／１，。＝６且均布，局部多孔质圆柱塞所在的 半径为Ｒ。＝１．２５×１０～ｍ，由于所采用多孔质石 墨为各向同性，故此种材料在各坐标方向的渗透
ｉ
２瓦‘虿２瓦；ｉ ２瓯５百２瓦
率相等，即咖，＝币。＝咖：＝５．８×１０。３ ｍ２。通过有
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ ２２２００５，Ｃｈｉｎａ；
２．Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ
１５０００１。Ｃｈｉｎａ）
ｏｆ ａｅｒｏｅｔａｆｉｅ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｔｈｒｕｓｔ ｂｅａｒｉｎｇ
ｔｏ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｔｈｅ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｇａｓ ｌｕｂｒｉｃａｔｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ
Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ
ｏｎ
Ｐｒｅｓｓｕｒｅ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
ｏｆ Ｐａｒｔｉａｌ Ｐｏｒｏｕｓ Ａｅｒｏｓｔａｔｉｃ Ｃｉｒｃｕｌａｒ Ｔｈｒｕｓｔ Ｂｅａｒｉｎｇ
ＹＵ Ｘｕｅ—ｒｅｅｌ“，ＳＵＮ Ｙａ—ｚｈｏｕ２，ＬＵ Ｚｅ—ｓｈｅｎ９２
（１．Ｈｕｍｈｍ
Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ
（ａ）首次网格划分
号，按ｉ叫一ｍ的顺序循环下脚标，从而求得口，，
口。，０，ｂ。，勺，ｃ。；Ａ。为三角形单元的面积，Ａ。＝
ｍ）ｏ 了厂（并ｉ乃一戈ｆｙ‘＋≈，，ｍ一石ｍ乃＋算ｍ），ｉ— 寺（互元一弓死＋亏死一瓦元＋瓦ｚ—ｘ—ｉＹ死）。
设插值函数为 Ⅳｉ
（ｂ）再次网格划分
２麦（口ｔ＋６ｉ孑＋ｃｔ刃
（９） （１０）
收稿日期：２００９—０４—２３；修回日期：２００９—０９—０２ 基金项目：淮海工学院自然科学研究项目（Ｚ２００８００２） 作者简介：于雪梅（１９７５一），女，工学博士，研究方向为流 体润滑技术。Ｅ—ｍａｉｌ：ｙｕｘｕｅｍｅｉ３３＠１６３．ｃｏｒｎ。
建立气体在薄膜内的压力分布数 学模型
局部多孑Ｌ质气体静压圆盘止推轴承的结构和
即
２．２网格划分方法２ 此种划分方法是与实际情况比较接近的网格 划分方法（图４），既适用于局部多孔质圆柱塞半径 较大时，也适用于其半径较小时。但网格的划分较 方法１复杂，所以局部多孑Ｌ质圆柱塞的半径与圆盘 多孔质静压轴承的半径之比小于１／１００时，采用方 法ｌ。由于局部多孔质圆柱塞节流面上压力分布变 化很小，因此，假设局部多孔质圆柱塞节流面上的 压力相等，在此条件下进行网格划分，通过此种划 分方法计算的压力分布结果更接近于实际情况。 同时，采用Ｍａｔｌａｂ软件编制有限元网格划分时，实 现了网格的自动细分。此种划分方法的边界条件 及具体的有限元求解过程与方法ｌ相同。
薹旷华俨嘶叫删＋
ｒ叫刎＋蓬傍一矿ｃ瓮＋
妄）厂］旷Ⅳ嵋
罡Ｏ．３
毛
奋ｏ・２
０．１
ｆ薹｛虿１［一矿（筹＋爰胴旷删Ｌ（ｔ６）
图５
（ｂ）ＩＩ｝次嘲格划分所得瓜ＪＪ分钸
局部多孔质气体静压止推轴承气膜内压力分布
置＝薹扩华旷嘶㈣，
Ｆ＝｛＾以，…Ｚ｝７
（１９） （２０）
从图中可以看出两种计算方法所得的结果 非常接近。为了方便两种计算结果的比较，对两 种情况下的压力分布在整个轴承面上积分，求 出承载能力进行比较。通过计算求得，首次网 格划分的承载能力为Ｗ。＝３０２．５ Ｎ；再次网格 划分的承载能力为Ｗ２＝３０５ Ｎ。两者的误差很 小，仅为０．８２％。因此，为了简化计算，应选择网 格数较少的划分方法，为此选择首次的网格划 分进行有限元分析即可。 ４
图４局部多孔质气体静压止推轴承网格划分
以２瓦１（吩＋垆＋词
万 方数据
《轴承）２００９．Ｎｏ．１２
Ⅳｍ
２麦（口ｍ＋６ｍｉ＋ｃｎ歹）
（１１）
Ｐ。＝５×１０５
Ｐａ，止推轴承半径Ｒ１＝２．５×１０～Ｉｌｌ，
大气压力Ｐ。＝１．０３×１０５ Ｐａ，气膜平均厚度ｈ。＝ ２×１０～ｍ，局部多孔质圆柱塞半径Ｒ３＝２．５×
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ａｅｒｏｓｔａｔｉｃ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｔｈｒｕｓｔ ｂｅａｒｉｎｇ；ｐｏｒｏｕｓ；ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｆｉｎｉｔｅ
ｅｌｅｍｅｎｔ；函ｄ
ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ
气体静压轴承由于精度高、无污染、寿命长等
特点，广泛地用于精密、超精密机床，测量仪器和 航空、航天等领域¨ｑ１。气体静压轴承压力分布 的求解方法主要分为工程计算法、有限元法和用 流体动力学计算软件求解等计算法ＨＪ。工程计算 法计算较简单，但精度不高。流体动力学计算软
坐标系如图１所示。假设气体流动满足等温、层
流等条件，局部多孔质气体静压止推轴承气体薄
膜内的无量纲压力分布方程为
妊（矿豸）＋÷杀（Ｆ矿警）
＝１２咖；ｆ三ｈ３０Ｈ专Ｉｉ：ｏ
…，瑶硒，一．
万 方数据
＜轴承）２００９．Ｎｏ．１２
式中：亍为无量纲坐标，亍＝ｒ／Ｒ。；ｉ为无量纲坐标， 三＝ｚ／Ｈ；ｒ，０，名为柱坐标系坐标；Ｒ，为止推轴承圆 盘半径，ｍ；日为多孔质圆柱塞的高度，ｍ；＾为无量 纲气膜厚度，ｈ＝ｈ／ｈ。；＾为气膜的厚度，ｍ；ｈ。为平 均气膜厚度，ｍ；咖。为：坐标方向渗透系数，ｍ２；万 为气体薄膜内无量纲压力，芦＝ｐ／ｐ。；ｐ为气体薄膜 内压力，Ｐａ；ｐ。为环境压力，Ｐａ；芦，为局部多孔质内
‘飞 弋夕
＼
Ｖ
图１局部多孔质气体静压止推轴承结构图及坐标系
ｆ
ｌ ＼
Ｖ
０
溅ｊ
、＼
Ｖ
Ｊ
ｃ；
弋乡
（ａ）研究域
假设
１２咖嘉争＝ｏ＝砺’
矿＝，
式中，为气膜内压力的平方，即压方。 布方程为
（２） （３）
将（２）和（３）式代入（１）式，得气膜内压力分
（ｂ）研究域的网格划分
翁一
Ｆ１历ａ（＿３荔）＋了１磊ｃ９ Ｌｒ＿５凡－３菩）＝ｆ面’
３ｎ＝００
纲质量流量，彳＝÷（一矿善一矿兽）。对（５）式源自ｎ域内的二重积分项应用分步积 分得
ｊｉ
陬长咝＋ｏｆ一訾ｄＺｄｙＯｘ
、ａｘ
。ｄ
Ｏｙ
ａ冤。
＝一ｆ¨Ｍ ８ｆｄｘ－ｄｆ＋手ｑ－ＳｆｄＧ
站
（６）
可以看出在经过一次分步积分之后，（６）式 中的导数已降低了一阶，以有限元离散处理时，只 需一阶连续度的插值函数，便能逼近真实压方，极 大地简化了计算。 在应用有限元方法时，将力域划分为ｍ个有 限单元和ｎ个节点，于是（６）式可改为每个单元 体面积Ａ。（ｅ＝１，２，３，…，ｍ）中的积分，然后求和，
无量纲压力，芦ｋｐ’／ｐ。；ｐ’为局部多孔质内压力；ｆ
为常数，在有多孔质节流器处ｆ＝１，在无多孔质节 流器处ｆ＝０。
２。
Ｊ
ＲＩ
‘氏
一墨
Ｐ。ｔ．
ｒ
，ｉ＼？／／，，？？， ／／／．，。｜／／Ａ
／＼＼＼乙＾＼Ｑ ＼＼ｙ
＼、、７
、、、ｖ
在半径比大时，此方法不能用。
Ｎ▲▲
Ｐ。０
』▲
▲Ｎ奄
ｌ
ｆ
厂
Ｑ
／－ｖｘ
一● Ｖ
山
日０．３
要ｏ．２
幽０．１
０
Ⅱ［嘉（矿善）＋旁矿蒡）］影葫歹
＝一ｆ
图３
网格划分方法１求得的轴承气膜内压力分布
与此对应的边界条件为 （１）在大气边界ｓ。上，无量纲压方，为
Ｊ Ｊ肘’ａ／ａｘ－ｄｙ＋ｄＦ。
ａｎ，ｉ
（５）
矗
式中：厂。为质量流量边界；彳为流过边界厂ｑ的无量
，＝茏
式中：万。＝ｐ。／ｐ． （２）在局部多孑Ｌ质圆柱塞区域Ａ。及边界Ｓ。 上，无量纲压方厂为 ｆ＝Ｆ２ｄ 式中：武＝Ｐａ／ｐ。；ｐ。为局部多孔质圆柱塞出口压 力，Ｐａ。 （３）在对称边界上ｓ。，无量纲压方厂满足ａｌｌ
力分都
图２局部多孔质气体静压止推轴承研究域及其网格划分
（４）
为了便于计算，有限元采用三角形单元代替
扇形单元。三角形单元的优点在于既能适应各种 复杂结构，又便于在压力变化激烈处加密单元格。 单元编号和节点的编号规则为：从坐标原点开始，
２有限元法求解气体在薄膜内的压
在应用有限元方法求解气膜内压力分布前， 首先确定问题的研究区域。因为静压轴承的ｎ。 个孔是均匀分布的，且止推轴承工作时只受垂直 于轴承表面的力，因此，计算时只需在轴承上分出
域即可，扇形区域如图２ａ中阴影部分所示。
万 方数据
于雪梅等：局部多孔质气体静压圆盘止推轴承压力分布的有限元计算
・３・
Ｏ．４
２．３有限元分析 利用Ｇａｌｅｒｋｉｎ加权残差原理把（４）式转换成 相应的积分形式，为了减少在积分形式中出现高 阶导数并且考虑到边界条件，选择弱积分形式。 这样气膜内压力分布为
表2各供选轴承类型的效果测度值评价因索目标1日标2目标3目标4目标5日标6bl082880477结束语针对各种滚动轴承使用性能的实际情况运b2073204777lb309309b509790555o18006用灰色系统理论建立了合适的轴承选型决策模型对各种轴承类型按照评价指标进行分析优0366oo17l4o200o1o1626o125oo3194o6o8136o138o0124706230238807945选并且引入熵值法来客观确定权重避免了人为主观的重视程度对决策结果的干扰最终做出选择
ｃａｌｃｄａｔｅｄ ｉｎ Ｃａｒｔｅｓｉａｎ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ．Ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ鲥ｄ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ
ｏｎ
ｗｅｒｅ
ｕｓｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ
ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐａｒｔｉａｌ
ＷａＳ
ｐｏｒｏｕｓ ｒａｄｉｕｓ
ｔｈｅ ｇａｓ ｆｉｌｍ ｏｆ ｔｈｅ
ｔｏ
ａｃｒｏｓｔａｔｌｃ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｔｈｒｕｓｔ ｂｅａｔｉｎｇ．Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ，ａｎ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｇｒｉｄ ｒｅｆｉｎｅｍｅｎｔ
限元计算，求得的气膜内的压力分布如图５所示。
式中：ｃ“＝｛ｃ；，勺，ｃ。｝，矿＝｛ｂ；，ｑ，ｂ。｝。 其变分鲈＝』ｖｃ７驴＝妒７Ⅳ，其中驴＝｛鞒，
妨，瓴｝７，那么可得
警＝等；雾＝盥２Ａ，２Ａ
ａ＿
。’ａｉ
…。 （１５）
（ａ）首次网格划分所得爪ＪＪ分佰
膜的无量纲质量流量△肘’＝∑ｆ廖影葫歹，（７）
０・４
局部多孔质气体静压轴承在Ｃａｒｔｅｓｉａｎ
Ｃｏｏｒｄｉ—
ｎａｔｅｓ中有限元网格的划分有两种方法。局部多孔 质圆柱塞半径较小时，采用方法１；其半径较大时， 采用方法２。 ２．１网格划分方法１ 当局部多孔质圆柱塞的半径与圆盘多孑Ｌ质静 压轴承的半径之比小于１／１００时，可以将局部多 孔质圆柱塞视为小孑Ｌ进行网格划分，划分后的结 果误差很小，且此种划分方法很简单，如图２ｂ所 示。由这种方法求得的压力分布如图３所示。当 局部多孔质圆柱塞的半径与圆盘多孔质静压轴承 的半径之比大于１／１００时，不能视为小孑Ｌ，因此，